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任意角的三角函数导学案

课题:3.2.1 任意角的三角函数(第一课时)

一 教学目标
1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法; 3. 已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值.

二 教学重难点:
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。 难点: 任意角的三角函数不同的定义方法; 已知角α 终边上一点, 会求角α 的各三角函数值.

三 复习回顾:
复习 1:用弧度制写出终边在下列位置的角的集合. (1)坐标轴上; (2)第二、四象限. 复习 2:锐角的三角函数如何定义? 在初中,我们如果要求一个锐角的 三角函数值,经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值,从而得到锐角三角函数的值。那么, 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便 的去求一个锐角的三角函数值吗?我们可以采用以下方法: 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的 非负半轴重合,那么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取

y P(a,b) α o M x

一点 P(a, b) , 它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 . 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .可得: MP b MP = , tan ? ? = . sin ? ? ? ; cos? ? OP r OM y P'(a',b') 四、新课学习: P(a,b) 知识点 1:三角函数的定义 认真阅读教材 P11-P12,领会下面的内容: 由相似三角形的知识,对于确定的角 ? ,这三个比值不会 α 随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变,因此我们 o M M' x 可以将点 P 取在使线段 OP 的长为 r=1 的特殊位置上, 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为: MP OM MP sin ? ? ? _____; cos? ? ? _____; tan ? ? ? ___ OP OP OM 问题:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么,角的概念推广以后, 我们应该如何得到任意角的三角函数呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类 似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值. 注:单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 上述的点 P 就是 ? 的终边与单位圆的交点,这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐 标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角 的三角函数值。 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,那么: (1)y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ; (2)x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ; y (3) 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan? . x y 即: sin ? ? y , cos? ? x , tan ? ? ( x ? 0) . x

练习:角 tan

4 ? 与单位圆的交点坐标为 3
.

,则 sin

4 ?= 3

,cos

4 ?= 3



4 ?= 3

注:1)当 ? ? 所以 tan ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0,

y 无意义. x
定义域

2)三角函数的定义域: 函数

y ? sin x
y ? cos x

R
R
{x | x ? kπ ? ? π , k ? Z} 2

y ? tan x

确定三角函数的定义域时,要抓住分母不为 0 这一关键,当角的终边在坐标上时,点 P 的坐 标中必有一个为 0. 3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因而三角函数可以看成是自变量为 实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为 函数,我们将它们统称为三角函数。 探究: 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值 呢? 根据相似三角形的性质,在直角坐标系中,设 α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,它与原点的距离为 r(r ? | x | ? | y | ? x ? y ? 0) ,则:
2 2 2 2

x y y ; cos? = ; tan? = . r r x 注意:①一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关,而与点的选取无关。 ②为计算方便, 我们把半径为 1 的圆 (单位圆) 与角的终边的交点选为点的理想位置。 典型例题:
sin ? ?
例:求

3? 角的正弦、余弦和正切值. 4

变式练习 1 求

5? 角的正弦、余弦和正切值 6

小结:作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一 x y y 个容易找到的点,利用 sin ? ? , cos? = , tan? = 求三角函数值. r r x 2、求

5? 角的正弦、余弦和正切值 3

例:已知角 ? 的终边经过点 P(4,-3),求 sin ? 、cos ? 、 tan? 的值;

练习:已知角 ? 的终边经过点 P(-4,-2),求 sin ? 、cos ? 、 tan? 的值;

方法总结:首先判断角的终边是否在单位圆上,再确定做题的方法。 例:已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值;

例:已知角 ? 的终边在直线 y=-3x 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值。

练习:已知角 终边上一点P( x,3)(x ? 0),且cos? ? ?

10 , 求 sin ? , cos? . 10

例:求 y ?

sin x ? cos x 的定义域。 tan x

练习:求函数 ? ? cosx ? sin x的定义域。 y

当堂检测 ? 1. tan(? ) ? ( 4
A. 1 2. sin B. ?1

). C.
2 2

D. ?

2 2

7? ). ?( 6 3 3 1 1 A. B. ? C. D. ? 2 2 2 2 3. 如果角α 的顶点在原点, 始边在 x 轴的正半轴重合, 终边在函数 y ? 5 x ( x ? 0) 的图象上, 那么 tan? 的值为( ). 1 1 A. 5 B. -5 C. D. ? 5 5 4. cos(?30?) ? . 5. 已知点 P(3a, ?4a) (a ? 0) 在角α 的终边上,则 tan? = .

课后作业:
(一)选择题 1、已知角α 的终边过点 P(-1,2),cosα 的值为 A.- ( ) D.

