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高一数学单元测试题(附答案)

高一数学单元测试题
一、选择题 1.已知 M ? ( x, y) x ? y ? 2 , N ? ( x, y) x ? y ? 4 ,则 M ? N =( A. x ? 3, y ? ?1 B. (3,?1) C. ?3,?1? D. ?(3,?1)?

?

?

?

?



2.已知全集 ? =N,集合 P ? Q= ?1,2,3,5,9? 则 P ? C?Q ? ( ?1, 2, 3, 4, 6? ,

?

?

)

1,2,3? A. ?

B. ?5,9? C. ?4,6? D ? 1,2,3,4,6?

3.若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是 ( ? 3? x ?

)

1 ? (A) ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? (B) x 2 ? x ? 3 2 ? ?

?

?

? 1 ? 1? (C) ? x ? ? x ? 2? (D) ? ? x ?1 ? x ? ? ? 2? ? 2 ? ?
4.已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ? {x﹣y | x ? A,y ? A} 中元素的个数是( (A) 1 (B) 3 (C)5 5.下列图象中不能作为函数图象的是( (D)9 ) )

A

B

C

D

6.下列选项中的两个函数具有相同值域的有( )个 ① f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 2 ;② f ( x) ?
2 2 ③ f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 2 ;④ f ( x) ?

x ? 1 , g ( x) ? x ? 2 ;
x2 x2 g ( x ) ? , x2 ? 1 x2 ? 2
D.4 个

A.1 个

B.2 个

C.3 个

2 7. 化简: (log 2 5) ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2

1 ? ( 5



A.2

B. 2log2 5 C. ?2

D. ?2log 2 5

试卷第 1 页,总 4 页

| x | e? x 8.函数 y ? 的图像的大致形状是( x



A 9.函数 与.

B

C

D )

在同一平面直角坐标系内的大致图象为(

10 . 在 y ? 2 、 y ? log 2 x 、 y ? x 这 三 个 函 数 中 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时 , 使
x 2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒成立的函数个数是:( f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
A. 0 B.1
2

)

C.2

D.3 )

11.函数 y ? ? 1 ? 4x 的单调递减区间是(

A、 ? ??, ? B、 ? , ?? ? C、 ? ? , 0 ? D、 ?0, ? 2 2 2 2

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

? 1 ?

? ?

? 1? ? ?

12 . 定 义 区 间

[ x1 , x2 ] 的 长 度 为

x2 ? x1

( x2 ? x1 ) , 函 数

f( x ? )

(a 2 ? a)? x 1 ?(a a2 x

? R, 的定义域与值域都是 a 0 ) [m, n](n ? m) ,则区间 [m, n]

取最大长度时实数 a 的值为( ) A.

2 3 3

B.-3

C.1

D.3

二、填空题 13. 函数 f ( x) ? ?

?21? x ,  x ? 0, ? f ( x ? 1), x ? 0.
2 2

则 f (3.5)的值为.

14.函数 f ( x) ? log1 ( x ? 6 x ? 5) 的单调递减区间是. 15.如图,点 A 在反比例函数 y ?

k 的图像上, AB ? x 轴于点 B ,且 ?AOB 的面积 x

试卷第 2 页,总 4 页

S?AOB ? 2 ,则 k ? ;
y B A 第 7 题图 16.设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在 一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: .. (i) T ? { f ( x) | x ? S } ;(ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .那 么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 4 对集合. ① S ? R, T ? {?1,1} ; ② S ? N ,T ? N ;
*

O

x

③ S ? {x | ?1 ? x ? 3}, T ? {x | ?8 ? x ? 10} ; ④ S ? {x | 0 ? x ? 1}, T ? R ,其中,“保序同构”的集合对的序号是. 三、解答题 17.化简求值。

2 -2 (1) ( ) + (13

27 2 2) - ( ) 3 8
0


log5 3

(2) 2log3 2 ? log3 32 ? log3 8 ? 5

18. 已知 f ? x ? 是定义在 ? ?11 且 f ?1? ? 1, 若a, , b ?? ?11 , ? 上的奇函数, ? ,a ? b ? 0 ,



f ? a ? ? f ?b? ? 0 ,判断函数 f ? x ? 在 ? ?11 , ? 上的单调性,并证明你的结论. a?b

2 19.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ,集合 A ? x f ( x ) ? x .

?

?

