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2017版高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第2讲 用样本估计总体练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第 2 讲 用样本估计 总体练习 理
一、填空题 1.(2015·重庆卷改编)重庆市 2013 年各月的平均气温(°C)数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是________. 解析 从茎叶图知所有数据为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间 两个数为 20,20,故中位数为 20. 答案 20 2.如图是一容量为 100 的样本的质量的频率分布直方图,样本质 量均在[5,20]内,其分组为[5,10),[10,15),[15,20],则 样本质量落在[15,20]内的频数为________. 解析 由题意得组距为 5,故样本质量在[5,10),[10,15)内 的频率分别为 0.3 和 0.5,所以样本质量在[15,20]内的频率为 1-0.3-0.5=0.2,频数为 100×0.2=20. 答案 20 3.某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,?,x10,其均值和方差分别为 x 和 s ,
2

若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为 ________. 解析 1 10

x=

x1+x2+?+x10
10



s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(x10- x )2],
月工资增加 100 元后:

x? =


(x1+100)+(x2+100)+?+(x10+100) 10 10 1 10 +100= x +100,

x1+x2+?+x10

s′2= [(x1+100- x ? )2+(x2+100- x ? )2+?+(x10+100- x ? )2]=s2.
答案

x +100,s2
1

4.(2016·泰州调研)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相 同,则 =________.

m n

解析

由题中茎叶图可知甲的数据为 27、30+m、39,乙的数据为 20+n、32、34、38.

由此可知乙的中位数是 33,所以甲的中位数也是 33,所以 m=3.由此可以得出甲的平均 20+n+32+34+38 m 数为 33,所以乙的平均数也为 33,所以有 =33,所以 n=8,所以 = 4 n 3 . 8 答案 3 8

5.为了普及环保知识, 增强环保意识, 某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十 分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x,则 me,mo, x 从小到 大的关系为________.

5+6 解析 30 个数中第 15 个数是 5,第 16 个数是 6,所以中位数 me= =5.5,众数 mo=5,平均 2 3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2 179 值x = = .∴mo<me< x . 30 30 答案 mo<me< x 6.(2016·南昌模拟)若 1, 2, 3, 4, m 这五个数的平均数为 3, 则这五个数的方差为________.

1+2+3+4+m 解析 ∵这 5 个数的平均数为 3,∴ =3,∴m=5.故方差为 2. 5 答案 2 7.(2016·南京、盐城调研)我市某校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于 60 分的人数是 15

2

人,则该班的人数是________.

解析 第一组的频率为 0.005×20=0.1,第二组的频率为 0.01×20=0.2, 15 ∴总人数为 =50. 0.3 答案 50 8.在样本频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,已知中间一个小长方形的面积是其余 4 1 个小长方形面积之和的 ,且中间一组的频数为 10,则这个样本的容量是________. 3 1 解析 设中间小长方形的面积为 S,则 S= (1-S), 3 1 1 3S=1-S,∴S= ,即中间一组的频率为 . 4 4 频数 10 ∵中间一组的频数为 10,∴样本容量= = =40. 频率 1 4 答案 40 9.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试.现随机调查了 24 名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 人数 [60,65) 2 [65,70) 3 [70,75) 4 [75,80) 9 [80,85) 5 [85,90] 1

据此估计允许参加面试的分数线大约是________分. 100 1 解析 因为参加笔试的 400 人中择优选出 100 人, 故每个人被择优选出的概率 P= = , 400 4 1 因为随机调查 24 名笔试者,则估计能够参加面试的人数为 24× =6,观察表格可知, 4 分数在[80,85)有 5 人,分数在[85,90)的有 1 人,故面试的分数线大约为 80 分. 答案 80 10.为了了解某校九年级 1 600 名学生的体能情况,随机抽查了部分学生,测试 1 分钟仰卧 起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图,给出以下结论:① 该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25 次;②该校九年级学生 1 分钟仰 卧起坐的次数的众数为 27.5 次;③该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的人 数约有 320 人;④该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的人数约有 32 人.根
3

据统计图的数据,可判断结论正确的是________(填序号).

解析 由题图可知中位数是 26.25 次,众数是 27.5 次,1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的频率为 0.2, 所以估计该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的人数约有 320 人;1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的频率为 0.1,所以该校九年级学生 1 分钟仰 卧起坐的次数少于 20 次的人数约有 160 人.故④是错误的. 答案 ①②③ 11.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成 等比数列{an},已知 a2=2a1,且样本容量为 300,则小长方形面积最大的一组的频数为 ________. 解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an},且 a2=2a1,∴样本的频率构成一个 等比数列,且公比为 2,

1 ∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1,∴a1= , 15 ∴小长方形面积最大的一组的频数为 300×8a1=160. 答案 160 二、解答题 12.某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不 同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高. 解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08. 2 =25. 0.08

由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为

4

(2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的 4 矩形的高为 ÷10=0.016. 25 13.(2015·广东卷)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180, 200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布 直方图如图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民, 则月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取多少户? 解 (1)依题意,20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解

得 x=0.007 5. (2)由图可知,最高矩形的数据组为[220,240), 220+240 ∴众数为 =230. 2 ∵[160,220)的频率之和为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45,∴依题意,设中位数 为 y, ∴0.45+(y-220)×0.012 5=0.5.解得 y=224, ∴中位数为 224. (3) 月 平 均 用 电 量 在 [220 , 240) 的 用 户 在 四 组 用 户 中 所 占 比 例 为 0.012 5 5 = , 0.012 5+0.007 5+0.005+0.002 5 11 5 ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 11× =5(户). 11 14.(2014·新课标全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项 质量指标值,由测量结果得如下频数分布表: 质量指标 值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8
5

(1)作出这些数据的频率分布直方图:

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定? 解 (1)

(2)质量指标值的样本平均数为

x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为

s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.

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