5 5

B.- 5

C.

2 5 5

5 2 2 x, sinα 的值为 ( ) 则 4

2、 是第二象限角,(x, α P

5 ) 为其终边上一点, cosα = 且

A.

10 4

B.

6 4

C.

2 4

D.-

10 4

二.填空题 3、角α 的终边上有一点P(m,5) ,且 cos ? ?

m , (m ? 0) ,则sinα +cosα =______. 13

4、已知角θ 的终边在直线 y =

3 x 上,则 sinθ = 3

; tan ? =



三 解答题 5、已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) , 求 2sin ? +cos ? 的值.

知识点二:任意角的三角函数值在各象限内的符号:
由于 r ? 0 ,所以任意角的三角函数的符号取决于点 P 所在的象限.
x 当角 ? 的终边在第一象限时, P 在第一象限, ? 0, y ? 0 , 点 所以 sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ;

当角 ? 的终边在第二象限时, P 在第二象限,x ? 0, y ? 0 , 点 所以 sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ; 当角 ? 的终边在第三象限时, P 在第三象限,x ? 0, y ? 0 , 点 所以 sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ; 当角 ? 的终边在第四象限时, P 在第四象限,x ? 0, y ? 0 , 点 所以 sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 . 任意角的三角函数符号的记忆方法: 正弦正 y 全正

o 正切正 余弦正

x

典型例题:
例:判定下列各角的各三角函数符号: (1)4327 (2

27? . 5

3) cos

5? 4

4) tan

7? 4

5) sin 105? cos230?

6) cos6 sin 6

分析 关键是判定角所在的象限. 练习:判断下列三角函数值的符号。

1) cos 250 ?

2) sin( ? ) 4

?

3) tan( ?672 ?)

4) tan 3?

例:根据条件 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,确定 ? 是第几象限的角. 练习: ?

?sin ? ? 0 请你判断?是第几象限角? ?tan? ? 0

练习:书第 15 页练习 练习:请你求下列各角的三角函数值并背会:

0,

? ? ? ? 2? 3? 5?
6 4 3 2 , , , , 3 , 4 , 6

,? ,

7? 5? 4? 3? 4? 7? 5? 11? , , , , , , , ,2? 6 4 3 2 3 4 3 6

练习:求下列三角函数的值:

1) cos

9? 4

2) tan( ?

11? ) 6

例:求下列各式的值: (1) 5cos180? ? 3sin 90? ? 2 tan 0? ? 6sin 270? ;

? ? ? ? ? ? (2) cos ? sin ? tan ? 3 sin ? sin ? cos . 3 6 4 3 4 4

巩固性练习 1.计算: 5sin 90? ? 2cos0? ? 3 tan180? ? cos180? .

? ? 1 ? 3? 2.计算: cos ? tan ? tan 2 ? sin ? cos ? . 2 4 3 3 2

当堂检测:
1、判别下列各三角函数值的符号: 1)sin250° 4)tan 2)cos(- 5)sin

?
4



3)tan(-666°36’) 6)cos1020°

11? 3

17? 4

2、根据下列已知,判别θ 所在象限: 1)sinθ >0 且 tanθ <0 、 tanθ ×cosθ <0 3、求下列各角的三角函数的值(正弦、余弦、正切). 1)750° 2)

17? 4

3)-

11? 6

4)-1020°

4、求函数 y ?

cos x cos x

?

tan x 的值域. tan x

变式:求 y ?

sin x sin x

?

cos x cos x

?

| tan x | 的值域. tan x

知识点三:诱导公式一
根据三角函数的定义知, 角的三角函数值是由角的终边位置确定的, 所以终边相同的角 的同一三角函数的值相等,即:

sin(? ? k ? 360? ) ? sin ? cos(? ? k ? 360? ) ? cos? tan( ? k ? 360? ) ? tan? ?
典型例题:
例:判断下列各式的符号: 其中 k ? Z

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? 2k? ) ? tan? ?
其中 k ? Z 。

注:作用:把求任意角的三角函数值转化为求 0 到 2 ? (0°~360°)角的三角函数值。

1) cos 250 ?
例:求值:

2) sin( ? ) 4 2) sin 7? 6

?

3) tan 3? 15 ? 4

4) tan( ?672 ?) 31 ?) 4

5) sin 4 ? tan( ?

23 ?) 4

9 1) cos ? 4

3) tan

4) tan( ?

例:计算

1) tan 405? ? sin 450? ? cos750? 5 11 2)m tan0 ? n cos ? ? p sin 3? ? q cos ? 2 2

当堂检测:

1、已知 f ( x) ? cos(
o

?

