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2014年北京市东城区高三第一学期期末数学(理)试题及答案


东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科) 第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1、已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? 开始 (A) (0,1) (B) (1, 2) (C) (??, ?1) ? (0, ??) (D) (??, ?1) ? (1, ??) S=1 2?i 2、在复平面内,复数 的对应点位于 i a=3 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3、设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的 S=S×a (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 4、执行右图所示的程序框图,输出的 a 的值为 (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 S ≥100? ? 1 3 6 2 2 否 5、在△ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,则 cos B ? (A) (B) (C) (D) 3 3 3 3 a =a+2
2 2 6、已知直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的

是 输出 a 结束

3 3 3 3 1 1 (D) [ , ] (B) [ ? , ] (C) ( ??, ? ] , ??) 3 3 3 3 3 3 ??? ? ???? ??? ? 7、在直角梯形 ABCD 中, ?A ? 90? , ?B ? 30? , AB ? 2 3 , BC ? 2 ,点 E 在线段 CD 上,若 AE ? AD ? ?AB ,则 1 1 ? 的取值范围是(A) [0,1] (B) [0, 3] (C) [0, ] (D) [ , 2] 2 2 ? ?a, a ? b, ? x ? 2, 8、定义 max{a, b} ? ? 设实数 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是 ?b, a ? b, ? ? y ? 2, (A) [?6,10] (B) [?7,10] (C) [?6,8] (D) [?7,8] 1
取值范围为 (A) [ ? 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9、若函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为 10、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
2

1



2 (主视图)

1 (侧视图)

11、 若点 P(4, 4) 为抛物线 y ? 2 px 上一点, 则抛物线焦点坐标为 到抛物线的准线的距离为 .
2

; 点P
y P A O x

12、函数 y ?

. x ? 1 ? x 的最大值为 1 2 13、如图,已知点 A(0, ) ,点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x 上,若阴影部分面 4 积与△ OAP 面积相等时,则 x0 ? .
*
*

(俯视图)

14、设等差数列 ? an ? 满足:公差 d ? N , an ? N ,且 ? an ? 中任意两项之和也是该数列中的 一项. 若 a1 ? 1 ,则 d ? ; 若 a1 ? 2 ,则 d 的所有可能取值之和为
5
2

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( 的最大值和最小值.

? ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上 ) 的值; 12 2

16、 (本小题共 13 分)已知 ?a n ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 .(Ⅰ)求数列 {an } 的通 项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足:

b b1 b2 ? 2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 2 2 2n

第 1 页 共 4 页

17、 (本小题共 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1B ? 平面 A1B1C1 AC ? CB ? CC1 ? 2 , ?ACB ? 90? , D , (Ⅰ)求证: C1 D ∥平面 A1 BE ; E 分别是 A1 B1 , CC1 的中点. (Ⅱ)求证:平面 A1 BE ? 平面 AA1 B1 B ; (Ⅲ)求直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值. A1 C1 D A B1 2A

E A C A

B A

A 18、 (本小题共 13 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? 间 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

1 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区 ? ax . x

x2 y 2 (Ⅰ)求椭圆方 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点到其两焦点距离之和为 4 ,且过点 (0,1) . a 2 b2 xx yy 程; (Ⅱ) O 为坐标原点,斜率为 k 的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,若 1 22 ? 1 2 2 ? 0 , a b 求△ AOB 的面积.
19、 (本小题共 13 分)已知椭圆

an ? an ? 2 ? an ?1 ; ②存在常数 M , 对任意 n ? N * , an ? M , 2 n 则称数列 {an } 为“ T 数列”. (Ⅰ)若数列 {an } 的通项为 an ? 8 ? 2 (n ? N*) ,证明:数列 {an } 为“ T 数列”; (Ⅱ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列”,证明:对任意 n ? N * , an ? an ?1 ; (Ⅲ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列”,证明:存在 n0 ? N * ,数列 {an0 ? n } 为等差数列.
20、 本小题共 14 分) 若无穷数列 {an } 满足: ①对任意 n ? N * ,

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东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1、C 2、D 3、A 4、C 5、C 6、A 7、C 8、B 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9、 ?6 ;10、 三、解答题(共 6 小题,共 80 分)

3 6 ;11、 (1, 0) , 5 ;12、 2 ;13、 ;14、 1, 63 ; 4 2
? 3sin2 co xs x co s2 ? x ,得 f (x ) ?2sin(2 x ? )

x 15、 (共 13 分)解: (Ⅰ)由 f (x ) ?2 3sin cos
以 f(

x 2sin ?

