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2014年大连市高三第一次模拟考试文数


2014 年大连市高三第一次模拟考试
数学(文科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题

1.B 2.D 3.C 4.C

5.B 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D 11.C

12.A

二.填空题 13. 33? 14.

2 2

1 4 1 16. 2
15.

三.解答题 17. 解: (Ⅰ)设 ?a n ?公差为 d ,

? a1 ? d ? 5, ? 所以 ? a1 ? 2b1 ? 3, ?a ? d ? 2b ? 6, 1 ? 1
解得 a1 ? 2, d ? 3, b1 ?

1 , 2

………………4 分

所以 a n ? 3n ? 1, bn ? ( ) n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2

………………6 分

1 1 1 1 1 S n ? 2 ? ? 5 ? ( ) 2 ? 8 ? ( ) 3 + ? ? ? ?(3n ? 4)( ) n?1 ? (3n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ① ? 得 S n ? 2 ? ( ) 2 ? 5 ? ( ) 3 ? ? ? ? ?(3n ? 4)( ) n ? (3n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 2
①-②得

① ②……8 分

1 1 1 1 1 1 S n ? 2 ? ? 3 ? [( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1? 3 4 ? (3n ? 1)( ) n ?1 , 1 2 1? 2 1 n 整理得 S n ? ?(3n ? 5)( ) ? 5 . 2

………………10 分

………………12 分

18.解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为 0.1,在[15,20) 频率为 0.2,[20,25)之 间的频率为 0.3, 在[30,35)频率为 0.15, 所以在[25,30)上的频率为 0.25 , 所以样本中二等品的频率为 0.45, 所以该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率 0.45. (Ⅱ)因为一等品 6 件, 所以在[10,15)上 2 件,在[30,35)上 3 件, 令[10,15)上 2 件为 a 1 , a 2 ,在[30,35)上 3 件 b1 , b2 , b3 , 所以一切可能的结果组成的基本事件空间 , ( a1 , a 2 ) , ( a 1 , b1 ) , ( a 1 , b2 ) , ( a 1 , b3 )……}由 25 个基本事件组成. ? ? {( a 1 , a 1 ) 恰有 1 件的长度在区间[30,35)上的基本事件有 12 个 所以取出的两件产品中恰有 1 件的长度在区间[30,35)上的概率 p ?
…………10 分 ………………6 分 ………………4 分

12 .………………12 分 25

19.证明: (Ⅰ)取 PA 中点 F ,连接 EF , BF , 因为 E 为 PD 中点,所以 EF // 因为 BC // P

1 AD , 2
E F B
1

1 AD , 2

所以 EF //BC , 所以 EFBC 为平行四边形, 所以 BF // CE 因为 BF ? 平面 APB ,
………………4 分

C

A

D

CE ? 平面 APB ,

所以 CE // 平面 APB .………………6 分

P

(Ⅱ)取 CD 中点 G , AB 中点 H , 连接 PG, HG , PH , ∵ PC ? PD , CD 中点 G , ∴ PG ? CD ,

B H A D G

C

∵ ?APB 是等腰直角三角形, H 是 AB 中点, ∴ PH ? AB , HG ∥ AD 。∵ BC // AD , BC ? CD ,∴ HG ? CD ,………10 分

HG I PG ? G , HG ? 平面 PHG , PG ? 平面 PHG ,
∴ CD ? 平面 PHG 。 PH ? 平面 PHG ,∴ CD ? PH 。 ∵ AB ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , AB 和 CD 相交, ∴ PH ? 平面 ABCD .
………………12 分

20. 解: (Ⅰ) C : x ? 4 y 的焦点为 (0,1) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 的中点 ( x, y ) 。
2

AB 的方程为: y ? kx ? 1 。

联立方程组 ?

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 1.

化简得: x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 。

x?

x1 ? x2 y ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2k , y ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 , 2 2 2 1 2 AB 中点的轨迹方程: y ? x ? 1 。 2
2

………………4 分

2 x12 x0 ? x x (Ⅱ)设 P( x0 , 0 ) ,则直线 PA 的方程为: y ? ? 4 4 ( x ? x1 ) , 4 4 x1 ? x0 2 1

当 y ? ?1 时, x ?

