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2015-2016学年高中数学 第1章 9三角函数的简单应用课件 北师大版必修4


第一章
三角函数

第一章
§9 三角函数的简单应用

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

南宋著名诗人王十朋在江心寺题了一副知名对联.上联
是:云朝朝朝朝朝朝朝朝散;下联是:潮长长长长长长长长 消.

在这里,诗人王十朋巧妙地运用叠字对联展现了瓯江潮水
涨落的壮观画面,当然他对瓯江潮水的描述是感性的,学习三 角函数的应用后,我们可以从数学的视角理性地研究有关瓯江 潮水涨落的一些实际问题.

三角函数 是 周期现象是自然界中最常见的现象之一,____________ 研究周期现象最重要的数学模型. Asin(ωx+φ)+B 是一项 面对实际问题建立数学模型 y=_________________ 重要的基本技能.

π 1.简谐振动y=2sin(2x+3)的相位是( A.2 C.3 π B.2 π D.2x+3

)

[答案] D

2.如图,单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置O的距离mcm和时间ts的函数 π 关系式为m=6sin(t+ 6 ),那么单摆来回摆 动一次所需的时间为( A.2πs C.0.5s [答案] A
2π 2π [解析] T= ω = 1 =2π.

) B.πs D.1s

3.(2015· 陕西理,3)如图,某港口一天6时到18时的水深
?π ? 变化曲线近似满足函数y=3sin ?6x+φ? +k.据此函数可知,这段 ? ?

时间水深(单位:m)的最大值为(

)

A.5 C.8

B.6 D.10

[答案] C [解析] 正弦函数的解析式中A=3,所以最高点和最低点 相差6,所以水深的最大值为6+2=8.故本题正确答案为C.

4.交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的关系可 π 用E=220 3 sin(100πt+ 6 )来表示,则在________秒时电压第一 次获得最大值. 1 [答案] 300

π π 1 [解析] 当100πt+ 6 = 2 ,即t= 300 秒时,电压第一次获得

最大值 220 3伏.

5.下图是一弹簧振子做简谐振动的图

像,横轴表示振动时间,纵轴表示振子的
位移,则这个振子振动的函数解析式为 ________.
5 π [答案] y=2sin(2πt+4) [解析] 易知在y=Asin(ωt+φ)中,A=2,T=2×0.4=

2π 5π 0.8,∴ ω =0.8,∴ω= 2 . π 又点(0.1,2)在图像上,代入可得φ=4. 5 π ∴解析式是y=2sin(2πt+4).

课堂典例讲练

三角函数在日常生活中的应用

已 知 某 海 滨 的 海 浪 高 度 y( 单 位 : 米 ) 是 时 间
t(0≤t≤24 ,单位:时 ) 的函数,记作 y = f(t) .下表是某日各时间 段内的海浪高度的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经过长期观测, y = f(x) 的曲线可近似地看成是函数 y = Acosωt+B.

(1) 根据以上数据,求出函数 y = Acosωt + B 的最小正周期
T,振幅A及函数表达式; (2)根据规定,当海浪高度高于 1米时,海滨才对冲浪爱好

者开放,请依据 (1) 的结论,判断一天内从上午 8 : 00 至晚上
20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? [思路分析] 把实际问题与数学知识相结合,弄清条件和 结论,建立恰当的数学模型进行求解.

[规范解答]

(1)由表中数据知最小正周期为T=12,

2π 2π π 所以ω= T =12=6, 将t=0,y=1.5,代入y=Acosωt+B,得1.5=A+B,① 将t=3,y=1.0,代入y=Acosωt+B,得B=1.0② 由①②得A=0.5,B=1.0, 1 所以振幅为A=2. 1 π 所以函数表达式为y=2cos6t+1.

(2)由题意知当y>1时,海滨才可对冲浪爱好者开放, 1 π 所以2cos6t+1>1, π 所以cos6t>0, π π π 所以2kπ-2<6t<2kπ+2,k∈Z, 即12k-3<t<12k+3,k∈Z③

因为0≤t≤24,故可令③中k分别为0,1,2,
得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24. 所以在规定时间从上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时

的时间可供冲浪爱好者运动,即上午9:00至下午15:00.
[规律总结] 的. 用待定系数法求出解析式中的未知参数,从 而确定解析式.求时间段是通过建立不等式、解不等式来完成

已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y
?π 5π? =10sin?8x- 4 ?+20,x∈[4,16]. ? ?

