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一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)


一元二次不等式的解法
(第三课时)

含参数的不等式

题型与解法
(一)含参数的一元二次不等式的解法 例4 解关于x下列不等式:x2 – ax – 6a2 < 0. 解:原不等式可化为:(x – 3a)(x +2a) < 0. ①当a=0时,x2 < 0,无解; ②当a>0时,3a > -2a,则有-2a<x<3a; ③当a<0时, 3a < -2a,则有3a<x<-2a. 综上, 当a=0时,原不等式的解集为空集; 当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}; 当a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.

题型与解法
(一)含参数的二次不等式

– ax – 2 >0. 练1. x2 +ax +4 >0. 练2.解关于x不等式: 练3.解关于x不等式:
2x 2 解关于x不等式: a

ax2 – (a+1)x +1 >0.

题型与解法
归纳小结 (一)含参数的二次不等式 解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论,逐步解决。
第一级讨论: 二次项系数a,一般分为a>0,a=0,a<0进行讨论; 第二级讨论:

方程根的判别式△,一般分为△>0,△=0, △<0进行讨论; 第三级讨论:

对应方程根的大小,若x1,x2分别是方程ax2+bx+c=0的 两根,一般分为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论. 若某级已确定,可直接进入下一级讨论.

题型与解法
(二)二次不等式的恒成立 例1 已知关于x下列不等式: (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ∈R都成立 ≥0对任意x ≥ 0恒成立, ≥0的解集为R 试求a的取值范围. 解:令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,

①当a=2时,y=1符合题意; ②当a>2时,则△≤0,有2<a≤6;
③当a<2时,则a的值不存在;

△=(a-2)2-4(a-2) =(a-2)(a-6)

综上,所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.

题型与解法
(二)不等式的恒成立

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

变式训练 1 (1)已知不等式

题型与解法

(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 恒成立,求实数m的取值范围.

[1,19)

题型与解法

变式训练2
函数
f ( x) ? kx ? 6kx ? k ? 8
2

的定义域为R,则实数k的取值 范围是 .

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: x=m/2 (1)两根都大于0; (2)一个根大于0,另一个根小于0; (3)两根都小于1. x1

x2

解:令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交 则△=m2-4(-m+3)=(m+6)(m-2)≥0

得m≤-6或m≥2. ∴ 所求实数m的取值集合为:{m|m≤-6或m≥2}.

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: (1)两根都大于0; x=m/2 解: (1) ∵两根都大于0
?? ? 0 ?m ? ?? ? 0 ?2 ? f (0) ? 0 ?

?m ? ?6或m ? 2 ? 即 ?m ? 0 ??m ? 3 ? 0 ?

o

x1

x2

∴ 2≤ m<3.

∴ 所求实数m的取值集合为:{m|2≤ m<3}.

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解: (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
? ??0 ?? ? f (0) ? 0

? m ? ?6或m ? 2 即? ? ?m ? 3 ? 0
x1 o

x=m/2

∴ m>3.

x2

∴ 所求实数m的取值集合为:{m|m>3}.

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题

例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合: (3)两根都小于1;
解: (3) ∵两根都小于1,
?? ? 0 ?m ? ?? ? 1 ?2 ? f (1) ? 0 ?

?m ? ?6或m ? 2 ? 即 ?m ? 2 ? ?2 m ? 4 ? 0 ?

x=m/2

x1

x2 1

∴ m≤ -6.
∴ 所求实数m的取值集合为:{m|m≤-6}.

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题

归纳小结

借助图像“四看”:
“一看”: 开口方向

“二看”: 判别式的正负
“三看”: 对称轴的位置

“四看”: 区间端点值的正负

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个正根 两个负根 一正根 一负根 一正一负,且 负的绝对值大

? ?? ? 0 ? b ? ?x 1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? ?x 1 x 2 ? a ? 0 ?

? ?? ? 0 ? b ? ?x 1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? ?x 1 x 2 ? a ? 0 ?

?? ? 0 ? ? c ?x 1 x 2 ? a ? 0 ?

