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宁夏银川二中2016届高三上学期统练(二)数学试题(理科) Word版含解析

2015-2016 学年宁夏银川二中高三 (上) 统练数学试卷 (理科) (二)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,5},则 A∩(?UB)=( A.{1,3 } B.{ 2 } C.{2,3} D.{ 3 } 2.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9 则 a1a6 的值为( A.14 B.18 C.21 D.27
3





3.函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为( A.10 B.5 C.﹣1 D.



4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D.



5. 将函数 y=sin (2x﹣ A.x= B.x=

) 图象向左平移 C.x=

个单位, 所得函数图象的一条对称轴的方程是 ( D.x=﹣



6.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为 60°,则 + 在 方向上的投影为( A.2 B.1 C. D.



7.已知 α∈(0,π) ,cos(α+ A. B.﹣ 或﹣

)=﹣

,则 tan2α=( D.﹣



C.﹣

8.在△ ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, ( A. ) B. C. D.1
2

,则 λ+μ 的值为

9.已知命题 p:函数 f(x)=2ax ﹣x﹣1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 2﹣a y=x 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且?q 为真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.a≤1 或 a>2

10.△ ABC 中,角 A,B,C 成等差数列是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.正项等比数列{an}中,存在两项 a7=a6+2a5,则 A. B. 的最小值是( C. D. ) 使得

成立的(



,且

12.函数 y=f(x)为定义在 R 上的减函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,x, 2 2 y 满足不等式 f(x ﹣2x)+f(2y﹣y )≤0,M(1,2) ,N(x,y) ,O 为坐标原点,则当 1≤x≤4 时, 的取值范围为( ) D.[0,12]

A.[12,+∞] B.[0,3]

C.[3,12]

二、填空题:请将答案填入答题纸填空题的相应答题上,每小题 5 分,共 20 分; 13.已知 ⊥ ,| |=2,| |=3,且 +2 与λ ﹣ 垂直,则实数 λ 的值为 . .

14.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n,则 an= 15.已知函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0)的图象与 y 轴交与 P,与 x 轴的相邻两个交点记 .

为 A,B,若△ PAB 的面积等于 π,则 ω=

16.△ ABC 为锐角三角形,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 c=2,且 sinC+sin (B﹣A)=2sin2A,则 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 17. (12 分) (2015 秋?兴庆区校级月考)已知等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?an+1,证明: .

18. (12 分) (2013 春?富平县期末) 设函数 f (x) = ? , 其中向量 = (m, cos2x) , = (1+sin2x, 1) ,x∈R,且函数 y=f(x)的图象经过点

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的取值集合. 19. (12 分) (2011?盐城模拟)如图,在△ ABC 中,BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cosB= cos∠ADC=﹣ . (Ⅰ)求 sin∠BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.



20. (12 分) (2015 秋?兴庆区校级月考)已知等比数列{an}是递增数列,a2a5=32,a3+a4=12, 数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=2bn+2an(n∈N+) (1)证明:数列 是等差数列;

(2)若对任意 n∈N+,不等式(n+2)bn+1≥λbn 总成立,求实数 λ 的最大值. 21. (12 分) (2013?桐乡市校级模拟)已知函数 f(x)=ln(e +k) (k 为常数)是实数集 R 上 的奇函数 (1)求 k 的值 (2)若函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1,1]上的减函数,且 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1, 1]上恒成立,求 t 的取值范围 (3)讨论关于 x 的方程 的根的个数.
2 x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (10 分) (2011?辽宁)如图,A、B、C、D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长 线交于 E 点,且 EC=ED. (Ⅰ)证明:CD∥AB; (Ⅱ)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A、B、G、F 四点共圆.

