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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习:1.1.2 第2课时 棱锥和棱台]


第一章

1.1

1.1.2 第 2 课时

一、选择题 1.棱锥至少由多少个面围成( A.3 [答案] B [解析] 三棱锥有四个面围成,通常称为四面体,它是面数最少的棱锥. 2.四棱台的上、下底面均为正方形,它们的边长分别是 1、2,侧棱长为 2,则该四棱 台的高为( A. 6 2 ) B. 3 2 1 C. 2 D. 2 2 B.4 C.5 ) D .6

[答案] A [解析] 如图所示,由题意知,四棱台 ABCD-A1B1C1D1 为正四棱台, 设 O1、O 分别为上、下底面的中心,连接 OO1、OA、O1A1,过点 A1 作 A1E⊥OA,E 为垂

足,则 A1E 的长等于正四棱台的高, 又 OA= 2,O1A1= ∴AE=OA-O1A1= 2 , 2 2 , 2 2 , 2

在 Rt△A1EA 中,AA1= 2,AE=
2 ∴A1E= AA2 1-AE =

1 6 2- = . 2 2 )

3.过正棱台两底面中心的截面一定是( A.直角梯形 B.等腰梯形 C.一般梯形或等腰梯形 D.矩形 [答案] C

[解析] 过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等.当截面过侧棱 时,截面是一般梯形;当截面不过侧棱时,由对称性,截面与两侧面的交线一定相等,所以

截面是等腰梯形.故选 C. 4.下列命题中,真命题是( )

A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C.底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥 D.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥 [答案] D

[解析] 对于选项 A, 到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心, 该三角形不一定为正三角形,故该命题是假命题.对于选项 B,如右图所 示,△ABC 为正三角形,若 PA=AB,PA=AC≠PC,PB=BC≠PC,则△ PAB,△PAC,△PBC 都为等腰三角形,但此时侧棱 PA=PB≠PC,故该 命题是假命题.对于选项 C,顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形 皆可,故该命题是假命题.对于选项 D,顶点在底面内的射影是底面三角形的外心,且底面 三角形为正三角形,因此,外心即中心,故该命题是真命题,故正确答案为 D. 5.一个正三棱锥的底面边长为 3,高为 6,则它的侧棱长为( A.2 B.2 3 C.3 D.4 [答案] C [解析] 如图所示,正三棱锥 S-ABC 中, )

O 为底面△ABC 的中心,SO 为正三棱锥的高,SO= 6, AB=3,∴OA= 3, 在 Rt△SOA 中,SA= SO2+OA2= 6+3=3. 6.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 16,则中截面面积为( A.6 B.8 C.9 D.10 [答案] C [解析] 设中截面的面积为 S,则 ? 4+ 16?2 S= =9. 4 二、填空题 7.正三棱台的上、下底面边长及高分别为 1、2、2,则它的斜高为__________. )

[答案]

7 3 6

[解析] 如图,∵上、下底面正三角形边长分别 1、2, ∴O1E1= 3 3 ,OE= ,又 OO1=2, 6 3

2 7 3 ∴斜高 E1E= OO2 . 1+?OE-O1E1? = 6

8.正四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都等于 a,过不相邻的两条侧棱作截面,则截面面积 为__________. [答案] 1 2 a 2

1 [解析] 截面三角形三边长分别为 a、a、 2a,为等腰直角三角形.∴面积 S= a2. 2 三、解答题 9.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗? [解析] 不一定.如图(1)所示,将正方体 ABCD-A1B1C1D1 截去两个三棱锥 A-A1B1D1 和 C-B1C1D1,得如图(2)所示的几何体,其中有一个面 ABCD 是四边形,其余各面都是三 角形,但很明显这个几何体不是棱锥,因此有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体不一定是棱锥.

