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数列的概念及等差数列例题解析

数列的概念及等差数列例题解析
题型一:数列的概念
例 1.数列 ?an ? 中,已知 an ?
n2 ? n ? 1 (n ? N ? ) , 3

(1)写出 a10 , an ?1 , an2 ;
2 (2) 79 是否是数列中的项?若是,是第几项? 3

an ? 解析: (1)∵
2

n2 ? n ? 1 102 ? 10 ? 1 109 (n ? N ? ) ,∴ ? , a10 ? 3 3 3

an ?1

? n ? 1? ? ? n ? 1? ?1 ? n2 ? 3n ? 1 , a ?
3 3

n

2

?n ? ?

2 2

? n2 ? 1 3

?

n4 ? n2 ? 1 ; 3

(2)令 79

2 n2 ? n ? 1 ? ,解方程得 n ? 15, 或n ? ?16 , 3 3

2 n ? 15 , 即 79 为该数列的第 15 项。 ∵ n ? N? ,∴ 3

点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属

题型二:数列的递推公式
例 2. (1)已知数列 ?an ? 适合: a1 ? 1 , an ?1 ?
2an ,写出前五项并写出其通项 an ? 2

公式; (2)用上面的数列 ?an ? ,通过等式 bn ? an ? an?1 构造新数列 ?bn ? ,写出 bn , 并写出 ?bn ? 的前 5 项 解: (1) a1 ? 1 , a2 ? (2) bn ?
2 2 2 2 2 , a3 ? , a4 ? , a5 ? ,……, an ? ; 3 4 5 6 n ?1

2 2 2 ? ? , n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 1 1 b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? , b5 ? . 3 6 10 15 21

点评: 会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,了解递推公式是给出数列 的又一种重要方法,能根据递推公式写出数列的前几项。

题型三:等差数列的概念
例 3.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,而且也是等比数列 答案:B; 解法一:an= ? )

B.等差数列,但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

(n ? 1) (n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ,∴ an=2n-1(n∈ N) S ? S ( n ? 2 ) 2 n ? 1 ( n ? 2 ) ? n ?1 ? n

又 an+1-an=2 为常数,

an ?1 2n ? 1 ≠常数,∴ {an}是等差数列,但不是等比数列. ? an 2n ? 1

解法二: 如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数,则这个数列 一定是等差数列。 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用递推 式 an=Sn-Sn-1 的推理能力.但不要忽略 a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵活

题型四:等差数列通项公式
例 4.(2009 安徽卷文)已知 则 等于 B. 1 B C. 3 D.7 为等差数列, ,

A. -1 【答案】

【 解 析 】 ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差
d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选

B。

题型五:等差数列的前 n 项和公式
例 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.
3 10
1 S3 S = ,则 6 =( 3 S6 S12


1 9

B.

1 3

C.

1 8

D.

答案:A;

题型六:等差数列的性质及变形公式

例 6. (1)设{an} (n∈ N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6= S7>S8,则下列结论错误 的是( .. A. d<0 B.a7=0 ) C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 )

(2) 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为 ( A.130 (1)答案:C; 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴ a6>0, 又 S6=S7,∴ a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴ a7=0, 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0, 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。 (2)答案:C B.170 C.210 D.260

m(m ? 1) ? ma ? d ? 30 1 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , 2 m ( 2 m ? 1 ) ?2ma ? d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d ?

40 10(m ? 2) , a1 ? , 2 m m2

∴S 3m ? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和 为 b3,则 b1,b2,b3 也成等差数列。于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70- 30=40。∴ b3=b2+d=70+40=110,∴ 前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴ S3=a1+a2+a3=210。 点评:本题考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力,解 法二中是利用构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题给 选择支获得的信息可知,对任意变化的自然数 m,题给数列前 3m 项的和是与 m 无关的不变量,在含有某种变化过程的数学问题,利用不变量的思想求解,立竿 见影。

题型七:数列的应用
例 7. 如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的

平方差是相同的常数, 则称该数列为等方差数列, 这个常数叫这个数列的公方差. (1) 设数列 {an} 是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an?1 (n ? 2, n ? N ) 的关系式; (2) 若数列 {an} 既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列; (3) 设数列 {an} 是首项为 2 ,公方差为 2 的等方差数列,若将 a1,a2,a3, ,a10 这 种顺序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
2 2 (1) 解:由等方差数列的定义可知: an , n ? N) ? an ?1 ? p (n ? 2

(2) 证法一:∵{an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? an?1 ? an ? d ,又 {an} 是
2 2 2 2 等方差数列,∴an ? an ?1 ? an?1 ? an ∴ (an ? an?1)(an ? an?1) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ) ,即

d(an ? an?1 ? an?1 ? an) ? ?2d 2 ? 0 ,

∴d ? 0 ,即 {an} 是常数列.

证法二:∵{an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? d … …1
2 2 又 {an} 是等方差数列,设公方差为 p ,则 an ? an ?1 ? p … …2

1 代入 2 得, d 2 ? 2dan ? p ? 0 ……3 , 同理有, d 2 ? 2dan?1 ? p ? 0 …… 4 两式相减得:即 2d(an ? an?1) ? 2d 2 ? 0 ,∴d ? 0 ,即 {an} 是常数列. 证法三: (接证法二 1、2) 由 1、2 得出:若 d ? 0 ,则 {an} 是常数列 ,若 d ? 0 , 则 an ? ∴d ? 0 ,矛盾; ∴{an} 是常数列.
d p ? 2 2d

是常数,

2 2 2 2 (3) 依题意, an , n ? N ) , a1 ? an ? 4 , an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ?1 ? 2 (n ? 2

∴an ? 2n ? 2 ,或 an ? ? 2n ? 2 , 即该密码的第一个数确定的方法数是 1 , 其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法, 当每个数确定下来时, 密码就确定了, 即确定密码的方法数是 29 ? 512 种,故,这种密码共 512 种. 点评:解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。


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