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2014届高三数学平面向量一轮重点难点复习精讲精练更新


2014 届高三数学平面向量一轮重点难点复习精讲精练
高频考点考向一 平面向量的概念 ). 【例 1】? 下列命题中正确的是(

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 【训练 1】 给出下列命题: → → ①若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ④若 a 与 b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是________. 高频考点考向二 平面向量的线性运算 ).

→ → → → → 【例 2】 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD=( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

【 例 3 】 三 角 形 ABC 中 , AB=3,A=

? ,AD 是 角 A 的 平 分 线 , 3

b c a

AD ?

1 AC ? ? AB ,AD=___________. 3

? ? ? ? ? ? ? 【训练 1】 (13) 向量 a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示, c ? ? a ? ? b ? ? , ? R ? , 若


??? ??? ??? ? ? ? 【训练 1】 (四川理科 4、文科 7)正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF ? ??? ? ???? ??? ? (A)0 (B) BE (C) AD (D) CF .
1. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

? ? ?



设 D,E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB,BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为__________.
【答案】

1 2

2. (2013 年高考四川卷(理) 在平行四边形 )

ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O ,

??? ???? ? ???? AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _________.
高频考点考向三 共线向量定理及其应用

【例 3】? 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → 【训练 3】 (2011·兰州模拟)已知 a,b 是不共线的向量,AB=λ a+b,AC=a+μ b(λ , μ ∈R),那么 A,B,C 三点共线的充要条件是( A.λ +μ =2 高频考点考向四 B.λ -μ =1 ). D.λ μ =1

C.λ μ =-1

平面向量基本定理的应用

→ 【例 1】? 如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上异于 B,C 的任一点,M 为 AH 的中点,若AM= → → → → → → λ AB+μ AC, λ +μ =________.若AM=λ AB+μ AC, λ =μ 直线 AM 过_______,若若AM 则 若 =λ (

AB AB

?

AC AC

)直线 AM 过_______,(填“重心” “外心” “垂心” “内心”)

→ → → 【训练 1】如图, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起. =xAB+yAC, x=________, 若AD 则 y=________.

高频考点考向五

平面向量的坐标运算

→ → → 【例 2】? (2011·合肥模拟)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN= → → 2CB.求 M,N 的坐标和MN. 利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列 方程(组)进行求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意 向量的方向,不要写错坐标. → → → 【训练 2】在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, =(2,4), =(1,3), =( AC 若AB AC 则BD ). A.(-2,-4) C.(3,5) 高频考点考向六 B.(-3,-5) D.(2,4) 平面向量共线的坐标运算

【例 3】? 已知 a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数 k,使得 ka+b 与 a-3b 共线,且方 向相反?

向量共线问题中,一般是根据其中的一些关系求解参数值,如果向量是用坐标表 示的, 就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程, 根据方程求解其中的参数 值. 【训练 3】 (2011·西安质检)已知向量 a=(1,2), b=(2, -3), 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b),则 c=( ). 7? ? 7 B.?- ,- ? 3 9? ?

?7 7? A.? , ? ?9 3?

?7 7? C.? , ? ?3 9?

7? ? 7 D.?- ,- ? 9 3? ?

3 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) 已 知 点 ( )

??? ? A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
A. ? ,- ?

( D. ? ? , ?



?3 ?5

4? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?
?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?
? ?

? 4 3? ? 5 5?

11. (湖南文科 13)设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反,则 a 的坐标 为 .

? ?

?

?

3.(北京文科 11)已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0 ? 1), c ? (k , 3) 。若 a ? 2b 与 c 共线,则 k = .

2. (北京理科第 10 题) 已知向量 a ? ( 3 ,1) ,b ? (0,?1) ,c ? (k , 3 ) .若 a ? 2b 与 c 共线, 则 k ? ___________________。 8.(广东文科 3)已知向量 a ? (1,2) , b ? (1,0) , c ? (3,4) 。若 ? 为实数, (a ? ?b)∥c , 。 则? = A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题,是高考命题向量试题的常见形式,求解这 类问题的常规思路是:首先选择一组基向量,把所有需要的向量都用基向量表示,然后再进 行求解. 【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则;二是弄清平面图形中的特殊点、 线段等. → → → → → → 【示例】? (2011·湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD·BE= ________. 【试一试】 (2011·天津)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P → → 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为________. [尝试解析]

4. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)) 已知向量 a ? (1 k ) , b ? (9, ? 6) .若 a // b , k ,

?