一、选择题 1.(2014· 山东威海高一期末测试)用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱 台上、下底面面积之比为 1?4,截去的棱锥的高是 3cm,则棱台的高是( A.12cm B.9cm C.6cm D.3cm [答案] D )

[解析]

棱台的上、下底面面积之比为 1?4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高之比为

1?2,故棱台的高是 3cm. 2.在侧棱长为 2 3的正三棱锥 S-ABC 中,∠ASB=∠BSC=∠CSA=40° ,过 A 作截 面 AEF,则截面的最小周长为( )

A.2 2 B.4 C.6 D.10 [答案] C [解析] 将三棱锥沿 SA 剪开,展开如图.连接 AA′交 SB 于 E,交 SC 于 F,则 AA′ 即为△AEF 的最小周长.

∵SA=SA′=2 3,∠ASA′=120° , ∴AA′=2×2 3sin60° =6,故选 C.

二、填空题 3 .正四棱台的上、下底面边长分别是 5 和 7 ,对角线长为 9 ,则棱台的斜高等于 __________. [答案] [ 解析 ] 10 如图, BDD1B1 是等腰梯形, B1D1 = 5 2 , BD = 7 2 , BD1 = 9 ,∴ OO1 =

BD+B1D1 2 BD2 ? =3, 1-? 2

5 7 又 O1E1= ,OE= ,在直角梯形 OEE1O1 中, 2 2
2 斜高 E1E= OO2 1+?OE-O1E1? = 10.

4.一个正三棱锥 P-ABC 的底面边长和高都是 4,E、F 分别为 BC、PA 的中点,则 EF 的长为__________. [答案] 2 2 [解析] 如图在正△ABC 中,AE=2 3, 在正△PBC 中,PE=2 3,

在△PAE 中,AE=PE=2 3,PA=4,F 为 PA 中点, ∴EF⊥PA,∴EF= 三、解答题 5.如图,将边长为 8 3的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体,求该四面体的高 和斜高. 1 AE2-? AP?2=2 2. 2

[解析] 由题设知正四面体 S-ABC 中,SA=SB=SC=AB=BC=CA=4 3, 过点 S 作 SO⊥面 ABC,O 为垂足,过点 O 作 OD⊥AC,则 D 为 AC 中点.连接 SD, 则 SD⊥AC,故 SO 为正四面体的高,SD 为斜高. 在 Rt△SDA 中,SA=4 3,AD=2 3, ∴SD= SA2-AD2= ?4 3?2-?2 3?2=6. 又∵△ABC 为正三角形, ∴△ABC 的高 h= 3 ×4 3=6, 2

2 2 ∴OA= h= ×6=4,∴在 Rt△SOA 中, 3 3 SO= SA2-OA2= ?4 3?2-42=4 2. ∴该四面体的高为 4 2,斜高为 6. 6. 已知正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为 2?3, 求此三棱锥的高与斜高的比. 1 a2 [解析] 设正三棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 b,则一个侧面面积 S1= a· b2- , 2 4 1 a2 a· b2- 4 2 3 S1 2 底面面积 S2= a2,由题意得 = = , 4 S2 3 3 2 a 4



a2 3 b2- = a, 4 3 3 a, 3

∴此三棱锥的斜率 h′= 高 h= ?

3 2 3 a a? -? a?2= , 3 6 2

a 2 h 3 ∴ = = . 2 h′ 3 a 3 7.如图,正三棱台 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=10,棱台一个侧面 20 3 梯形的面积为 ,O1、O 分别为上、下底面正三角形中心,D1D 为 3 棱台的斜高,∠D1DA=60° ,求上底面的边长. [解析] 由 AB=10, 则 AD= 3 AB=5 3, 2

1 5 3 OD= AD= . 3 3 设上底面边长为 x,则 O1D1= 过 D1 作 D1H⊥AD 于 H, 5 3 3 则 DH=OD-OH=OD-O1D1= - x, 3 6 DH 5 3 3 ? 在△D1DH 中,D1D= =2? , cos60° ? 3 - 6 x? 1 ∴在梯形 B1C1CB 中,S= (B1C1+BC)· D1D, 2 ∴ 20 3 1 5 3 3 ? = (x+10)· 2? , 3 2 ? 3 - 6 x? 3 x. 6

∴40=(x+10)(10-x). ∴x=2 15, ∴上底面的边长为 2 15.


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