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辽宁省沈阳二中2016届高三数学上学期10月月考试题 理


沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果 阶段验收
说明:1、测试时间:120 分钟

高三(16 届)数学(理科)试题
总分:150 分;

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的对应位置上 第Ⅰ卷(60 分) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.) 1. 已知 a , b 为两个不相等的实数, M ? a ? 4a, ?1 , N ? b ? 4b ? 1, ?2 , f : x ? x 表示
2 2

?

?

?

?

把 M 中元素 x 映射到集合 N 中仍为 x ,则 a ? b 等于( A.1 B.2 C.3

) D.4

2. 已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 3. B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ) C.
??? ??? ???

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
2 ? 2

?

A. ?

B. 2

? -2
?

D.

? +2
??? ??? ???

4. 已知△ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若存在实数 m 使得 AB? AC ? m AM 成立, 则 m=( A.2 ) B.3 C.4 D .5

5. 已知命题
x ?x 函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数, p1 : x ?x 函数 y ? 2 ? 2 在 R 为减函数, 则在命题 q1 : p2 :

p1 ? p2 ;
真命题是( A. q1 , q3

q2 : p1 ? p2 ;
) B. q2 , q3

q3 : ? ? p1 ? ? p2 和

q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,

C. q1 , q4

(D) q2 , q4 )

6. 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,则 | ? | 的最小值为( ? 3 ?

-1-

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

2 2 7. 函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

) D. ? ? , ?

A. ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ?

?? ?? ,? ?6 2?

? ?

?? 3?

? ? ?? ? 6 6?

??? ? ??? ? → → ??? ? ???? ? AB AC 1 AB AC ??? ? ? ??? ? ) ? BC ? 0 且 8. 已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? · = ,则△ABC → → 2 | AB | | AC | |AB| |AC|
为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D. 等边三角形

9.在△ABC 中,“A>30°”是“sinA> A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ” 的( 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,当 x ? [3, 4] 时, f ( x ) ? x ? 2 , 则( )

A. f (sin ) ? f (cos ) C. f (sin1) ? f (cos1)

1 2

1 2

) ? f (cos ) 3 3 3 3 D. f (sin ) ? f (cos ) 2 2
B. f (sin )

?

?

11.若 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy ( x, y ? R) , f (1) ? 2 ,则 f ( ?3) =( A.2 B.3 C.6 D. 9w

12.在△ABC 中,A,B,C 所对应边长分别为 a, b, c ,若 c ? a 等于 AC 边上的高 h ,那么

C?A C?A ? cos 的值是( 2 2 1 A.1 B. 2 sin

) C.

1 3

D.-1.

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

-2-

x 13. 若 函 数 f ( x)? a ? x? a (> a0 且

a ? 1有 ) 两个零点,则实数 a 的取值范围



.
? 1 2

14.如果 ? m ? 4?

? (3 ? 2m) 2 ,则 m 的取值范围是_______
1 ? 2 x ? 8} , 8

?

1

15. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,集合 A ? {x | x2 ? 2[ x] ? 3} , B ? {x | 则 A ? B ? _________________. 16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若存在常数 k ? 0 ,使 f ? x ? ? 成立,则称 f ? x ? 为“海宝”函数. 给出下列函数: ① f ? x ? ? x2 ;② f ? x ? ? sin x ? cos x ;③ f ? x ? ? 其中 f ? x ? 是“海宝”函数的序号为

k x 对一切实数 x 均 2015

x ;④ f ? x ? ? 3x ?1 x ? x ?1
2



三、 解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x ) ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)] (a ? 1) 的 x ?1

定义域为 B. (Ⅰ)求 A (Ⅱ)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2x) ( A ? 0) , 函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

2

来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 [0, 5? ] 上的值域.

??

? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原
24

2

19. (本小题满分 12 分)
-3-

在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里 处有一个雷达观测站 A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与 点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其
? ?

中 sin ? =

26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (Ⅱ)若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

20.(本小题满分 12 分.) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点 (?1, f (?1)) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g ( x) ? ? f ( x)e? x 的单调区间.

21. (本小题满分 12 分)

2x ? a ( x ? R) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 (Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; 1 (Ⅱ)设关于 x 的方程 f ( x ) ? 的两个非零实根为 x1 , x2 .试问:是否存在实数 m ,使得 x
已知 f ( x ) ? 不等式 m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取 值范围;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 ? a ln( x ? 1) ,其中 n ? N * , a 为常数. n (1 ? x )

(Ⅰ)当 n ? 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 x≥2 时,有 f ( x ) ? x ? 1 .

-4-

沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果阶段验收高三 (16 届) 数学(理科) 一.1 D 2D 3D 4B 5C 6A 试题答案 7A 8D 9B 10C
-5-

11 C

12A 14. ? ? ,

二.13. ?1, ?? ? 三.(17).解: (Ⅰ)2- 分

? 1 3? ? ? 3 2?

15.

??1, 7?

16. ③

x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, x<-1 或 x≥1 x ?1 x ?1

即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞)?2

(Ⅱ)由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ?4 分 ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥ ∴

1 或 a≤-2, 而 a<1, 2

1 ≤a<1 或 a≤-2, ?8 分 2 1 ,1)????10 分 2

故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ (18)解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n = 3 A sin x cos x ? = A sin(2 x ?