?

?

?

则实数 k ? __________ 27(重庆文 5)已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2), 且a ? b与a 共线,那么 a ? b 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4

25(上海理 11、文 12)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则

??? ???? ? AB ? AD ?
高频考点考向七

. 求两平面向量的数量积

→ → → → → 【例 1】? (2011·合肥模拟)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,|AM|=1,AP=2PM,则PA·(PB+ → PC)=________. 当向量表示平面图形中的一些有向线段时, 要根据向量加减法运算的几何法则进 行转化, 把题目中未知的向量用已知的向量表示出来, 在这个过程中要充分利用共线向量定 理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识. 【训练 1】 如图,

→ → 在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA·AB=________.
5 . (2013 年高考湖北卷(理) 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB )

??? ?

在 CD 方向上的投影为

??? ?





A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【答案】A 6. (2013 年高考江西卷(理) 设 e1 , e2 为单位向量.且 e1 , e2 的夹角为 )

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , 3

b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影为 ___________
25(上海理 11、文 12)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则

??? ???? ? AB ? AD ?



7. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知正方形 )

的边长为
【答案】2

,



的中点,则

_______.

6.(福建文科 13)若向量 a ? (1,1), b ? (?1,2) ,则 a ? b 等于_____________. 14 江西文科 11) ( 已知两个单位向量 e1 ,e2 的夹角为 则 b1 ? b2 =___.

?? ?? ?

?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? b , 若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , 2 ? 3e1 ? 4e2 , 3

高频考点考向八

利用平面向量数量积求夹角与模

【例 2】? 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求|a+b|和|a-b|.
8. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 在平行四边形 ABCD 中, )

AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD· ? 1 , 则 AB 的长为______. BE
1. 安徽理科第 13 题、 ( 文科 14 题) 已知向量 a, b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? , a ? 1 ,b ? 2 , 且 则 a 与 b 的夹角为 . 高频考点考向九 利用平面向量数量积求夹角与模 【例 2】? 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ ; (2)求|a+b|和|a-b|. 在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a| = a·a要引起足够重视,是求距离常用的公式. 【训练 2】 已知 a 与 b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角.

???? ??? ?

? 2 ? ? ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于 1 , 1 ? 9.(湖北文科 2)若向量 a ?, ?b ?, 1
A. ?

? 4

B.

?
6

C.

?
4

D.

3? 4

9 . (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 (理) (含答案) 在平面上, 试题 )

???? ???? ? AB1 ? AB2 ,
( )

??? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ??? ? ??? 1 ? OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 的取值范围是 2

A. ? 0,

? ? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

C. ?

? 5 ? ? 2 , 2? ? ?

D. ?

? 7 ? ? 2 , 2? ? ?

10 . 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) 已 知 a, b 是 单 位 向 量 , ( )

a? ? 0 . 若 向 量 c 满 足 b
( )

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是
, A. ? 2-1, 2 +1? ? ? , C. ?1, 2+1? ? ? , B. ? 2-1, 2 +2 ? ? ? , D. ?1, 2 +2 ? ? ?

11. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 e1 , e2 为单位向 )

量 , 非 零 向 量 b ? xe1 ? y e2 , x, y ? R , 若 e1 , e2 的 夹 角 为 ________.

| x| ? ,则 的最大值等于 6 |b|

16(浙江文科 15)若平面向量 α、β 满足 | ? |? 1,| ? |? 1 ,且以向量 α、β 为邻边的平行四边 形的面积为

1 ,则 α 和 β 的夹角 θ 的取值范围是____________________________。 2

23(全国课标理 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ?
? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P , P4 1 (B) P , P3 1

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ?
?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P3

(D) P2 , P4

26(重庆理 12)已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ 高频考点考向十 平面向量的数量积与垂直问题

【例 3】? 已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程,通过解方程求出其中的参数 值.在计算数量积时要注意方法的选择:一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来, 再计算数量积; 另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算, 把这个数量积的计算化 归为基本的向量数量积的计算.