(1)若 A ? ?1, 2? ,求 f ( x) 解析式。 (2)若 A ? ?1? ,且 f ( x) 在 x ?[m, ??) 时的最小值为 2m ? 1 ,求实数 m 的值。

试卷第 3 页,总 4 页

20.已知函数 y ? (1)求 M ;

2-x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

(2)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? 2 log2 2 x ? a log2 x 的最大值。

21.已知 f ( x) ? loga (1 ? x), g ( x) ? log a (1 ? x)(a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明; (3)求使 f ( x) ? g ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

22.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 2 , g ? x ? ? 2 ? 2 .
x ?x x ?x

(1)求 f

2

? x? ? g 2 ? x? 的值;

(2)证明 f ? x ? g ? x ? ? f ? 2x ? ; (3)若 f ? x ? y ? ? 2 , f ? x ? y ? ? 4 ,求 f ? x ? g ? y ? 的值.

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.D 2.C 3.D 4.C 【解析】试题分析:依题意,可求得集合 B={﹣2,﹣1,0,1,2},从而可得答案.

? A ? {0, 1,, 2} B ? {x﹣y | x ? A,y ? A} ,
∴当 x=0,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 0,﹣1,﹣2; 当 x=1,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 1,0,﹣1; 当 x=2,y 分别取 0,1,2 时,x﹣y 的值分别为 2,1,0; ∴B={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴集合 B ? {x﹣y | x ? A,y ? A} 中元素的个数是 5 个. 考点:集合中元素个数 5.B 【解析】 试题分析:根据函数的定义给自变量 x 一个值,y 必须有唯一的值与之相对应,对于 B 给自 变量 x 一个正值,y 两个值与之相对应,所以不能作为函数图象 考点:函数的概念 6.C 【解析】① f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 2 两函数值域均为 R ; ② f ( x) ?

x ? 1 , g ( x) ? x ? 2 两函数值域均为 R ? ;
2 2

③ f ( x) ? x ? 1 的值域为 ?1, ?? ? , g ( x) ? x ? 2 的值域为 ? 2, ?? ? ; 因为 0 ?

x2 1 1 1 1 ? 1 0 ? ? f ( x ) ? ④ =1 - 2 值 域 为 ? 0, ?? ? , 2 2 2 x ?1 x ?1 , x ?2 2 x ?1 ,

g ( x) ?
7.C 8.C

x2 2 ? 1? 2 值域为 ? 0, ?? ? ,故选 C。 2 x ?2 x ?2

e-x | x | ? e-x,x>0 ? ? -x 由函数的表达式知: x ? 0 y= x ??e ,x<0
9. C 试题分析:两函数均为偶函数,图象关于 y 轴对称,函数 而 10.B
答案第 1 页,总 4 页

在 x>0 时,为减函数,

值域为{y|y ? -1},故选 C。

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【解析】 试题分析:画出三个函数的图像,从图像上知,对 y ? 2x 和 y ? x2 来说,在它们的图象上 取任意两点, 函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方, 所以不满足题意. 而 y ? log 2 x 的图像正好相反,满足题意. 考点:函数的奇偶性和单调性. 11.C 【解析】 试题分析:由题意可知函数的定义域为 [ ? , ] ..又有函数 y ? 1 ? 4 x 2 在 [ ?

1 1 2 2

1 , 0] 上递增, 2

所以函数 y ? ? 1 ? 4x2 在区间 [ ?

1 , 0] 上是递减的.故选 C.本小题主要是考查复合函数的 2

单调性同增异减.另外要关注定义域的范围.这也是本题的关键. 考点:1.函数的定义域.2.复合函数的单调性. 12.D 【解析】

x ? 0, 试题分析: 设 [m, n] 是已知函数定义域的子集, [m, n] ? (??, 0) 或 [m, n] ? (0, ??) ,
故 函 数 f ( x) ?

? f (m) ? m (a 2 ? a )x ? 1 在 [m, n] 上 单 调 递 增 , 则 ? , 故 m, n 是 方 程 2 a x ? f (n) ? n

(a 2 ? a ) x? 1 ? x 的同号的相异实数根,即 a2 x2 ? (a2 ? a) x ? 1 ? 0 的同号的相异实数根. a2 x
因为 mn ?