23. (2012?辽宁)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2: (x﹣2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示) ; (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 24. (2015 秋?兴庆区校级月考)已知 a,b,c∈R ,求证: 2 (1) (ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )≥16abc (2) + + ≥3.
+ 2 2 2 2

2015-2016 学年宁夏银川二中高三 (上) 统练数学试卷 (理 科) (二)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,5},则 A∩(?UB)=( ) A.{1,3 } B.{ 2 } C.{2,3} D.{ 3 } 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】利用集合的补集的定义求出集合 B 的补集;再利用集合的交集的定义求出 A∩CUB. 【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6},B={2,5}, ∴?UB={1,3,4,6}, 又∵A={1,2,3}, ∴A∩(?UB)={1,2,3}∩{1,3,4,6}={1,3}. 故选:A. 【点评】本题考查补集与交集的混合运算,是会考常见题型,属于基础题. 2.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9 则 a1a6 的值为( ) A.14 B.18 C.21 D.27 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,解方程可求 a1,d,即可求 解 a1a6 【解答】解:由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3 解方程可得,a1=2,d=1 ∴a1a6=2×7=14 故选:A 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于基础试题

3.函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为( A.10 B.5 C.﹣1 D.

3



【考点】导数的几何意义. 【专题】计算题. 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值, 由此求得切线的斜率值,再根据 x=1 求得切点的坐标,最后结合直线的方程求出切线在 x 轴 上的截距即得. 3 2 【解答】解:∵f(x)=x +4x+5,∴f′(x)=3x +4, ∴f′(1)=7,即切线的斜率为 7, 又 f(1)=10,故切点坐标(1,10) , ∴切线的方程为:y﹣10=7(x﹣1) ,当 y=0 时,x=﹣ , 切线在 x 轴上的截距为﹣ , 故选 D. 【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础 知识,属于基础题. 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. B. C. D. )

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ,解出即可. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ,解得 .





故选 C. 【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.

5. 将函数 y=sin (2x﹣ A.x= B.x=

) 图象向左平移 C.x=

个单位, 所得函数图象的一条对称轴的方程是 ( D.x=﹣



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 根据本题主要考查函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律可得所得函数的解析式为 y=sin (2x+ ) ,再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得函数图象的一条对称轴的方程. )图象向左平移 ) . + , , 个单位,所得函数图象对应的解析式

【解答】解:将函数 y=sin(2x﹣ 为 y=sin[2(x+ 令 2x+ =kπ+ )﹣

]=sin(2x+

,k∈z,求得 x=

故函数的一条对称轴的方程是 x=

故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

6.已知| |=1,| |=2, 与 的夹角为 60°,则 + 在 方向上的投影为( A.2 B.1 C. D.



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】 求出向量 a, b 的数量积, 再求 ( 计算即可得到. 【解答】解:| |=1,| |=2, 与 的夹角为 60°, 则 则( =| |?| |?cos60°=1× ) = + =1, =1+1=2, = =2. ) =2, 由 + 在 方向上的投影为 ,

则 + 在 方向上的投影为

故选 A. 【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质,考查向量的投影的求法,考查运算 能力,属于基础题. 7.已知 α∈(0,π) ,cos(α+ A. B.﹣ 或﹣

)=﹣

,则 tan2α=( D.﹣



C.﹣

【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的正切.

【专题】三角函数的求值. 【分析】由已知求得 α+ ∈( , ) ,从而可求 sin(α+ )的值,进而可求 tan(α+ )

=±1,从而解得 tanα= ﹣2 或 【解答】解:∵α∈(0,π) , ∴α+ ∈( , )=﹣ )=± ) , ,

+2,从而由二倍角公式可求 tan2α 的值.

∵cos(α+ ∴sin(α+





∴tan(α+

)=

=

=

=±1,

从而解得 tanα= ∴tan2α=

﹣2 或 =

+2, =﹣ 或 tan2α= = =





故选:C. 【点评】本题考查二倍角的正切,求得 tanα 的值是关键,考查运算能力,属于基本知识的考 查.

8.在△ ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, ( A. ) B. C. D.1

,则 λ+μ 的值为

【考点】向量的共线定理. 【分析】设 答案. 【解答】解:设 则 = =( ∴ ) = = ,将向量 用向量 、 表示出来,即可找到 λ 和 μ 的关系,最终得到

∴ 故选 A. 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理,即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一 表示出来.属中档题. 9.已知命题 p:函数 f(x)=2ax ﹣x﹣1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 2﹣a y=x 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且?q 为真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a>1 B.a≤2 C.1<a≤2 D.a≤1 或 a>2 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,即可求出 p 且¬q 为真命题时,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意,命题 p: 得 a>1.
2

