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第四章 机械振动3_图文

第四章
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5

机械振动

前言 简谐振动的动力学特征 简谐振动的运动学 简谐振动的能量 x 简谐振动的合成 *振动的频谱分析 阻尼振动 受迫振动 共振 t
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振动的概念
1、什么是振动:



物体在一固定位置附近作来回的往复运动,称为机械振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。

广义地,凡是描述物质运动状态的物理量,在某一固定 值附近作周期性变化,都可称该物理量作振动。 2、振动的特征
(在时间上)具有某种重复性。
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§4-1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。

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4.1.1 弹簧振子模型
1)定义: 构成:轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。 条件:位移限定在弹性限度内,不 计弹簧内部摩擦。 2)无阻尼时的自由振动

K 0

F x X

阻尼: 干摩擦、湿摩擦(介质阻力)、辐射 自由振动:指系统只受外界一次性扰动,而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。 (1)平衡位置与坐标原点: 平衡位置:是系统处于稳定平稳的位置,并选该点为 坐标原点(对水平面上的弹簧振子,则是其自由伸长处)。

4

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(2) 弹性恢复力的特点: 恢复力与位移正比而反 向(线性回复力),即

K 0

F x

F= -kx
此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。 (3)惯性的作用

X

整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。

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3)弹簧振子的运动微分方程
以振子为对象 由牛顿定律:

d 2x m 2 ? ?kx dt

k 2 令 ? ? m
解微分方程得:

则得

d x 2 ? ? x?0 2 dt

2

x ? A cos(?t ? ?0 )

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4.1.2 微振动的简谐近似
1、单摆
? ?构成 :一端固定的不可伸长的 轻绳与质点固联 1)定义 ? o ? 条件 : 在重力作用下, 在竖直平面内作小角度 的摆动(θ ? 5 ) ?

2)无阻尼时的自由振动 (1)平衡位置与坐标原点: 铅直位置为角平衡位置,o为角坐标 原点。
(2)恢复力矩的特点: 重力对过悬点0/的水平轴的力矩为:
// ? oo l

T

? ?

M ? ?m glsin ?
负号表示力矩方向始终与角位移方 向相反。

?0 mg0
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根据麦克劳林展开
略去高阶无穷小后

1 3 1 5 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3! 5!

M ? ?mgl? ?

即恢复力矩与角位移正比而反向。
(角位移指偏离平衡位置的角位移) (3)惯性的作用: 此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量

I ? ml

2

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3)单摆的运动微分方程 由定轴转动的转动定律:

M ? I?



g ? ? l
2

d? m l ? 2 ? ?m gl?? dt
2 2

则得
方程的解为

d 2? 2 ?? ? ? 0 2 dt

? ? ? 0 cos??t ? ?0 ?
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2、复 摆
1)定义 ? ?

构成:刚体绕水平光滑 轴转动

⊙ ⊙

? 条件: 同单摆

2)同单摆一样分析可得复摆运动微分方程

?

h



c
mg

M ? ?m ghsin ?

M ? ?mgh??
──式中h指质心到悬点的距离

d 2? 由定轴转动的转动定律: I 2 ? ?m gh?? dt
mgh 2 令? ? I
方程的解为
则得 d 2? 2 ? ? ? ?0 2 dt
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? ? ? 0 cos??t ? ?0 ?

例4.1 一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端, 不计空气阻力,试证其在平衡位置附近的振动 是简谐振动. 证 如图4.4所示,以平衡位置A为原点,向 下为x轴正向,设某一瞬时振子的坐标为x, 则物体在振动过程中的运动方程为

d 2x m 2 ? ?k ( x ? l ) ? mg dt
式中l是弹簧挂上重物后的静伸长,因为mg=kl,所以上式为

d 2x m 2 ? ?kx dt
即为
式中
2

d 2x 2 ? ? x?0 2 dt

k ? ? .于是该系统作简谐振动. m
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§4-2 简谐振动的运动学
4.2.1 简谐振动的运动学方程
以弹簧振子为例,其动力学方程为

该方程的解

x ? A cos??t ? ?0 ?

d x 2 ?? x ? 0 2 dt

2

即为谐振动的运动学方程 式中A和?0为由初始条件所决定的两个积分常数。

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4.2.2 描述简谐振动的三个重要参量
1、振幅A

? x ? A cos(?t ? ? 0 ) ?? ?V ? ??A sin(?t ? ? 0 )

令 t=0 则

? x0 ? A cos? 0 (1) ? ? ?V 0 ? A sin ? 0 ( 2) ? ? ?
2

?1? ? ?2?
2

2



A ? x0 ?

