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平面向量在高中数学中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 平面向量在高中数学中的应用 作者:王原光 来源:《亚太教育》2015 年第 03 期 摘要:平面向量作为数学工具,是代数和几何的纽带,是中学数学知识网络中的一个交汇 点,成为联系多项内容的媒介。向量和图象、函数、三角、数列、不等式、平面几何等基础知 识结合,应用数形结合和化归与转化等思想方法,将几何知识和代数知识有机地结合在一起, 能为多角度地展开解题思路提供广阔的空间。本文从六个方面说明了平面向量在高中数学中的 应用。 关键词:平面向量;数学思想方法;应用 近年来,我国把坐标和向量、概率分布、导数等陆续纳入三年制高中教学大纲,无疑是国 家数学课程改革的一个正确方向,也向教育先进国家靠拢迈出了坚实的一步。 坐标与向量,作为现行中学数学教材各成员中的“宠儿”,与其它数学知识有密切的联系, 应用起来非常方便,很讨人喜欢。以下根据本人的教学实践以及组织数学课外兴趣小组活动的 经历,与各位同仁谈谈平面向量如何体现它的工具与纽带的作用。 一、向量在图形上的应用 向量源于图形,它和几何的关系本是“鱼水”关系。许多几何问题,都可借向量简单解决。 例 1、已知平面上的一个三角形 ABC,在已知平面上有一点 P,设 AP 的中点是 Q,BQ 的中点是 R,CR 的中点是 S.证明只有唯一的一点 P 使得 S=P,另外,设这点为 P0 时,求 △ ABC 和△ P0BC 的面积比。 解析:取 A 为始点,设 AB=a,AC=b,AP=p,则 AQ=12p,AR=12(AQ+AB)=14 (p+2a),AS=12 (AR+AC)=18( p+2a+4b),根据题意,18 (p+2a+4b) =p。因此,p=27 (a+2b),由于 a 和 b 是确定的向量,所以 p 是唯一的一个向量。 再设 D 是将 BC 内分为 2﹕1 的点,那么,AP0=27(a+2b )=67a+2b2=67AD,P0 是将 AD 内分为 6﹕1 的点,设 S△ P0DC=k,则 S△ P0BD=2k, S△ AP0C=6k, S△ ABP0=12k. 因此,S△ ABC: S△ P0BC=21k:3 k=7:1. 这里,向量加法和定量比分点起了关键的定 位作用,具有其它方法所没有的优越性。 用向量法解几何题,通常分三步进行: 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 首先,将几何问题的条件和结论转化为向量问题,用向量语言表示;然后,设置基本向 量,将问题中的相关向量用“基本向量”表示出来;最后,通过“基本向量”进行推理、运算,得出 求解结论。其中“基本向量”选取是否恰当,直接影响问题解决的难易程度,这是解题过程中一 个关键要素。 至于向量在空间图形上的应用的好处,教材和各种资料已有较多的论述,各类问题都有专 门的讨论。比如证明共线(面)问题、平行问题、垂直问题、角和距离的求解,以及存在性等 问题几乎都可以用向量来解决,这里就不再举例了。 二、向量在函数中的运用 利用向量模的不等式︱︱-︱︱≤︱± ︱≤︱︱+︱︱(适当注意各种取等号的条件),可以 求解一类函数的最值问题。 例 2、求函数 y=x2-2x+5+x2+1 的最小值以及 y 取得最小值时 x 的值。 解析:y=(1-x)2+22+x2+12 设向量=(1-x,2), =(x,1)。 则 y=︱︱+︱︱≥︱+︱=(1-x+x)2+(2+1)2=10 上式等号成立时,当且仅当与同向共线。 即(1-x)· 1-x· 2=0 , x=13 时。 本例关键是

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