命题 q:2﹣a<0,得 a>2,∴¬q:a≤2. 故由 p 且¬q 为真命题,得 1<a≤2, 故选 C. 【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用,同时又考查命题真假的理解,属于 中档题. 10.△ ABC 中,角 A,B,C 成等差数列是 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若 A,B,C 成等差数列,则 A+C=2B,∴B=60°, 若 则 sin(A+B)= 即 sinAcosB+cosAsinB= ∴cosAsinB= cosAcosB, 若 cosA=0 或 tanB= , 即 A=90°或 B=60°, , , ,

∴角 A,B,C 成等差数列是 成立的充分不必要条件. 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等差数列的性质以及两角和差的正 弦公式是解决本题的关键. 11.正项等比数列{an}中,存在两项 a7=a6+2a5,则 的最小值是( ) 使得 ,且

A.

B.

C.

D.

【考点】等比数列的通项公式;基本不等式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设正项等比数列的公式为 q,已知等式 a7=a6+2a5 两边除以 a5,利用等比数列的性质 化简求出 q 的值,利用等比数列的通项公式表示出 am 与 an,代入已知等式 m+n=6,将所求式子变形后,利用基本不等式即可求出所求式子的最小值. 【解答】解:∵正项等比数列{an}中,设公比为 q,a7=a6+2a5, ∴ = + ,即 q ﹣q﹣2=0,
2

=4a1,求出

解得:q=2 或 q=﹣1(舍去) , ∴am=a12 ∵
m﹣1

,an=a12

n﹣1



=4a1,
2 m+n﹣2 2

∴aman=a1 2 =16a1 ,即 m+n﹣2=4, ∴m+n=6, 列举(m,n)=(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1) 即有 + =2, ,2, ,5.

当 m=2,n=4, + 的最小值为 . 故选 A. 【点评】此题考查了等比数列的通项公式,等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练 掌握通项公式是解本题的关键. 12.函数 y=f(x)为定义在 R 上的减函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,x, 2 2 y 满足不等式 f(x ﹣2x)+f(2y﹣y )≤0,M(1,2) ,N(x,y) ,O 为坐标原点,则当 1≤x≤4 时, 的取值范围为( )

A.[12,+∞] B.[0,3] C.[3,12] D.[0,12] 【考点】简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;压轴题;数形结合. 【分析】判断函数的奇偶性,推出不等式,利用约束条件画出可行域,然后求解数量积的范 围即可. 【解答】 解:函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称, 所以 f(x)为 奇函数. 2 2 ∴f(x ﹣2x)≤f(﹣2y+y )≤0, 2 2 ∴x ﹣2x≥﹣2y+y , ∴



,画出可行域如图,

可得 故选 D.

=x+2y∈[0,12].

【点评】本题考查函数的奇偶性,线性规划的应用,向量的数量积的知识,是综合题,考查 数形结合与计算能力. 二、填空题:请将答案填入答题纸填空题的相应答题上,每小题 5 分,共 20 分; 13.已知 ⊥ ,| |=2,| |=3,且 +2 与λ ﹣ 垂直,则实数 λ 的值为 .

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由已知得( +2 )?(λ ﹣ )= =4λ﹣18=0,由

此能求出实数 λ 的值. 【解答】解:∵ ∴( = =4λ﹣18=0, 解得 . +2 ⊥ ,| ﹣ ) |=2,| |=3,且 +2 与λ ﹣ 垂直,

)?(λ

故答案为: . 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要注意向量垂直的性质的合理运用. 14.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n,则 an= 2 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题.
n﹣1



【分析】根据 log2(Sn+1)=n,可得 Sn 的公式,进而代入 an=Sn﹣Sn﹣1 中即可求得 an

【解答】解:由 log2(Sn+1)=n 得 Sn+1=2 ,∴Sn=2 ﹣1, n n﹣1 n n﹣1 n﹣1 ∴a1=S1=2﹣1=1,an=Sn﹣Sn﹣1=(2 ﹣1)﹣(2 ﹣1)=2 ﹣2 =2 ; n﹣1 ∴an=2 . n﹣1 2 ; 【点评】本题主要考查数列的求和问题.属基础题.

n

n

15.已知函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0)的图象与 y 轴交与 P,与 x 轴的相邻两个交点记 .