V0

2

?2

2、周期、频率、圆频率

(1)周期T:完成一次完全振动所需的时间

x ? A cos(?t ? ?0 ) ? A cos?? (t ? T ) ? ?0 ?
? A cos(?t ? ?0 ? 2? )
或 T ? 2?

??T ? 2?

?

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(2)频率?:单位时间内所完成的完全振动的次数

1 ? ?? ? T 2?
(3)圆频率?:2?秒内完成的完全振动的次数 ?=2?? (4)固有圆频率:仅由振动系统的力学性质所决定的频率 固有角频率

固有振动周期
? ?T ? 2? ? ? ? ?T ? 2? ? ? ?T ? 2? ? ? l g m k I m gh
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g ? 2 ? ? ?单 摆 l ? k ? 2 ?弹 簧 振 子 ? ? m ? m gh ? 2 复摆 ? ? ? I ?

3、位相和初位相

(位——位置;相——变化的态势)

位相是描述系统机械运动状态的物理量。(相又指月相之相 ─ 取其具有周期性)

? x ? A cos(?t ? ?0 ) (1) ? ? ?v ? ??A sin(?t ? ?0 )
能确定系统运动状态,而又能反映其周期性特征的是 ? ? ? t ? ?0

(2)?0 是t =0时刻的位相,即初位相(0—2?之间取值) (i)用分析法确定特殊情况下的位相 ? t=0 时,x0=A, v0=0.

? x0 ? A cos? 0 ? A ?? ?v0 ? ??A sin ? 0 ? 0

?? 0 ? 0

0

X X0=+A

15

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? t=0时, x0=0, v0<0 v

X
0 ? t=0时, x0=-A, v0=0

? x0 ? A cos? 0 ? 0 ?? ?v0 ? ??A sin ? 0 ? 0 ? ?? 0 ?
2

X
-A 0 ? t=0时, x0=0, v0>0 v

? x0 ? A cos? 0 ? ? A ?? ?v0 ? ??A sin ? 0 ? 0

?? 0 ? ?
? x0 ? A cos? 0 ? 0 ?? ?v0 ? ??A sin ? 0 ? 0
3 ?? 0 ? ? 2
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0

X

? t=0时, x0=A/2, v0<0 v 0 A/2

X

A ? ? x0 ? A cos? 0 ? ?? 2 ? ?v0 ? ??A sin ? 0 ? 0

?? 0 ?

?
3

(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相φ0

? x0 ? A cos? 0 ? v0 ? ? tg? 0 ? ? ? ? v0 ?x0 ? A sin ? 0 ? ? ? 取使x0 、v0 均满足的值
即由初始条件所决定的两个积分常数

A和?0分别为
?1

A? x ?(
2 0

v0

?

)

2

v0 ?0 ? tg (? ) ?x0

17

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x

o A

X
x

?t

?0 ? 0

o
-A

X
x

?t ? 0 ? ? / 2

o o
o A

X X

?t ? 0 ? ? ?t ? 0 ? 3? / 2
(?? / 2)

x x

X

?t ? 0 ? 2?

(? 0 ? 018 )

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?位相差 1)两个简谐振动的位相差

x1=A1cos(ω1t+φ10)

x2=A2cos(ω2t+φ20)

两个振动在同一时刻t的位相差

Δφ=φ2-φ1=(ω2t+φ20)-(ω1t+φ10)=(ω2-ω1)t+(φ20-φ10)
两个同频振动在同一时刻的位相之差

Δφ=φ20-φ10
2)同一振动在不同时刻的位相差 同一振动在t1、t2时刻的位相差为

Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω(t2-t1)
一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间间隔为

Δt=t2-t1=Δφ/ω= Δφ· T /2π?