2 1x ?

? ? ) ? 2sin ? 3 .……………8 分 12 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ? , 所以 ? 2 x ? ? . 当 2x ? ? , 即 x ? 时, 函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 2 . 当 6 6 6 6 2 6 2 2 ? ?? ? ? ,即 x ? 时,函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ?1 .…………13 分 2x ? ? 6 6 2 2 16、 (共 13 分)解: (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d ,则依题设 d ? 0 .由 a2 ? a6 ? 14 ,可得 a4 ? 7 .由 a3a5 ? 45 ,得
(7 ? d )(7 ? d) ? 45 ,可得 d ? 2 .所以 a1 ? 7 ? 3d ? 1 .可得 an ? 2n ? 1.……………………………6 分 b ( n1 ) ? (Ⅱ) 设 cn ? n , 则 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an ? 1 .即 c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n , 可得 c1 ? 2 , 且 c1 ? c 2 ? ? ? cn ? c 1 n? ? 2 2n n ?1 以 cn ?1 ? 2 ,可知 cn ? 2 (n ? N*) .所以 bn ? 2 ,所以数列 ?bn ? 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.
所以前 n 项和 Sn ?

? .所 6

. 所

4(1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 . …………………………13 分 1? 2 17、 (共 14 分)证明: (Ⅰ)取 AB 的中点 F ,连结 DF ,交 A1 B 于点 M ,可知 M 为 DF 中点,连结 EM ,易知四边形 C1 DME 为平行四边形, 所以 C1 D ∥ EM .又 C1D ? 平面 A1 BE , EM ? 平面 A1 BE ,所以 C1 D ∥平面 A1BE .…4 分
证明: (Ⅱ)因为 A1C1 ? C1 B1 ,且 D 是 A1 B1 的中点,所以 C1 D ? A1 B1 .因为 BB1 ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? C1 D .所 以 C1 D ? 平面 AA1 B1 B .又 C1 D ∥ EM ,所以 EM ? 平面 AA1 B1 B .又 EM ? 平面 A1 BE ,所以平面 A1 BE ? 平面

AA1 B1 B .……9分

解: (Ⅲ)如图建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则 B(0, 2, 0), C1 (0, 0, 2) , E (0, 0,1) , A1 (2, 0, 2) . BC1 ? (0, ?2, 2) , z ???? C1 ???? ??? ? B1 ? A ? EA1 ? n ? 0, EA1 ? (2, 0,1) , EB ? (0, 2, ?1) .设平面 A1 BE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .则 ? ??? ? 2A ? ? EB ? n ? 0. D E ???? ? A1 ?2 x ? z ? 0, A 所以 ? 令 x ? 1 .则 n ? (1, ?1, ?2) .设向量 n 与 BC1 的夹角为 ? , A 2 y ? z ? 0.

???? ?

F 1 1 1 x ?1 A A 18、 (共 13 分)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? ( x ? 0 ) , f '( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x x 所以,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 .所以,当 x ? 1 时,函数有最小值 f (1) ? 1 .…………6分 A (Ⅱ) f '( x) ?

???? ? 3 BC1 ? n 3 则 cos ? ? ???? .所以直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值为 . …14 分 ? ?? 6 6 BC1 n

?