为 A,B,若△ PAB 的面积等于 π,则 ω=

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数 f(x)=2sin(ωx+ ) (ω>0)的图象与 y 轴交与 P,与 x 轴的相邻两个交

点记为 A,B,可得 P 点坐标为(0,1) ,|AB|= ,再由△ PAB 的面积等于 π,可得: =π, 求出周期后,可得 ω 的值. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+ 由 x=0 时,2sin ) (ω>0)的图象与 y 轴交与 P,

=1 可得:P 点坐标为(0,1) , ) (ω>0)的图象与 A,B,

函数 f(x)=2sin(ωx+ 故|AB|= , ∵△PAB 的面积等于 π, ∴ =π, ∴T=4π= ∵ω>0, ∴ω= , 故答案为: ,

【点评】本题考查的知识点是由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,其中根据已知求 出函数的周期,是解答的关键. 16.△ ABC 为锐角三角形,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 c=2,且 sinC+sin (B﹣A)=2sin2A,则 a 的取值范围是 【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 【专题】解三角形. .

【分析】由 sinC=sin(B+A) ,sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,可得 2sinBcosA=4sinAcosA,解得 sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,根据余弦定理可得 a= ,结合 C 的范围,可

求得:a∈(

,2) ,又由余弦定理可得 cosB=

>0,结合 a

,即可解得 a

的范围. 【解答】解:∵sinC=sin(B+A) ,sinC+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴2sinBcosA=4sinAcosA, 当 cosA=0 时,解得 A= (舍去) ,

当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 由 c=2,根据余弦定理可得:4=a +4a ﹣4a cosC,解得:a= ∵C∈(0, ) ,cosC∈(0,1) ,5﹣4cosC∈(1,5) ,解得:a∈(
2 2 2 2 2 2

, ,2) .

余弦定理可得:b =a +c ﹣2accosB,可得 cosB= 可得 c 综上 a∈ 故答案为: ,c=2,可得 a . . .

>0,

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦定理,余弦定理,余弦函数的图 象和性质,熟练掌握相关公式及定理是解题的关键,属于基本知识的考查. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上) 17. (12 分) (2015 秋?兴庆区校级月考)已知等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?an+1,证明: .

【考点】不等式的证明. 【专题】综合题;推理和证明. 【分析】 (1)利用方程组思想求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?an+1,利用裂项法证明不等式. 【解答】解: (1)等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10, 联立解得:d=1,∴an=n+1; (2)证明:由(1)知,bn=(n+1) (n+2)

∴ 【点评】本题考查等差数列的通项,考查裂项法求数列的和,属于中档题.



18. (12 分) (2013 春?富平县期末) 设函数 f (x) = ? , 其中向量 = (m, cos2x) , = (1+sin2x, 1) ,x∈R,且函数 y=f(x)的图象经过点 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的取值集合. 【考点】平面向量的综合题. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示可得,f(x)= +cos2x=m+msin2x+cos2x,由 f( (Ⅱ)由(Ⅰ)得 可求 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)= 由已知 ∴2m=2 即 m=1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∴当 此时 2x+ = =﹣1 时,f(x)的最小值为 即{x| ,k∈Z} =m(1+sin2x)+cos2x=m+msin2x+cos2x , )=2 可求 m ,结合正弦函数的性质 =m(1+sin2x)

【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,辅助角公式在三角函数化简中的应用, 正弦函数的性质的应用,属于基础试题 19. (12 分) (2011?盐城模拟)如图,在△ ABC 中,BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cosB= cos∠ADC=﹣ . (Ⅰ)求 sin∠BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.



【考点】解三角形.

【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)根据 cosB= ,cos∠ADC=﹣ ,利用平方关系,可得 sinB、sin∠ADC 的值,

利用 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B) ,即可求得结论; (Ⅱ)在△ ABD 中,由正弦定理,求 BD=2,故 DC=2,在△ ADC 中,由余弦定理,可求 AC 的长. 【解答】解: (Ⅰ)因为 cosB= ,所以 sinB= …(4 分) × ﹣(﹣ )× = …(7 分) …(2 分)

又 cos∠ADC=﹣ ,所以 sin∠ADC= 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)= (Ⅱ)在△ ABD 中,由正弦定理,得

,解得 BD=2…(10 分)