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4.2.3 简谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量的规定法则 (1) 旋转矢量的制作 若已知一个谐振动 x = A cos(? t+ ?0) 相应的旋转矢量如图所示。 (2) 旋转矢量的作用:

?

t 时刻 A的位置 ?
t=0 时刻 A的位置

使描述谐振动的三个重要 参量 A、ω、φ形象化

O

x

x0

X

(3)旋转矢量本身不是谐振动 ? 振动 ?A在x轴上投影描述机械 习惯上用 ? ? 振动 ?A在y轴上的投影描述电

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例4.2 如图4.6所示,轻质弹簧一端固定,另一端系一轻绳,绳过定滑轮挂 一质量为m的物体.设弹簧的劲度系数为k,滑轮的转动惯量为I,半径为R. 若物体m在其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放.(1)试证明物体m的 运动是谐振动;(2)求此振动系统的振动周期;(3)写出振动方程.
解 (1)若物体m离开初始位置的距离为b时,受力平衡,则此时有

mg ? kb 即 b ?

mg k

以此平衡位置O为坐标原点,竖直向下为x轴正 向,当物体m在坐标x处时,由牛顿运动定律和 定轴转动定律有

? mg ? T1 ? ma ? ' ' T R ? T 2R ? I ? ? 1 ? ?T2 ? k ( x ? b) ?a ? R ? ? ' ' ? T ? T 及 T 1 2 ? T2 ? 1

① ② ③ ④ ⑤
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联立式①~⑤解得

I ? d 2x ? ? m ? 2 ? 2 ? kx ? 0 R ? dt ?


d 2x k ? x?0 2 2 dt m ? ?I / R ?

所以,此振动系统的运动是谐振动. (2)由上面的表达式知,此振动系统的圆频率

k ?? m ? ? I / R2 ?
故振动周期为

T?

2?

?

? 2?

m ? ? I / R2 ? k
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(3)依题意知t=0时,x0 =-b,v0 =0,可求出

A ? x0 2 ?

?2

v0 2

?b?

mg k

v0 ?0 ? arctan(? ) ?? ?? x0
振动系统的振动方程为

mg k x ? A cos(? t ? ?0 ) ? cos[ t ?? ] 2 k m+ ? I/R ?

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例4.3 已知如图4.7所示的谐振动曲线,试写出振动方程. 解 设谐振动方程为 从图中易知A=4 cm,下面只要求出 ?0 和ω即 可.从图中分析知,t=0时, x0 ? ?2 cm ,且 dx v0 ? ? 0 (由曲线的斜率决定),代入振动方程, dt 有

x ? A cos(?t ? ?0 )

?2 ? 4cos ?0

2 ? 故 ? 0 ? ?,又由 3 2 取 ?0 ? 3 ? .

v0 ? ?? A sin ?0 ?,得 0

sin ?0 ?,因此只能 0

再从图中分析,t=1 s时,x=2 cm,v>0,代入振动方程有

2 2 ? 4 cos(? ? ? 0 ) ? 4 cos(? ? ? ) 3


2 1 cos(? ? ? ) ? 3 2

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2 5 ? 7 所以 ? ? ? ? ? 或 ? (应注意这里不能取 ? ). 3 3 3 3

因同时要满足
2 3 5 3

2 v ? ?? A sin(? ? ? ) ?,即 0 3

2 sin(? ? ? ) ?,故应取 0 3

? ? ? ? ,即 ? ω=π,所以振动方程为

2 x ? 4 cos(? t ? ? ) cm 3

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§4-3 简谐振动的能量


x(t)=Acos(ωt+?0 )

v(t)=-Aωsin(ωt+ ?0)

一、动能 Ek ? 1 mv 2 ? 1 m? 2 A2 sin 2 (?t ? ? 0 )

二、势能

三、总能 E ? E ? E ? 1 kA 2 ? 1 m? 2 A2 ? 1 mv 2 max k P
2 2 2

2 2 k 2 1 2 2 (?? ? ) ? kA sin (?t ? ? 0 ) m 2 1 2 1 2 E P ? kx ? kA cos 2 (?t ? ? 0 ) 2 2

四、动能和势能在一个周期内的平均值
1 ? cos ? ? (1 ? cos 2? ) 2
2

1 sin ? ? ?1 ? cos 2? ? 2
2

26

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在一个周期 T 内的平均动能 1 T1 EK ? ? KA 2 sin 2 (?t ? ?0 )dt T 0 2 1 T1 2 1 ? ? KA { [1 ? cos 2(?t ? ?0 )]} dt ? 1 KA 2 T 0 2 2 4
1 1 2 2 2 同理平均势能 KA cos ( ? t ? ? ) dt ? KA 0 ?0 2 4 1 2 1 ? Ek ? E P ? kA ? E 4 2
T

1 EP ? T

E

E ?