9 ? 11x) ? tan( ? x), 则f (? ) ? 6 4

2、 tan600的值是__________ . D __

A. ?

3 3

B.

3 3

C. ? 3

D. 3

. 3、 若 sin θ cosθ ? 0, 则θ在 ________ B
A. 第 一 、 二 象 限 C. 第 一 、 四 象 限 B. 第 一 、 三 象 限 D. 第 二 、 四 象 限

知识点四:三角函数线
设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于 P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,根据三角函数的定义,我们有: P 探究:为了去掉上述等式中的绝对值号,我们可以给线段规定 一个适当的方向,使它们的取值与点的坐标一致,由于直角 坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关,因此一个自然的 o M x 想法是以坐标轴的方向来规定线段的方向,以使它们的取值 与点的坐标联系起来。 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,以 O 为始点,M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时,OM 的方向为正,且有正值 x;当线段 OM 与 x 轴反向时,OM 的方 向为负,且有负值 x,其中 x 为点 P 的横坐标,这样无论哪一种情况都有 OM=x=cos ? 同理,当角 ? 的终边不在坐标轴上时,以 M 为始点,P 为终点,规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正,且有正值 y;当线段 MP 与 y 轴反向时,MP 的方 向为负,且有负值 y,其中 y 为点 P 的横坐标,这样无论哪一种情况都有 MP=y=sin ? y 注:有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。 探究:那么如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? T P 我们可以过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线 必然平行于 y 轴,设它与角 ? 的终边或其反向延长线 交与点 T .则 tan ? ? AT ?

MP ? y ? sin ? ; OM ? x ? cos?

y

y ,我们就分别称有向线段 x

O M

A

x

MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。

y
P
M

y
P

T

o
(Ⅱ)

A

x

o

A
M

x

T
(Ⅰ)

y

T

y A
M A

M

o

x

o

x

P

P T

(Ⅳ) (Ⅲ) 总结:三角函数线的作法 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向 延长线交与点 T .由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

注:(1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余

y y x x y MP AT ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA

弦在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指 向垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反 向的为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 练习:书第 17 页第 2 题。

典型例题:
例:作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

1)

?
3

3 2) ? 4

7 3) ? 6

4) ?

11? 6

例:比较大小:

1) sin 150?和 sin 830? 7 4 3) cos ?和 cos ? 6 3

7 4 2) sin ?和 sin ? 6 3 7 4 4) t an ?和 t an ? 6 3

例:利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围: 1) sinx=

1 1 3 ; 2)tanx ? ; 3) cos x ? ? 2 2 3

1 练习:在 [0,2? ]上满足 sin ? ? 的x的取值范围是( 2

),除去 [0,2? ]呢?
y B

思考:已知: 0 ? ? ?

?
2

, 求证: ? ? ? ? tan ? sin
O

P

M

A

x

例:解不等式:sinx>cosx 呢?

当堂检测:
1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

2、比较大小: 2 4 (1) sin ?与sin ? 3 5

2 4 (2) cos ?与 cos ? 3 5

2 4 (3) tan ?与 tan ? 3 5

3、 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

1 (1) sin x ? ? ; 2

(2) cos x ?

1 . 2

1 4、在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( 2

)

? ?? A. ?0, ? ? 6?

? ? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?

? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

5、求满足下列条件的角 x 的范围:

(1) sin x ? tan x ? 0 ;

(2) | ? cos x |? ? cos x .

6、求证: 1 ? sin ? ? cos ? ?

?
2



知识点五:同角三角函数的基本关系
推 导 : 以正弦 线、余 弦线 和半径 三者 的长构 成直 角三角 形, 而且, 由 勾 股定理 有:

OM 2 ? MP 2 ? OP2 即 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 根据三角函数的定义, ? ? k? ? 当
时,有

?
2

,k ? Z

sin ? ? tan ? , cos ?

讨论几个问题: A.上述两个关系式,在一些什么情况下成立? B.“sin α +cos β =1”对吗? C. 同角三角函数关系式可以解决哪些问题? (求值:已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数的值; 化简;证明) D.从上面两个公式,你还能推导出同角三角函数的其它关系吗?
2 2

注:同角三角函数的几 种关系: 1、平方关系: 2 ? ? cos2 ? ? 1; tan2 ? ? 1 ? sec 2 ? ; cot2 ? ? 1 ? csc 2 ? . sin (sin ? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? ? cos? ; cos2 ? ? 1 ; 1 ? tan2 ?

sin ? cos? 2、商数关系: ? tan? ; ? cot? . cos? sin ? 3、倒数关系: ? ? csc ? ? 1; cos? ? sec ? ? 1; tan? ? cot? ? 1 sin 4、“ ”的妙用: sin ? ? csc ? ? cos? ? sec ? ? tan? ? cot? ? tan 1 1?