故 DC=2,从而在△ ADC 中,由余弦定理,得 AC =9+4﹣2×3×2×

2

=16,所以 AC=4…

(14 分) 【点评】本题考查差角的正弦公式,考查正弦定理、余弦定理的运用,属于中档题. 20. (12 分) (2015 秋?兴庆区校级月考)已知等比数列{an}是递增数列,a2a5=32,a3+a4=12, 数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=2bn+2an(n∈N+) (1)证明:数列 是等差数列;

(2)若对任意 n∈N+,不等式(n+2)bn+1≥λbn 总成立,求实数 λ 的最大值. 【考点】数列递推式;数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由已知列式求出等比数列的首项和公比,求出其通项公式,再由 bn+1=2bn+2an 即可得到数列 是等差数列;

(2)把数列{an},{bn}的通项公式代入(n+2)bn+1≥λbn,分离参数 λ,然后利用基本不等式求 得实数 λ 的最大值. 【解答】 (1)证明:∵a2a5=a3a4=32,a3+a4=12,且{an}是递增数列, ∴a3=4,a4=8,则 q=2,a1=1, ∴ ,

又∵bn+1=2bn+2an,∴



∴数列

是等差数列;

(2)解:由(1)可得







由(n+2)bn+1≥λbn 总成立,得 最小总成立,

∵n∈N+,∴n=1 或 2 时,

最小值为 12,

∴λ 最大值为 12. 【点评】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了利用基本不等式求最值,属 中档题. 21. (12 分) (2013?桐乡市校级模拟)已知函数 f(x)=ln(e +k) (k 为常数)是实数集 R 上 的奇函数 (1)求 k 的值 2 (2)若函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[﹣1,1]上的减函数,且 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1, 1]上恒成立,求 t 的取值范围 (3)讨论关于 x 的方程 的根的个数.
x

【考点】函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】计算题;压轴题;分类讨论;转化思想. 【分析】 (1)因为定义域是实数集 R,直接利用奇函数定义域内有 0,则 f(﹣0)=﹣f(0) 即 f(0)=0,即可求 k 的值; (2)先利用函数 g(x)的导函数 g'(x)=λ+cosx≤0 在[﹣1,1]上恒成立,求出 λ 的取值范围 以及得到 g(x)的最大值 g(﹣1)=﹣1﹣sin1;然后把 g(x)≤t +λt+1 在 x∈[﹣1,1]上恒成 2 2 立转化为﹣λ﹣sin1≤t +λt+1(λ≤﹣1) ,整理得(t+1)λ+t +sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立,再利用 一次函数的思想方法求解即可. (3)先把方程转化为 =x ﹣2ex+m,令 F(x)=
2 2

(x>0) ,G(x)=x ﹣2ex+m (x

2

>0) ,再利用导函数分别求出两个函数的单调区间,进而得到两个函数的最值,比较其最值 即可得出结论. x 【解答】解: (1)因为函数 f(x)=ln(e +k) (k 为常数)是实数集 R 上的奇函数, 所以 f(﹣0)=﹣f(0)即 f(0)=0, 0 则 ln(e +k)=0 解得 k=0, 显然 k=0 时,f(x)=x 是实数集 R 上的奇函数; (2)由(1)得 f(x)=x 所以 g(x)=λx+sinx,g'(x)=λ+cosx, 因为 g(x) 在[﹣1,1]上单调递减,∴g'(x)=λ+cosx≤0 在[﹣1,1]上恒成立, ∴λ≤﹣1,g(x)max=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1, 2 只需﹣λ﹣sin1≤t +λt+1(λ≤﹣1) , 2 ∴(t+1)λ+t +sin1+1≥0(λ≤﹣1)恒成立, 2 令 h(λ)=(t+1)λ+t +sin1+1(λ≤﹣1)

则 (3)由(1)得 f(x)=x ∴方程转化为 分) ∵F'(x)= ,令 F'(x)=0,即

解得 t≤﹣1

=x ﹣2ex+m,令 F(x)=

2

(x>0) ,G(x)=x ﹣2ex+m (x>0) , (8

2

=0,得 x=e

当 x∈(0,e)时,F'(x)>0,∴F(x)在(0,e)上为增函数; 当 x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)在(e,+∞)上为减函数; (9 分) 当 x=e 时,F(x)max=F(e)= (10 分) 而 G(x)=(x﹣e) +m﹣e (x>0) ∴G(x)在(0,e)上为减函数,在(e,+∞)上为增函数; (11 分) 当 x=e 时,G(x)min=m﹣e (12 分) ∴当 m﹣ 当 m﹣ 当 m﹣ ,即 m> ,即 m= ,即 m< 时,方程无解; 时,方程有一个根; 时,方程有两个根; (14 分)
2 2 2