1 kA 2 2

x 0

t x=Acosωt x
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例4.4 如图4.11所示,光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木块和劲度 系数为k的轻弹簧构成.现有一个质量为m,速度为 u0 的子弹射入静止的木 块后陷入其中,此时弹簧处于自由状态.(1)试写出该谐振子的振动方程; (2)求出 x ? A 处系统的动能和势能.
2

解 (1)子弹射入木块过程中,水平方向动量守恒.设子弹陷入木块后两者的 共同速度为 V0 ,则有

mu0 ? (m ? M )V0 V0 ? m u0 m?M

取弹簧处于自由状态时,木块的平衡位置为坐标原点,水平向右为x轴正 方向,并取木块和子弹一起开始向右运动的时刻为计时起点.因此初始条 件为 x0 ? 0,v0 ? V0 ? 0 ,而子弹射入木块后谐振系统的圆频率为

k ?? m?M
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设谐振系统的振动方程为 x ? A cos(?t ? ?0 ) ,将初始条件代入得

?0 ? A cos ?0 ? ?V0 ? ?? A sin ? 0 ? 0
联立求出

?0 ? ?
A?? V0 mu0 ? ? sin ?0 k (m ? M )

3 2

所以谐振子的振动方程为

x ? A cos(? t ? ? 0 ) ? k 3 ? ? cos ? t? ?? ? 2 ? k ?m ? M ? ? m?M ? mu0

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(2)x=A/2时谐振系统的势能和动能分别为

m 2 u0 2 1 2 1 A 2 E p ? kx ? k ( ) ? 2 2 2 8?m ? M ? 3m 2u0 2 1 2 1 2 3 2 Ek ? E ? E p ? kA ? kA ? kA ? 2 8 8 8?m ? M ?

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§4-4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析 4.4.1 同方向同频率谐振动的合成
x1 = A1cos (? t+? 1) 求: x= x1 +x2
1、 计算法

x2 = A2 cos (? t+? 2)

x ? x1 ? x2 ? A1 cos(?t ? ?10 ) ? A2 cos(?t ? ?20 )

? A1 cos?t ? cos?10 ? A1 sin ?t ? sin ?10 ? A2 cos?t ? cos?20 ? A2 sin ?t ? sin ?20 ? cos?t ( A1 cos?10 ? A2 cos?20 )


? sin ?t ( A1 sin ?10 ? A2 sin ?20 ) A1 cos?10 ? A2 cos?20 ? A cos?0 A1 sin ?10 ? A2 sin ?20 ? A sin ?0

31

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上式

x ? A cos?t ? cos ? 0? A sin ?t ? sin ?0 ? Acos(?t ? ?0 )

两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同 频率的谐振动。

其中

合振幅 初位相

A?

2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos( ?20 ? ?10 )

?0 ? tg

?1

A1 sin ?10 ? A2 sin ?20 A1 cos?10 ? A2 cos?20
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2、旋转矢量合成法 两振动频率相同,则它们的旋转矢量以相同的角速度? 旋 转,故形成稳定的平形四边形。 利用矢量加法的平行四边形法则,合振动的旋转矢量为A,
y
? ? ?

y

y2

A

y1

A2

A1 ?10

?20 ?0 x1

0

x2 x

x

利用正切函数求得合振动的初位相。
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3、位相差对合振幅的影响
(1)若位相差

?? ? (?t ? ?20 ) ? (?t ? ?10 ) ? ?20 ? ?10 ? 2k? k ? 0, ? 1, ? 2
振幅最大
(2)若位相差

Amax=A1+A2

?? ? (2k ? 1) ?
振幅最小 (3)若位相差 振幅A

k ? 0, ? 1, ? 2?