A 3 1 cos 2 x = A( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 2

) 6 因为 A ? 0 ,由题意知 A ? 6 .?5 分
(Ⅱ)由(I)知, f ( x) ? 6sin(2x ? ? )

?

? ? 将 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位后得到 ?? y ? 6sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? 6sin(2x ? ? ) 的图象;?????(7 分) ?? ? ? 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变, 2 得到 y ? 6sin(4 x ? ? ) 的图象. ? 因此 g ( x) ? 6sin(4 x ? ? ) , ?????(9 分) ? 因为 x ?[0 , 5? ] , ?? ? 所以 4 x ? ? [? , 7? ] , 所以 sin(4 x ? ? ) ? [? 1 ,1] , ? ? ? ? 2 所以 g ( x) 在 [0 , 5? ] 上的值域为 [?3 , 6] .???????(12 分) ??
26 . 26

(19)解 :(I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

-6-

由于 0 < ? < 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
? ?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). ?????5 分 2 3

所以船的行驶速度为

(II) 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q, 在 ? ABC 中,由余弦定理得:

cos ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? 2 AB.BC

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 3 10 ? 10 2 ? 40 2 ?10 5
从 而
2

Q
P
B ? 1 0

s

?A

9 1

,

i

在 ? ABQ 中,由正弦定理得:

AB sin ABC AQ ? ? sin ? 45? ? ?ABC ?

10 10 ? 40 ?9 分 2 2 10 ? 2 10 由于 AE ? 55 ? 40 ? AQ ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间, 40 2 ?
且 QE ? AE ? AQ ? 15 ,

过 点 E 作 EP ? BC 于点 P ,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ? QPE 中,

PE ? QE ? sin PQE ? QE ? sin AQC ? QE ? sin ? 45? ? ?ABC ? ?
15 ? 5 ?3 5 ?7 3

所以船会进入警戒水域。?????12 分

(20)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c, 所以f ?( x) ? 2ax ? b.
2

-7-

又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. ?????4 分
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) ?

3 4

9 , 4

故当 a ? ?

3 9 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . ?????6 分 2 2

3 2 3 3 3 3 x ? x ? , f ?( x ) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x ) ? ? f ( x )c ? x ? ( x 2 ? x ? )e ? x , 4 2 2 3 2 ?x ?x 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x)) e ? ? ( x ? 4) e . 4
从而 f ( x) ? ? 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. ?????8 分

当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为增函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数.

由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞); 单调递增区间为(-2,2). ?????12 分

(21) .解: (Ⅰ)f'(x)=

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2
-8-

∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x -ax-2,
2 2





?

?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? -1≤a≤1, ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0
?????5 分
2

∴A={a|-1≤a≤1}.

(Ⅱ)由

2x ? a 1 2 = ,得 x -ax-2=0, 2 x ?2 x
2

∵△=a +8>0

∴x1,x2 是方程 x -ax-2=0 的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. ?????7 分 要使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m +tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m +tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2), ②
2 2 2 2 2

②?????9 分

? g(-1)=m2-m-2≥0,
g(1)=m +m-2≥0,
2

? m≥2 或 m≤-2.
所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 其取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}.?????12 分
2

(22).解: (Ⅰ)解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1},?????1 分

-9-

当 n=2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ?1), (1 ? x) 2

所以

f ?( x) ?

2 ? a(1 ? x)2 . ????2 分 (1 ? x)3

(1)当 a≤0 时,f′(x)<0 恒成立,所以 f(x)无极值. ????3 分 (2)当 a>0 时,由 f(x)=0 得

x1 ? 1 ?

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a

此时 f′(x)=

?a ( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(x1+∞)时,f′(x)>0, f(x)单调递增. 综上所述,n=2 时, 当 a>0 时, f(x)在 x ? 1 ?

2 2 a 2 ) ? (1 ? ln ). 处取得极小值, 极小值为 f (1 ? a 2 a a

当 a≤0 时,f(x)无极值. ??6 分 (Ⅱ)证法一: 因为 a=1,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n n 1 x?2 n ? ? ? >0(x≥2). n ?1 ( x ? 1) x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n ?1

则 g′(x)=1+

所以当 x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增,又 g(2)=0 因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ?1) ≥g(2)=0 恒成立, ( x ? 1) n

所以 f(x)≤x-1 成立. ??9 分

当 n 为奇数时,

- 10 -

要证 f ( x ) ≤x-1,由于 令 则 所以

1 <0,所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x)n

h(x)=x-1-ln(x-1), h′(x)=1-

1 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

当 x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ?1) 单调递增,又 h(2)=1>0,

所以当 x≥2 时,恒有 h(x) >0,即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. ??12 分

证法二:当 a=1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n 1 ≤1, (1 ? x) n

当 x≤2,时,对任意的正整数 n,恒有 故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1.

令 h( x) ? x ?1 ? (1 ? ln( x ?1)) ? x ? 2 ? ln( x ?1), x ??2, ??? 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x≥2 时, h?( x ) ≥0,故 h(x)在 ? 2, ?? ? 上单调递增, 因此 故 当 x≥2 时,h(x)≥h(2)=0,即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 当 x≥2 时,有

1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n
??????12 分

即 f(x)≤x-1.

- 11 -


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