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排列组合讲解与例题分析

排列与组合的应用题 历届高考数学试题中,排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限 制条件;或是限定元素的选择,或是限定元素的位置,这些应用问题的内容和情景是 多种多样的,而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有:一般方法和特殊 方法两种。 一般方法有:直接法和间接法。 (1)在直接法中又分为两类,若问题可分为互斥各类,据加法原理,可用分类法; 若问题考虑先后次序,据乘法原理,可用占位法。 (2)间接法一般用于当问题的反面简单明了,据的原理,采用排除的方法来获得问 题的解决。 特殊方法: (1)特元特位:优先考虑有特殊要求的元素或位置后,再去考虑其它元素或位置。 (2)捆绑法:某些元素必须在一起的排列,用“捆绑法”,紧密结合粘成小组,组内 外分别排列。 (3) 插空法: 某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”, 不需分离的站好实位, 在空位上进行排列。 (4)其它方法。 例 5.7 人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 (1)甲排中间; (2)甲不排两端;(3)甲,乙相邻; (4)甲在乙的左边(不要求相邻); (5)甲,乙,丙连排; (6)甲,乙,丙两两不相邻。 解:(1)甲排中间属“特元特位”,优先安置,只有一种站法,其余 6 人任意排列, 故共有:1×=720 种不同排法。 (2)甲不排两端,亦属于“特元特位”问题,优先安置甲在中间五个位置上任何一个 位置则有种,其余 6 人可任意排列有种,故共有· =3600 种不同排法。 (3)甲、乙相邻,属于“捆绑法”,将甲、乙合为一个“元素”,连同其余 5 人共 6 个 元素任意排列,再由甲、乙组内排列,故共有· =1400 种不同的排法。 (4)甲在乙的左边。考虑在 7 人排成一行形成的所有排列中:“甲在乙左边”与“甲 在乙右边”的排法是一一对应的,在不要求相邻时,各占所有排列的一半,故甲在乙的 左边的不同排法共有=2520 种。 (5)甲、乙、丙连排,亦属于某些元素必须在一起的排列,利用“捆绑法”,先将甲、 乙、丙合为一个“元素”,连同其余 4 人共 5 个“元素”任意排列,现由甲、乙、丙交换位 置,故共有=720 种不同排法。 (6)甲、乙、丙两两不相邻,属于某些元素必须不在一起的分离排列,用“插空法”, 先将甲、乙、丙外的 4 人排成一行,形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、 乙、丙插入其中的三个“空”,故共有

=1440 种不同的排法。 例 6.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出下列 各类数的个数: (1)奇数;(2)5 的倍数;(3)比 20300 大的数;(4)不含数字 0,且 1,2 不相邻的数。 解:(1)奇数:要得到一个 5 位数的奇数,分成 3 步,第一步考虑个位必须是奇 数,从 1,3,5 中选出一个数排列个位的位置上有种;第二步考虑首位不能是 0,从 余下的不是 0 的 4 个数字中任选一个排在首位上有种; 第三步:从余下的 4 个数字中任选 3 个排在中间的 3 个数的位置上,由乘法原理共有 =388(个)。 (2)5 的倍数:按 0 作不作个位来分类 第一类:0 作个位,则有=120。 第二类:0 不作个位即 5 作个位,则=96。 则共有这样的数为:=216(个)。 (3)比 20300 大的数的五位数可分为三类: 第一类:3xxxx, 4xxxx, 5xxxx 有 3 个; 第二类:21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的个; 第三类:203xx, 204xx, 205xx, 有个, 因此,比 20300 大的五位数共有:=474(个)。 (4)不含数字 0 且 1,2 不相邻的数:分两步完成,第一步将 3,4,5 三个数字排 成一行;第二步将 1 和 2 插入四个“空”中的两个位置,故共有=72 个不含数字 0,且 1 和 2 不相邻的五位数。 例 7.直线与圆相离,直线上六点 A1,A2,A3,A4,A5,A6,圆上四点 B1,B2, B3,B4,任两点连成直线,问所得直线最多几条?最少几条? 解:所得直线最多时,即为任意三点都不共线可分为三类: 第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24; 第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6; 第三类为已知直线为 1 条,则直线最多的条数为 N1=++1=31(条)。 所得直线最少时,即重合的直线最多,用排除法减去重合的字数较为方便,而重合 的直线即是由圆上取两点连成的直线,排除重复,便是直线最少条数: N2=N1-2=31-12=19(条)。


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