Amin= |A1 ? A2| 为其它任意值时

?? ? ?20 ? ?10

Amin<A< Amax
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4.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成
1、利用旋转矢量合成法

从图可看出,因两旋转矢量的角 速度?1、?2 不相同,所以由两 矢量A1、A2合成的平行四边形的 形状要发生变化,矢量A的大小 也随之而变,出现了振幅有周期 性地变化。

?

? A

?2 ?1
? A 1

? 2A

? o

x

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因此,当两个振动频率接近时,合成中由于周期的微小 差别而造成合振幅随时间作周期性变化,振动时而加强时而 减弱的现象称为拍。

合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数称为拍频。

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2、拍振动表达式

设分振动为

x1 ? A cos(?1t ? ? )
? ??
2 cos 2

x2 ? A cos(?2t ? ? )
???

? cos ? ? cos ? ? 2 cos

? x ? x1 ? x2 ? 2 A cos(

? 2 ? ?1
2

t ) cos(

? 2 ? ?1
2

t ??)

3、拍频:指合振幅变化的频率
余弦函数的周期应为 2π ,但 取绝对值后,周期为 π ,故合振 幅变化的周期

?拍 ? 2 ?1 于是拍频为 ? 拍 ? ? ? ? ? 2 ??1 2? 2? 2?
即“拍频”等于两个分振动频率之差。
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4、“拍振动”的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振 荡器等等 5、同步锁模:

上面关于拍频现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问 题的一种可能。如果这两个分振动,通过一定物理条件,使 二者发生了非线性耦合, 那么上面那种简单的线性叠加就不 再成立,而会出现所谓“同步锁模”现象,即两个分振动的 频率锁定在同一个频率上。

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*4.4.3 振动的频谱分析
确定一个复杂振动能包含的各种简谐振动的频率及其对应的振幅称为频谱 分析. 例如,图4.14所示的方波,根据数学计算有
x? A 2A 2A 2A ? sin ? t ? sin 3? t ? sin 5? t ? ??? ? x0 ? x1 ? x2 ? x3 ? ??? 2 ? 3? 5?

式中第一项可看成周期为无穷大的零 频项,第二、三、四项就是频率分别 为 v0 , 3v0 , 5v0 的谐振动,其振动曲线 分别如图4.14(b),(c),(d)所示,它们 的合振动曲线就接近方波了.

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一个任意的周期性复杂运动,分解后是一组包含一系列谐泛 频振动的无穷级数。 一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示,即其频谱 线不是分立的,而是连续的,即

x ? f (t ) ? ? A(? ) cos?td? ? ? B(? ) sin ?td?
0 0

?

?

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*4.4.4 两个相互垂直的同频率简谐振动的合成


x ? A1 cos(? t ? ?10 )

y ? A2 cos(? t ? ?20 )

下面所做的工作是为了消去参量t,而得其轨迹方程。 将两分振动方程进行恒等变换,得

x ? cos ? t cos ?10 ? sin ? t sin ?10 A1 y ? cos ?t cos ? 20 ? sin ?t sin ? 20 A2


?1?
? 2?
? 3?
41

?1? ? cos?20 ? ? 2? ? cos?10
x y cos ?20 ? cos ?10 ? sin ?t sin(?20 ? ?10 ) A1 A2
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?1? ? sin ?20 ? ? 2? ? sin ?10
x y sin ?20 ? sin ?10 ? cos ?t sin(? 20 ? ?10 ) A1 A2



? 4?

?3?2 ? ?4?2
2 2

并整理可得

x y 2 xy 2 ? 2? cos(?20 ? ?10 ) ? sin (?20 ? ?10 ) 2 A1 A2 A1 A2
这说明:振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆 曲线,但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。

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?? = 0

?? = ?/4

?? = ?/2

?? = 3?/4

?? = ?