?
4

? sin 2 ? ? cos2 ?

注意:()、角?要使上述各种式子有意 1 义; (2)、 2 ? ? sin ? ? sin ? ? (sin ? ) 2 ? sin 2? sin (3)、角的变换: 2 sin

?
3

? cos2

?
3

? 1; tan 2? ? cot 2? ? 1

同角三角函数的基本关系式的主要应用是, 已知一个角的三角函数值, 求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。

典型例题:
例:已知 cosα =-

3 ,求 sinα ,tanα 的值. 5

练习:已知 sinα =

5 ,求 cosα ,tanα 的值. 13

小结:注意符号(象限确定) ;同角三基本式的运用(分析联系) ;知一求二. 练习: ① 已知 tanα =m(m≠0) ,求 sinα ,cosα 的值. (分象限讨论)

② 化简 cosθ tanθ .

(化简方法:切化弦)

③ 化简下列各式: 1 ? cos2 1100? 例:1)已知 0< ? ? ? , sin ? cos ? ? ?

60 , 求sin? ? cos ?的值。 169

2) 已知 0< ? ? ? , sin ? ? cos ? ?

1 , 求sin? ? cos ?的值。 5

3)已知 sin ? ? cos? ? m, 求sin 3? ? cos3 ?的值。

例: 1 )、已知sin ? ?

4 , 求 cos? , tan? . 5 8 2)、 cos? ? ? , 求 sin ? , cot?。 已知 17

小结:① 给值求值:已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角 函数值. ② 化简的要求(化简后的式子,三角函数的种类最少;分母不含根式;项数最少;能求出 值的求出值) 例:化简: 1? 2 sin 4 cos4

例:已知tan? ? 2,求值 1) sin ? ? cos? 3 cos? ? 4 sin ? 2)2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 3 cos2 ?

练习:已知 3 sin ? ? 2 cos ? , 求

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? 的值. cos ? ? sin ? cos ? - sin ?

例:用多种方法证明:

1 ? sin x cos x = cos x 1 ? sin x

小结方法:由其它等式而转化(先证交叉乘积相等) ;或证和(差) ,或证商→比较法;直接 证明左边等于右边或右边等于左边或可以左右归一。. 练习:求证:sin x tan x =tan x-sin x.
2 2 2 2

练习:① 已知 sin? =2sinβ ,tan? =3tanβ ,求 cos 2 ? 的值.

② 已知 sin ? + cos ? =1,求 sinα +cosα 的值.
4 4

小结:注意象限定符号和联系关系式. 灵活运用公式,注意平方关系,切化弦;化繁为简.

当堂检测:
1. 已知β 的一个三角函数值,求其它三角函数值:cosβ =

1 ; tanβ =-4 3

3 2、已知 sin ? ? ? , 求 cos ? ? tan ?的值. 5

3、若 sin ? - cos ? ? 2 , 求 tan ? ?

1 的值. tan ?

4、已知 tanα =-

3 sin ? ? cos? ,求α 的其它三角函数的值;求 的值. 3 sin ? ? cos?

2cos2? ? 1 5、化简 1 ? 2 sin 2 ? 4 4 2 2 6、 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

7、 sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? 1
4 2 2 2

8、 已知α 是第二象限角,且 tan(2π +α )= ? , 求 cosα 和 sinα 的值.

1 2

9、 已知 sin ? =

6? 2 ,求 cos ? 和 tan ? 的值. 4

10、已知 tanα =2,求下列各式的值:

2cos ? ? 2 sin ? ; 3sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? cos 2 ? . 2cos ? ? 2 sin ?

11 、(关于sin ?、 ?的齐次式) cos 已知 tan? ? 2,求 2sin? ? 3 cos? 1) 4 sin ? ? 9 cos? 2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 2) 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ? sin 3 ? ? cos? 3) 3 sin ? ? sin ?

12、已知3 sin ? ? 2 cos? ? 0,求 1) cos? ? sin ? cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? sin ? 2) sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos? ? 4 cos2 ?

13、已知cos? ? m,0 ? m ? 1且 tan? ?

1 ? m2 ,则?在第( m

)象限。

14、已知sin 4 ? ? cos4 ? ? 1 sin ? ? cos? ? ,

15、已知方程 x 2 ? 6kx ? 2k ? 1 ? 0的两个实根是sin ?和cos? , 求k. 8


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