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2015年高考新课标Ⅰ理科数学试题纯word版


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试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1+z (1) 设复数 z 满足 =i,则|z|= 1? z (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 (2)sin20°cos10°-cos160°sin10°= 1 1 3 3 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n (4)投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 2 x (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点, 2 若 MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是

3 3 3 3 , ) (B)(- , ) 3 3 6 6 2 2 2 2 2 3 2 3 (C)( ? , ) (D)( ? , ) 3 3 3 3 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛 的米约有
(A)(-

(A)14 斛

(B)22 斛

(C)36 斛

(D)66 斛

(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则 1 4 1 4 (A) AD ? ? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 4 1 4 1 (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 (8)函数 f(x)= (A)( (C)( ),k ),k 的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (B)( (D)( ),k ),k

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(10) ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30

(D)60

2 r

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表 面积为 16 + 20 ? ,则 r= 正视图 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 r

r

(12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的 整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 3 A.[ ? ,1) B. [ ? , ) C. [ , ) D. [ ,1) 2e 4 2e 4 2e 2e

2 r 俯视图

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点, 且圆心在 x 轴上, 则该圆的标准方程为 . . .

?x ?1 ? 0 y ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

(16)在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°, BC=2, 则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 }的前 n 项和
E F D B C

(18)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°, E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. A (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年 销售量 y(单位: t)和年利润 z(单位: 千元)的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i =1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

年 销 售 量 /t

年宣传费(千元)
1 1

x
46.6

y
56.3

w
6.8


?
x ?1

(x1- x )2 289.8

?
x ?1

(w1- w )2 1.6

?
x ?1

1

(x1- x )(y-

?
x ?1

1

(w1-

y)
1469

w )(y- y )
108.8

表中 w1 = x 1,

w =

1 8

? w1
x ?1

1

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为:

??

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

,? ? v ? ? u

2

(20)(本小题满分 12 分)
x2 与直线 y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点, 4 (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

(21)(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线;

(Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g( x)

? (x ? 0)

,讨论

h(x)零点的个数 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
C E D

(22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E (I) 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (II) 若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2, 圆 C2 : (x-1)2+(y-2)2=1, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M ,N

,求△C2MN

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0.

(Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围


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