1 2 ,所以 m, n 同号,只需 ? ? a ( a ? 3)(a ? 1) ? 0 ,所以 a ? 1 或 a ? ?3 , 2 a

1 1 4 4 2 3 ? n ? m ? (m? n)2 4mn ? ?3( ? )2 ? ,n ? m 取得最大值为 , 此时 a ? 3 , 3 3 a 3 3
故应选 D . 考点:1、函数的定义域;2、函数的值域; 13. 2 2 【解析】 试题分析: f ?3.5? ? f ?2.5? ? f ?1.5? ? f ?0.5? ? f ?? 0.5? ? 21?0.5 ? 2 2 ,故答案为 2 2 . 考点:分段函数的应用. 14. (5, ??) 【解析】
2 试题分析:先求定义域: x ? 6 x ? 5 ? 0, x ? 5 或 x ? 1. 再根据复合函数单调性确定单调区间.

答案第 2 页,总 4 页

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2 因为 u ? x ? 6 x ? 5 在区间 (5, ??) 上单调递增,在 (??,1) 上单调递减,又函数

y ? log 1 x
2

在定

f ( x) ? log1 ( x 2 ? 6x ? 5)
义区间上单调递减,所以函数 考点:复合函数单调性 15.-4 【解析】略 16.②③④. 【解析】
2

在区间 (5, ??) 上单调递减.

试题分析: “保序同构”的集合是指存在一函数 f ( x) 满足: (1).S 是 f ( x) 的定义域,T 是 值域, ( 2 ) . f ( x) 在 S 上 递 增 . 对 于 ① , 若 任 意 x1 , x2 ? S , 当 x1 ? x2 时 , 可 能 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,不是恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,所以①中的两个集合不一定是保序同
构 , 对 于 ② , 取 f ( x) ? x ? 1, x ? N 符 合 保 序 同 构 定 义 , 对 于 ③ , 取 函 数

f ( x) ?

9 7 ? x ? , x ? (?1,3) 符合保序同构定义, 对于④, 取 f ( x) ? tan(? x ? ), x ? (0,1) 符 2 2 2

合保序同构定义,故选②③④. 考点:新概念信息题,单调函数的概念,蕴含映射思想. 17. (1)1; (2)-3 18.增函数 【解析】任取 x1 , x2 ?? ?11 , , ? ,且 x1 ? x2 ,则 ?x2 ???11 ?. 又 f ? x ? 是奇函数, 于是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ?

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? . x1 ? ? ? x2 ?

由已知

f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , x1 ? ? ? x2 ?

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,
, ∴ f ? x ? 在 ? ?11 ? 上是增函数.
19. (1) a ? ?2, b ? 2 ; (2) m ? 3 或 ?
2

1 。 8
2

试题分析: (1) f ( x) ? x ? ax ? b ? x ,变形为 x ? (a ?1) x ? b ? 0 , 由已知其两根分别为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,由韦达定理可知: x1 ? x2 ? ?(a ? 1) ? 3 ; x1 x2 ? b ? 2

答案第 3 页,总 4 页

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解出: a ? ?2, b ? 2 (2)由已知方程 x2 ? (a ?1) x ? b ? 0 有唯一根 x0 ? 1 ,所以 ? 解出 a ? ?1, b ? 1 ,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ,其对称轴为 x ? 若m ?

?? ? (a ? 1)2 ? 4b ? 0 ? 1 ? (a ? 1) ? b ? 0



1 。下面分两种情况讨论: 2

1 时, f ( x)min ? f (m) ? m2 ? m ? 1 ? 2m ? 1,解出 m ? 3 2 1 1 1 1 3 若 m ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? 2m ? 1 ,解出 m ? ? 所以 m ? 3 或 ? 2 8 8 2 4
20. (1) x ? [1,2] ; (2) g (t ) max ? ?

?2 ? a, a ? ?2 ?0 , a ? ?2

【解析】 试题分析: (1)根据表达式,分母不为零,偶次格式下被开方数为非负数,得到结论。 (2)根据换元法思想,得到二次函数的最值的求解。 (1)函数 y ?

2-x ? 2 x ? 2 有意义,故: 2? x

?( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 解得: x ? [1,2] ?
(2) f ( x) ? 2 log2 x ? a log2 x ,令 t ? log2 x ,
2

可得: g (t ) ? 2t ? at, t ?[0,1] ,讨论对称轴可得: g (t ) max ? ?
2

?2 ? a, a ? ?2 ?0 , a ? ?2

21.略 【解析】略
2 2 x ?x ? ?4 ;??????????????5 分 22. (1) f ? x ? ? g ? x ? ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2

?

??

?



2



f ? x ? g ? x ? ? f ? 2x ? ? 22 x ? 2?2 x ;??????????????????10 分
( 3 )

? f ? x ? g ? y ? ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 6 ???????????????15 分
【解析】略

答案第 4 页,总 4 页


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