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质,函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题 中的应用,是对知识的综合考查,属于难题. 在涉及到奇函数定义域内有 0 时,一般利用结论 f(0)=0 来作题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (10 分) (2011?辽宁)如图,A、B、C、D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长 线交于 E 点,且 EC=ED. (Ⅰ)证明:CD∥AB; (Ⅱ)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A、B、G、F 四点共圆.

【考点】圆內接多边形的性质与判定. 【专题】证明题.

【分析】 (I)根据两条边相等,得到等腰三角形的两个底角相等,根据四点共圆,得到四边形 的一个外角等于不相邻的一个内角,高考等量代换得到两个角相等,根据根据同位角相等两 直线平行,得到结论. (II)根据第一问做出的边和角之间的关系,得到两个三角形全等,根据全等三角形的对应角 相等,根据平行的性质定理,等量代换,得到四边形的一对对角相等,得到四点共圆. 【解答】解: (I)因为 EC=ED, 所以∠EDC=∠ECD 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上, 所以∠EDC=∠EBA 故∠ECD=∠EBA, 所以 CD∥AB (Ⅱ)由(I)知,AE=BE, 因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC 连接 AF,BG,△ EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE 又 CD∥AB,∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180° 故 A,B.G,F 四点共圆

【点评】本题考查圆内接多边形的性质和判断,考查两直线平行的判断和性质定理,考查三 角形全等的判断和性质,考查四点共圆的判断,本题是一个基础题目. 23. (2012?辽宁)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 2 2 2 2 在直角坐标 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2: (x﹣2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示) ; (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (I)利用 ,以及 x +y =ρ ,直接写出圆 C1,C2 的极坐标方程,求出圆
2 2 2

C1,C2 的交点极坐标,然后求出直角坐标(用坐标表示) ; (II)解法一:求出两个圆的直角坐标,直接写出圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出 程. 【解答】解: (I)由 ,x +y =ρ ,
2 2 2

, 然后求出圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方

可知圆 圆 解

,的极坐标方程为 ρ=2, ,即 得:ρ=2, , ) , (2, ) . ) , (1, ) . 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,

故圆 C1,C2 的交点坐标(2, (II)解法一:由

得圆 C1,C2 的交点的直角坐标(1,

故圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为 (或圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为 (解法二)将 x=1 代入 从而 于 . 得 ρcosθ=1 )

是圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,直线的参数方程的求法,极坐标与直角坐标的互 化,考查计算能力. 24. (2015 秋?兴庆区校级月考)已知 a,b,c∈R ,求证: 2 (1) (ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )≥16abc (2) + + ≥3.
+

【考点】不等式的证明. 【专题】证明题;推理和证明. 2 2 【分析】 (1)将(ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )转化为(ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )=(a+1)? (b+1)?(a+c)?(b+c) ,再结合条件 a,b,c 是不全相等的正数,应用基本不等式即可. (2)利用基本不等式,即可证明结论. 2 【解答】证明: (1)∵ab+a+b+1=(a+1)?(b+1) ,ab+ac+bc+c =(a+c)?(b+c) , 2 ∴(ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )=(a+1)?(b+1)?(a+c)?(b+c) , ∵a,b,c 是正数, ∴a+1≥2 >0,b+1≥2 >0,a+c≥2 >0,b+c≥2 >0, 又 a,b,c 是不全相等的正数, ∴(a+1) (b+1) (a+c) (b+c)>2 ×2 ×2 ×2 =16abc, 2 ∴(ab+a+b+1) (ab+ac+bc+c )>16abc. + (2)∵a,b,c∈R , ∴ + + ≥3, ∴ + + + ≥3, ≥6,



+

+

≥3.

【点评】本题考查不等式的证明,着重考查基本不等式的应用, (1)关键是将(ab+a+b+1) 2 (ab+ac+bc+c )转化为(a+1)?(b+1)?(a+c)?(b+c) ,属于中档题.


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