(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存,那么在这 段时间内,该细菌能生存多少时间?

[解析] (1)由函数易知,当x=14时,函数取最大值即最 高温度为30℃,当x=6时,函数取得最小值,即最低温度为 10℃,所以,最大温差为30℃-10℃=20℃.

π 5π π 5π 1 (2)令10sin( 8 x- 4 )+20=15,可得sin( 8 x- 4 )=- 2 ,而x 26 ∈[4,16],所以x= 3 . 令10sin
?π 5π? ? x- ? 4? ?8

+20=25,可得sin

?π 5π? ? x- ? 4? ?8

1 = 2 ,而x∈

34 [4,16],所以x= 3 . 34 26 8 故该细菌的存活时间为 3 - 3 =3(小时).

三角函数在物理中的应用 如图所 示 , 表示 电 流 I( 单位 :安 ) 与时 间 t( 单

位:秒)的关系式I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图
像.

(1)试根据图像写出I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使I=Asin(ωt+φ)中,t在任意一段 100 秒的时间内 能同时取最大值A和最小值-A,那么正整数ω的最小值为多 少?
[思路分析] 这是一道给出图像来求解析式,进而研究在 某区间内能否有最值的问题.首先找振幅和周期,从而求出A 和ω,再用一个特殊点的坐标(注意“五点”的顺序)代入或根 据平移情况求出φ.在大于或等于一个周期的区间内可同时有最 大值和最小值.

[规范解答]

1 1 1 (1)由图已知A=300,T=60-(-300)=50,

2π 所以ω= T =100π. 1 又因为(150,0)是“五点法”作图的第三个点, 1 π 所以150×100π+φ=π.所以φ=3. π 所以I=300sin(100πt+3). 1 2π 1 (2)依题意有T≤100,即 ω ≤100.所以ω≥200π, 又因为ω∈N+,所以ω的最小正整数为629.

[规律总结]

这类问题的特点是三角函数的解析式结构已

知,要求根据图像或性质首先求出待定的 A , ω , φ , b 的值, 然后再利用解析式解决有关问题,其中准确确定待定字母的值 是解题的关键.

如图,弹簧挂着的小球作上、下振动,时间t(s)与小球相 对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式
? π? 是h=2sin ?t+4? ,t∈[0,+∞),以t为横坐标,h为纵坐标,画 ? ?

出这个函数在长度为1个周期的闭区间上的简图,并回答下列 问题:

(1)小球开始振动(即t=0)时的位置在哪里?
(2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)经过多少时间小球往复振动一次(即周期是什么)? (4)小球每1s能往复振动多少次? ? π? [解析] 函数h=2sin?t+4?,t∈[0,+∞), ? ?
在长度为一个周期的闭区间上的简图为

? π? (1)当t=0时,h=2sin?0+4?= ? ?

2cm.

即小球开始振动时的位置在离平衡位置 2cm处.
? π? (2)当sin?t+4?=1时,hmax=2, ? ? ? π? 当sin?t+4?=-1时,hmin=-2, ? ?

即小球最高点、最低点与平衡位置的距离都是2cm. 2π (3)由T= ω 得T=2π,即经过2πs,小球往复振动一次. 1 1 1 (4)f=T=2π,即小球每1s往复振动2π次.

利用三角函数求最值
如图所示,四边形ABCD是一块边长为100m的 正方形地皮,其中AST是半径为90m的扇形小山,其余部分都 是平地.开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个 顶点P在 ST 上,相邻两边CQ、CR落在正方形的BC、CD上, 求矩形停车场PQCR的面积的最大值和最小值.(提示:sin2θ+ cos2θ=1)



[思路分析]

π 以A为角的顶点,设∠PAB=θ(0≤θ≤ 2 ),将

矩形的面积用该角表示,从而利用三角函数求出停车场的最 值.