C A

M A

B A y A

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? .当 a ? 0 时, ax 2 ? x ? 1 在 x ? [2, ??) 上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求. x x x2 1? x 2 当 a ? 0 时,要使 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调函数,当且仅当 x ? [2, ??) 时, ax ? x ? 1 ? 0 恒成立.即 a ? 2 恒成 x 1? x x?2 立.设 g ( x) ? 2 ,则 g '( x) ? ,又 x ? [2, ??) ,所以 g '( x) ? 0 ,即 g ( x) 在区间 [2, ??) 上为增函数, g ( x) 的最 x3 x 1 1 1 小值为 g (2) ? ? ,所以 a ? ? . 综上, a 的取值范围是 a ? ? ,或 a ? 0 .……………13 分 4 4 4 2 x ? y 2 ? 1. 19、 (共 13 分) 解 (Ⅰ) 依题意有 a ? 2 , b ? 1. 故椭圆方程为 ………5分 (Ⅱ) 因为直线 AB 过右焦点 ( 3, 0 ) , 4
? x2 ? y 2 ? 1, 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .联立方程组 ? 消去 y 并整理 ?4 ? y ? k ( x ? 3). ?
第 3 页 共 4 页

8 3k 2 12k 2 ? 4 得 (4k ? 1) x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 . (*)故 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ?k 2 3k 2 ? 1 ?k 2 xx yy xx .又 1 22 ? 1 2 2 ? 0 ,即 1 2 ? y1 y2 ? 0 .所以 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) ? 2 ? 2 ? 0, 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 a b 4 2 1 2 可得 k 2 ? ,即 k ? ? .方程(*)可化为 3x 2 ? 4 3x ? 2 ? 0 ,由 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ,可得 AB ? 2 . 2 2 3k 1 原点 O 到直线 AB 的距离 d ? ? 1 . 所以 S?AOB ? AB ? d ? 1 .……………13 分 2 2 k ?1
2 2 2 2

20、 (共 14 分) (Ⅰ)证明:由 an ? 8 ? 2 ,可得 an ? 2 ? 8 ? 2
n

n?2

, an ?1 ? 8 ? 2

n ?1



所以 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? 8 ? 2n ? 8 ? 2n ? 2 ? 2(8 ? 2n ?1 ) ? ?2n ? 0 ,所以对任意 n ? N * ,

减数列,所以对任意 n ? N * , an ? a1 ? 6 .所以数列 {an } 为“ T 数列”.………………………5 分

an ? an ? 2 ? an ?1 .又数列 {a } 为递 n 2
ak ? ak ? 2 ? ak ?1 , 2

(Ⅱ)证明:假设存在正整数 k ,使得 ak ? ak ?1 .由数列 {an } 的各项均为正整数,可得 ak ? ak ?1 ? 1 .由

可得 ak ? 2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2(ak ? 1) ? ak ? ak ? 2 .且 ak ? 2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?1 .同理 ak ?3 ? ak ?1 ? 2 ? ak ? 3 ,

a 依此类推, 可得, 对任意 n ? N * , 有 ak ? n ? k

? n . 因为 ak 为正整数, 设 ak ? m , 则 m ? N * .在 ak ? n ? ak ? n 中, 设n ? m,

则 ak ? n ? 0 .与数列 {an } 的各项均为正整数矛盾.所以,对任意 n ? N * , an ? an ?1 .…………………………10 分 (Ⅲ)因为数列 {an } 为“ T 数列”,所以,存在常数 M ,对任意 n ? N * , an ? M .设 M ? N * .

a ? ? ? an ? a 由 (Ⅱ) 可知, 对任意 n ? N * ,an ? an ?1 , 则 a1 ? a 若 an ? an ?1 , 则 an ?1 ? an ? 0 ; 若 an ? an ?1 , 2 ?3 1n ? ? ? . a2 ? a1 , a3 ? a2 , an ? an ?1 , 则 an ?1 ? an ? 1 . 而 n ? 2 时, 有 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . 所以 a1 , …, …,
中最多有 M 个大于或等于 1,否则与 an ? M 矛盾. 所以, 存在 n0 ? N * , 对任意的 n ? n0 , 有 an ? an ?1 ? 0 . 所以, 对任意 n ? N * ,an0 ? n ?1 ? an0 ? n ? 0 . 所以, 存在 n0 ? N * , 数列 {an0 ? n } 为等差数列.………………14 分

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