·
P

·Q

?? = 5?/4

?? = 3?/2

?? = 7?/4

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*4.4.5 两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成

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§4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
4.5.1 阻尼振动
1、 固体在介质中所受阻力在一般情况下为

f r ? ?? 1v ? ? 2 v 2
我们只讨论其中的线性部分,即在低速情况下的振动

dx f r ? ?? v ? ?? dt
2、以弹簧振子为例,其运动微分方程为

d 2x dx m 2 ? ?? ? kx dt dt

? k 2? ? 令 ? ? , m m
2 0

则有
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d2x dx 2 ? 2 ? ? ? 2 0 x ? 0 dt dt 式中β──阻尼系数 ω0──系统固有角频率。
*方程的解及其物理意义 1、弱阻尼
(

? ?? 1) ?0

2 令 ? ? ?0 ??2

x ? A0e

?? t

cos(?t ? ?0 )

(1)式中A0、φ0是由初始条件所 决定的两个积分常数;

(2)阻尼振动的振幅

即 : 振幅按指数规律衰减,故阻尼振动又称减幅振动;

A ? A0e? ? t

46

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(3) 准周期的问题:准周期指函数 与时间轴t的零交点间的间隔(但函数的峰值不在两零交点的 中心),即
x

A0e? ? t cos(?t ? ?0 )

o

T

/

2T

/

t

阻尼振动曲线

2? 2? 2? ? T0 ? T? ? ?0 ? ?02 ? ? 2
说明阻尼越大,准周期越大,阻尼越小,越接近系统固有 周期。
47 首 页 上 页 下 页退 出

2、临界阻尼

2 (?0 ? ? 2)

?? t x ? ( c ? c ) e 这时 1 2

c1、c2为两积分常数。

其用途之一, 用于灵敏仪器的回零 装置。 3、过阻尼
此时
2 ( ? 2 ? ?0 )

x ? c1e

?( ? ?

2 ? 2 ?? 0 )t

? c2 e

?( ? ?

2 ? 2 ?? 0 )t

其不是往复运动,须无限长的 时间才能回零。
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4.5.2 受迫振动
? 恒力作用 ? 将坐标原点移至恒力作 用下的新平衡点 ? 外界作用 ? 周期性外力 ? 只讨论谐和策动力F ? F0cospt ? ?随机外力 ? 不讨论

1、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程 ──以弹簧振子为例 其运动方程为
2 0

d 2x dx m 2 ? ?kx ? ? ? F0 cos pt dt dt

k 令 ? ? , m
2

? 2? ? , m

F0 f0 ? m

则得

d x dx 2 ? 2 ? ? ? 0 x ? f 0 cos pt 2 dt dt

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2、方程的解及其物理意义
由微分方程理论,上述方程的解为

x ? A0e

? ?t

cos(?t ? ?0 ) ? A cos( pt ? ? )

1)自由振动的能量是外界一次性输入

:能量守恒, 等幅振动 ?无阻尼 ? : 有能量损耗, 减幅振动 ?有阻尼
2)受迫振动过程中,外界在不断地向振动系统补充能量

? A0e ? ?t cos(?t ? ?0 ) ? ?就是由初始能量所维持 的固有项, ? 与初始条件相关的A0 , ? 0也就不存在了。 ?当其衰减完毕时, ? A cos(pt ? ?) ? ?是由谐和策动力所维持 的稳定受迫振动。 ?
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3、稳定的受迫振动

x ? A cos( pt ? ? )

1) 稳定受迫振动的频率等于策动力的频率

2) 稳定受迫振动的振幅A和位相?(用待定系数法可得)

A?

f0 (?02 ? p2 )2 ? 4? 2 p2

2?p tg? ? ? 2 ?0 ? p 2
(1) 说明此时振动方程的位相?与初始条件无关,其表示振 动位移的位相与策动力位相的位相差;
(2) 说明振幅是策动力的函数,因此存在极值的问题,与此对 应的极值现象,称为位移共振。
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4.5.3 共振
1、位移共振(又称振幅共振) dA ?0 只要令 即可得 dp

Pr ? ? 02 ? 2 ? 2

──此即振幅共振频率

图4.24

位移共振曲线

图4.25

速度共振曲线

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2、速度共振(又称能量共振)

dx ?v ? ? ? pA sin( pt ? ? ) dt



? Av ? PA

d ( pA) ? 0, dp

pv ? ?0 ── 速度(能量)共振频率
机床, 海堤. ?防 止? ?过 桥 , ? , 夯, 核磁共振. ?利 用? ?振 动 筛 打

3、 共振的利用与防止

(1)位移共振

(2) 能量共振──调谐(能量输入处于最佳状态)
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