?4 ? x1 x0 ?4 ? x1 x0 。即 M 点横坐标为 xM ? , x1 ? x0 x1 ? x0 xN ? ?4 ? x2 x0 。 x2 ? x0
………………8 分

同理可得 N 点横坐标为

2 2 ?4 ? x1 x0 ?4 ? x2 x0 16 ? 4 x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 x1 x2 ?4(?4 ? 4kx0 ? x0 ) xM gxN ? g ? ? ? ?4 2 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x0 ? x0 ?4 ? 4kx0 ? x0

所以 FM ? FN = ? xM , ?2 ? ? ? xN , ?2 ? = xM gxN ? (?2) ? (?2) ? ?4 ? 4 ? 0

… …12 分

21.(Ⅰ)证明:? f ( x) ? cos x ? 则 ? '( x) ? 1 ? cos x ,

x2 ? 1 ( x ? 0) ,则 f ' ( x) ? x ? sin x ,设 ? ( x) ? x ? sin x , 2
…………………………2 分

当 x ? 0 时, ? '( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,即 f ' ( x) ? x ? sin x 为增函数,所以 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 , 即 f ( x) 在 x ? 0 时为增函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 x ? 0 时, sin x ? x , cos x ? ?
…………………………4 分

x2 ?1 , 2
………8 分

所以

x2 ? x ? 1 ? sin x ? cos x ? 2 , 2
x

设 G ( x) ? e ?

x2 ? x ? 1 ,则 G '( x) ? e x ? x ? 1 ,设 g ( x) ? e x ? x ? 1 ,则 g '( x) ? e x ? 1 , 2

当 x ? 0 时 g '( x) ? e ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? e ? x ? 1 为增函数, 所以 g ( x) ? g (0) ? 0 , 所以 G ( x)
x

x

为 增 函 数 , 所 以 G( x) ? G(0) ? 0 , 所 以 e ? s i n x?c o x s? 2 对 任 意 的 x ? 0 恒 成
x

立. 又 x ? 0 , a ?1 时 , e 立.
ax

………………………10 分

? e x , 所 以 a ? 1 时 e ax ? sin x ? cos x ? 2 对 任 意 的 x ? 0 恒 成
………………………12 分

B
22. (Ⅰ)证明:连接 OD, CD ,∵ AD ? AE ? AC ,
2

D A E O
C



AD AC ,又∵ ?DAE ? ?DAC , ? AE AD

∴△ DAE ∽△ CAD ,∴ ?ADE ? ?ACD , ∵ OD ? OC , ?ACD ? ?ODC ,又∵ CE 是⊙ O 的直径, ∴ ?ODE ? ?CDO ? 90 , ?ODA ? 90 ,
0 0

∴ AB 是⊙ O 的切线。

………………5 分

(Ⅱ)解:∵ AB 、 BC 是⊙ O 的切线,∴ OB ? DC ,∴ DE P OB ,∴ ?CED ? ?COB , ∵ ?EDC ? ?OCB ,∴△ CDE ∽△ BCO ,∴ ∴⊙ O 的半径为 2.

DE CE 2 , DE ? OB ? 2R ? 8 , ? CO BO
………………10 分

23. 解: (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0. 圆 C 2 的直角坐标方程 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 4 , 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3 ) , 所以圆心的一个极坐标为 (2,

2? ). 3

………………5 分

(答案不唯一,只要符合要求的都给分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 (?1, 3 ) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

? 1? 3 ? 1 2

?

6 , 2
………………10 分

所以 AB = 2 4 -

6 = 4

10.

24. 解: (Ⅰ)由题可得 ?

? a ? 1, ?a ? 2,
?

所以 1 ? a ? 2, 因为 a ? N , 所以 a ? 2. (Ⅱ)因为 x ? 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 4 , 所以 f ( x) 的最小值是 4.
………………10 分 ………………5 分


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