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2019版《5年高考3年模拟》文数A版精品课件:§2.1 函数的概念及表示_图文

高考文数 第二章 函数 §2.1 函数的概念及表示 知识清单 考点一 函数的概念及表示方法 1.函数与映射概念的比较 函数 两集合 A、B 对应关系 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 设A、B是两个非空数集 映射 设A、B是两个非空集合 f:A→B 中的① 任意 一个数② x 都 有③ 唯一确定 ,在集合B中 中的④ 任意 一个元素x,在集合B中都有唯 一确定的元素y与之对应 的数f(x)和它对应 称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B 名称 记法 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 y=f(x),x∈A 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映 射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 3.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值 域. 4.函数定义域的求法 (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数大于或等于零; (3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂的底数不为零; ? (5)三角函数中的y=tan x:x≠kπ+?(k∈Z); 2 (6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需g(x)∈D; (7)已知函数f[g(x)]的定义域,求函数f(x)的定义域,只需x∈{y|y=g(x)},即x ∈g(x)的值域. 5.求函数值域常用的方法 (1)列举法 直接根据函数的定义域与对应关系将函数值一一求出来写成集合形式 的方法叫做列举法.这种方法只适用于值域中元素为有限个或虽然是无 限个但却是与自然数有关的集合. 如狄利克雷函数: (x ), ?1   为有理数 f(x)= ?0( x为无理数). ? ? (2)逐层求值域法 逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域. 例如:求函数f(x)=?,x∈[2,5]的值域. 解析:∵x∈[2,5], ∴2x∈[4,10], 1 1 ? 2x ∴1-2x∈[-9,-3], 1 x) 1∈ 1∈? ?,即 ? ?. ∴? ? f,(? 1 ? 2x (3)分离常数法 ax ? b ? ? 3 9? ? ? 1 1? ? ,? ? ? ? 3 9? cx ? d≠0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解. 形如y=? (a 3x ? 5 例如:求函数y=? 的值域 . 2x ? 1 ?13 3 3 +2 ?≠?, 2 2 2x ? 1 ? ∴所求函数的值域为? ? y |. y ? R且y ? ? 3x ? 5 解析:y=?= 2x ? 1 ? 3? ? 2? (4)配方法 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,求形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x) +c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整体的 取值范围. (5)换元法 (i)代数换元.形如y=ax+b±?cx (a? ,bd ,c,d为常数,ac≠0)的函数,可设 ? =t? (t≥ cx d 0),转化为二次函数求值域.若有单调性,则用单调性更简捷, 如y=x+?x . ?1 1,可令 ? x 2 x=cos θ,θ∈[0,π], (ii)三角换元.如y=x+? ?∈[0,π]. 2 ? ∴y=cos θ+sin θ=?sin ,θ ?θ ? 4? ? ? ?? 换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (6)判别式法 把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0, a1 x 2 ? b1 x ? c1 求得原函数的值域,形如y= 2 (a1,a2不同时为零)的函数的值域 a2 x ? b2 x ? c2 ? 常用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项:(i)函数的定义域为R; (ii)分子、分母没有公因式. (7)有界性法 形如sin α=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函数,由|sin α|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的 范围,从而求出其值域. (8)数形结合法 若函数解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方 法求解值域. (9)基本不等式法 利用基本不等式:a+b≥2?ab (a>0,b>0)求函数的值域. 用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b≥ 2?ab 求某些函数的值域时,应满足三个条件:(i)a>0,b>0;(ii)a+b(或ab)为 定值;(iii)取等号的条件a=b.三个条件缺一不可. (10)单调性法 (i)单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若函数在端点处有定 义,则函数在端点处取最值,即 若y=f(x)在[a,b]上单调递增,则ymin=f(a),ymax=f(b); 若y=f(x)在[a,b]上单调递减,则ymin=f(b),ymax=f(a). 如果函数在端点处没有定义,则不可能在端点处取得最值. (ii)形如y=ax+b+?dx 的函数 ? c ,若ad>0,则用函数的单调性求值域;若ad< 0,则用换元法求值域. k (x≠0,k>0)的函数,在基本不等式的条件不具备的情况下 (iii)形如y=x+? k (k>0) (等号不成立),可考虑用函数的单调性求值域,当x>0时,函数y=x+? x 的单调减区间为(0,?], 单调增区间为[?,+k ∞).一般地,把函数y=x+? k k x x k?).kk (k>0,x>0)叫做对勾函数(图象形如“√”),其分界点为(?,2 >0,x< 0的情况,可根据函数的奇偶性解决. 6.相等函数 如果两个函数的⑤ 定义域 相同,并且⑥

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