[规范解答]

设∠BAP=θ(0° ≤θ≤90° ),延长RP交AB于

M,则AM=90cosθ,MP=90sinθ, ∴PQ=MB=100-90cosθ,PR=100-90sinθ. ∴S矩形PQCR=PQ· PR =(100-90cosθ)(100-90sinθ) =10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.

t2-1 令t=sinθ+cosθ,则sinθcosθ= 2 , t2-1 ∴S=10000-9000t+8100× 2 8100 10 2 = 2 (t- 9 ) +950. 由于t=sinθ+cosθ(0° ≤θ≤90° ), ∴有1≤t≤ 2. 10 故当t= 9 时,S矩形取得最小值950m2, 当t= 2时,S矩形取得最大值(14050-9000 2)m2.

[ 规律总结 ]

此题设变量是关键,若设 CR = x 为参数,很

难列出面积表达式,列出了也无法处理.考虑到矩形变化过程 中,AP始终等于90不变,于是我们引入θ,用90和θ表示题中边 长.另外,本题同时出现了 sinθ + cosθ 与 sinθ·cosθ,应迅速想

到令t=sinθ+cosθ换元.

如图,动点P在以AB=4为直径的半圆 上自A向B运动,设 AP =x,△ABP的面积 为S,试把S表示成x的函数,并求当S取最 大值时x的值.



x [解析] 由弧长公式得∠AOP=2(0<x<2π), ∴△ABP的面积是 1 1 x x x S=2×2OA×OPsin2=2×2×2×2×sin2=4sin2, x 即S=4sin2. x x π 当sin2=1,即2=2,x=π时,Smax=4.

三角函数在测量方面的应用 如图,有一条河,河岸的一侧有一个很高的建 筑物AB,一人位于河岸另一侧P处,手中有一个测角器(可以测

仰角)和一个可以测量长度的皮尺 (测量长度不超过5 m),请你
设计一种测量方案(不允许过河),给出计算建筑物的高度AB及 P点到A点的距离公式,希望在你的方案中被测量数据的个数尽 量少.

[思路分析] 从实际问题中抽象出数学问题,并解决. [规范解答] P位于开阔地域,则测量方案如下:在PA所
在水平直线上选取另一测量点Q,被测量的数据为PC的长度 (测角器的高)、PQ的长度、测角器在P点和Q点的仰角α和β.(如 图所示). 设AB=x,PA=y,则计算公式为: x-PC x-PC y =tanα,y+PQ=tanβ, PQtanαtanβ PQtanβ 解得x=PC+ ,y= . tanα-tanβ tanα-tanβ

[规律总结] 等概念.

本题主要考查三角函数知识在建筑学中的应

用.对于测量中的问题,要理解仰角、俯角、方位角、方向角

如图所示,在山顶上有一个高为 h 的塔 BC ,从塔顶 B 测得
地面上一点A的俯角为α,从塔底C测得A点的俯角为β,求山高 H.

[解析] 由题意得,在Rt△ACD中,AD=Hcotβ, 在Rt△ABD中,AD=(H+h)cotα, hcotα ∴Hcotβ=(H+h)cotα,解得H= . cotβ-cotα hcotα 答:山高为 . cotβ-cotα

易错疑难辨析

2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是 以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形ABCD(如图 所示).如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,若记 ∠FAB=θ,试求sinθ+cosθ的值.

[错解] 由题可知,Rt△ABF≌Rt△BCG≌Rt△CDH≌Rt △DAE,故AF=BG=CH=DE.因为大正方形的面积与小正方 形的面积分别为25和1,所以它们的边长分别为5和1.即AB= BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1. BF 设AF=x,则BF=BG-GF=x-1,于是得sinθ= AB = x-1 AF x 2 2 2 2 ①, cos θ = = ② . 在 Rt △ ABF 中, AF + BF = AB ,即 x AB 5 5 +(x-1)2=25.解之得x=4或x=-3.

4 3 由①②知,当 x=4 时,cosθ=5,sinθ=5; 3 4 当 x=-3 时,cosθ=-5,sinθ=-5. 7 综上所述,sinθ+cosθ 的值为± 5.
[辨析] 由已知可知,∠FAB=θ为弦图中的Rt△ABF的一 个内角,应为锐角.而错解中,x=-3时,cosθ<0,sinθ<0, 显然此时θ不为锐角,即x=-3使实际问题没有意义,故应舍 去.

[正解] 由前面分析可知x=4,可得求得sinθ+cosθ的值 7 为5.
[点评] 利用三角函数解决实际时,要注意实际问题的意 义.


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