→ → → 【训练 3】 已知平面内 A,B,C 三点在同一条直线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5, → → -1),且OA⊥OB,求实数 m,n 的值. 【示例】? (本题满分 12 分)(2010·安徽)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别 12 为 a,b,c,cos A= . 13 → → (1)求AB·AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值. 7.(广东理科 3)若向量 a , b, c 满足 a ∥ b 且 a ? c ,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 B.3 C.2 D.0

24(全国课标文 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数,若向量 a ? b 与向量

ka ? b 垂直,则 k ? ___ .
2013全国文 (13) 已知两个单位向量a, b的夹角为60°, c=ta+ (1-t) 若b· b, c=0, 则t=_____. 12 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 已知向 ) 量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = A. ?4
【答案】B

??

?

?

??

?

? ?

?? ?

?

( D. -1



B. ?3

C. ?2

??? ? 13. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 已知向量 ) 与 AB
的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC , 则实数 ? 的值为__________.

???? AC

??? ?

????

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

→ → → → 【试一试】 已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB·BC=6,设AB与BC的夹角为 θ . (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin θ +2sin θ ·cos θ +3cos θ 的最小值. 高频考点考向十一 平面向量的应用(解三角、函数、平面解析几何)
14 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 ?ABC, P0 是 )
2 2

边 AB 上 一 定 点 , 满 足 P0 B ?

1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 4
( C. AB ? AC D. AC ? BC )

PB ? PC ? P0 B ? P0C .则
A. ?ABC ? 90 0 B. ?BAC ? 90 0
x

4.(福建理科第 10 题)已知函数 f ( x) ? e ? x ,对于曲线 y ? f (x) 上横坐标成等差数列的

三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④

C. ②③

D.②④

→ → → → → 2.平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC 的形状 是( ). B.等腰直角三角形 D.无法确定

A.直角三角形 C.等腰三角形

3.(2012·银川模拟)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大 值,最小值分别是( A.4,0 C.2,0 B.16,0 D.16,4 ).

→ ? → → ? → → → → ? AB + AC ?·BC=0 且 AB · AC =1,则 4.在△ABC 中,已知向量AB与AC满足 → → ?|AB| |AC|? → → 2 |AB| |AC| ? ? △ABC 为( ). B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

A.等边三角形 C.等腰非等边三角形

→ → 5. (2012·武汉联考)平面直角坐标系 xOy 中, 若定点 A(1,2)与动点 P(x, y)满足OP·OA=4, 则点 P 的轨迹方程是______________________________________. 【例 3】? (2012·兰州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动 → 1→ → 1→ 点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC+ PQ)·(PC- PQ)=0. 2 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; → → 2 2 (2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任一条直径,求PE·PF的最值. → → 【训练 3】 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足PA·AM= 3→ → 0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 2 【示例】 (2010·北京)若 a, 是非零向量, a⊥b, ? b 且 |a|≠|b|, 则函数 f(x)=(xa+b)·(xb -a)是( ). B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数

A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数

【示例】? (2011·福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区域

?x+y≥2, ? ?x≤1, ?y≤2 ?

→ → 上的一个动点,则OA·OM的取值范围是(

).

A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]

D.[-1,2]

15 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 在四边形 ABCD )

中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C.5 D.10

????

??? ?





16 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 在平面直角坐标 )

OB ? 2, 则 点 集 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , 两 定 点 A, B 满 足 OA ? OB ? OA?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

?P | O P? ?
A. 2 2

? ? ??

? ? ?? O? ? A

? ? ?? O ? ? ? ?1 , ? , ?? 所表示的区域的面积是 , B R

?





B. 2 3

C. 4 2

D. 4 3

2010(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ? 4 ? 2 (B) ? 3 ? 2 (C) ? 4 ? 2 2 (D) ? 3 ? 2 2


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