? ?? ? 0 ? b ? ?x 1 ? x 2 ? ? ? 0 a ? c ? ?x 1 x 2 ? a ? 0 ?

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
y y 一个根小于k,一个根 大于k y

k
o

k

x

k o

x

o

x

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f (k ) ? 0 ?

f(k)<0

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布
两个根都在(k1 y

, k2 )内

x1<k1 < k2 <x2 y o k1 k2

k1 o

k2

x

x

?? ? 0 ? b ?k1 ? ? ? k2 ? 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0 ?

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0

题型与解法
(四)一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x 2 ? 2mx ? m ? 12 ? 0 .

变式训练3

(1)若方程有两个不等实根,求 m 的取值范围; (2)若方程中一个根比 1 大,另一个根比 1 小,求 m 的取值范围; (3)若方程中的两根均大于 1,求实数 m 的取值范围.
2.若 x2 ? (k ? 1) x ? 2k ?1 ? 0 的两根 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 则 k 的取值范围是 .

3.已知关于 x 的方程 x2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 无正根, 求 m 的取值范围.

题型与解法
(三)逆向问题

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3
[思路分析] 由不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 对应的方程

1 1 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 可利用二次方程 2 3
2

求出 a,b.

题型与解法
(三)逆向问题

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 解法一:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3
2

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

1 1 ∴方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 2 3 1 ?1 ? 4 a ? 2 b ? 2 ? 0, ?a ? ?12, ? ?? ? a ? b ? ?10. 得? ? a ? 1 b ? 2 ? 0. ?b ? ?2. ?9 3 ?

题型与解法
(三)逆向问题

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 解法二:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3
1 1 ∴方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 2 3 b ? 1 1 ?a ? ?12, ?? 2 ? 3 ? ? a , 由韦达定理得 ? 得? ? ?b ? ?2. 1 1 2 ?( ? ) ? ( ) ? , ? a ? b ? ?10. ? 2 3 a ?
2

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

题型与解法
(三)逆向问题

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 解法三:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3 1 1 a a 2 2 ? (ax ? bx ? 2) ? a( x ? )( x ? ) ? ax ? x ? , 2 3 6 6
? a ? ? 6 ? 2, ? a ? ?12, 由待定系数法得 ? ? ? a ? b ? ?10. ?? a ? ? b, ?b ? ?2. ?6 ?

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

题型与解法
(三)逆向问题
2

变式训练2

若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解

1 集是 {x | ? ? x ? 2} ,求不等式 3 2 cx ? bx ? a ? 0 的解集.

1 {x | ?3 ? x ? } 2

课堂练习
1.下列不等式中,解集为实数集R的是( D ) (A) ( x ? 1) ? 0
2

(B) | x3 ? 8 |? 0

(C) | x |? 0

(D)
2

x ? 2x ? 3 ? 0
2
2

2.当 a ? 0时, 不等式x ? ax ? 12a ? 0 的解是(C)
(A) x ? ?3a或x ? 4a (B) ? 3a ? x ? ?4a (C) 4a ? x ? ?3a (D) ? 3a ? x ? 4a

课堂练习
3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是
{x|-1/2<x<1/3},则a+b= -14 (a=-12,b=-2) . (2)关于x不等式ax2+bx+c>0的解集是 {x|x<-2或x>1/2},则关于x的不等式 ax2-bx+c<0的解集为 {x|-1/2<x<2} . ⑶ 对于任意实数x,ax2+4x-1≥-2x2-a,对 于任意实数恒成立,则实数a的取值范围 为 a≤-3或a≥2 . 4.当m为何值时,方程x2-2mx+2m+3=0 (1)有两个负实数根? -3/2<m≤-1 (2)有一个正根,一个负根. m<-3/2 (3)两根大于2. 3≤m< 7/2

课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下,但必须注意前后的等价; 2.一元二次方程根的分布问题; 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a

x1

x2

课后作业

1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题; 2.课时作业.

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!

再见!



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