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2018年高考数学(理)考试大纲解读 导数及其应用


2018 年考试大纲解读 考纲原文 函数的概念与基本初等函数 (十七)导数及其应用 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 2 3 (1)能根据导数定义求函数 y=C, (C 为常数) , y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x 的导 x 数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. ?常见基本初等函数的导数公式: ?常用的导数运算法则: 法则 1: 法则 2: 法则 3: 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间(其中多项式函数一般不超过三次). (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值 (其中多项式函数一般不超过三次) ; 会求闭区间上函数的最大值、 最小值 (其 中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义. 名师解读 与 2017 年考纲相比没什么变化,而且这部分内容作为高考的必考内容,在 2018 年的 高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现, “一小”即以选择题或填空题的形式考 查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用, 或以定积分的简单应用为主, 难度中等; “一大”即以压轴题的形式呈现, 仍会以导数的应用为主, 主要考查导数、 含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用,难度较大. 样题展示考向一 样题 1 利用导数研究函数的单调性 (2017 新课标全国Ⅰ理科)已知函数 f ( x) ? ae2 x ? (a ? 2)ex ? x . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 有两个零点,求 a 的取值范围. 考向二 利用导数研究函数的极值问题 样题 2(2017 新课标全国Ⅱ理科)若 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ?1)e x?1 的极值点,则 f ( x) 的极小值为 A. ?1 C. 5e?3 【答案】A B. ?2e ?3 D.1 【解析】由题可得 f ?( x) ? (2 x ? a)ex?1 ? ( x2 ? ax ?1)ex?1 ? [ x2 ? (a ? 2) x ? a ?1]e x?1 , 因为 f ?(?2) ? 0 ,所以 a ? ?1 , f ( x) ? ( x2 ? x ?1)e x?1 ,故 f ?( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x?1 , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? 1 , 所以 f ( x) 在 (??, ?2), (1, ??) 上单调递增,在 (?2,1) 上单调递减, 所以 f ( x) 的极小值为 f (1) ? (1 ?1 ?1)e1?1 ? ?1 ,故选 A. 【名师点睛】 (1) 可导函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0, 且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号不同; (2) 若 f(x)在(a, b)内有极值, 那么 f(x) 在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值. 样题 3(2017 新课标全国Ⅱ

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