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指数函数对数函数幂函数单元测试题(有答案)精品资料


指数函数、对数函数、幂函数测试题 一、选择题 l.设指数函数 C1:y=ax,C2:y=bx,C3:y=cx 的图象如图,则( A.0<c<1<b<a B.0<a<1<b<c C.c<b<a ) D.0<c<1<a<b

2.函数 y=ax-1(a>0,a≠1)过定点,则这个定点是( A. (0,1) B. (1,2) C. (-1,0.5)

) D. (1,1) )

3.若函数 y=f(x)的图象与 y=2-x 的图象关于 y 轴对称,则 f(3)=( A.8 B.4 C.
1 8

D.

1 4

4.若指数函数 y=ax 经过点(-1,3) ,则 a 等于( A.3 B.
1 3



C.2

D.

1 2

5.函数 y=f(x)的图象与 y=21-x 的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为( A.y=2x-1 B.y=2x+1 C.y=2x-2 D.y=22-x



6.对于 ? x1,x2∈R(注: ? 表示“任意” ) ,恒有 f(x1) ·f(x2)=f(x1+x2)成立,且 f (1)= 2 ,则 f(6)=( )A.2 2 B .4 C. 2 D.8 )

7.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=( A.
1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

2 4

8.在同一坐标系中,函数 y=2-x 与 y=log2x 的图象是(



1

?2 ? x ? 1( x ? 0), ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( 2 ? ? x ( x ? 0).



A. (-1,1) C. (-1,+∞)

B. (-∞,-2)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) )

10.已知 0<m<n<1,则 a=logm(m+1)与 b=logn(n+1)的大小关系是( A.a>b B.a=bf C.a<b D.不能确定 )

11.设函数 F(x)=f(x)-

1 ,其中 x-log2f(x)=0,则函数 F(x)是( f ( x)

A.奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数 C.偶函数且在(-∞,+∞)上是增函数

B.奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数 f(x) 在区间(1,+ x

12.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 ∞)上 A.有两个零点 B.有一个零点 C.无零点 D.无法确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知对数函数 C1:y=logax,C2:y=logbx,如图所示,则 a、b 的大小是__________.

14.函数 y ? log0.5 (4 x ? 3) 的定义域是__________. 15.(1)计算:log2.56.25+lg
? 1

1 +ln e + 21?log2 3 = 100



(2).0.027 3 -(- )-2+256 4 -3-1+(2-1)0=________. 16. 已 知

1 7

3

f(ex)=x , 则

f(5) 等 于 _________________

log8 9 log2 3

的 值 是

__________________________ 三、解答题
2

17.已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f (loga x)(a ? 0且a ? 1) , x ? ? ? a,
? 1? ,试求 g ( x) 的值域. a? ?

19.已知函数 f(x)=loga (1)求 m 的值;

1 ? mx (a>0,a≠1)是奇函数. x ?1

(2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.

21.设函数 f ( x) 对于 x、y∈R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x<0 时, f ( x) <0, f (?1) ? ?2 . (1)求证:函数 f ( x) 是奇函数; (2)试问 f ( x) 在 x ?[?4, 4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由. (3)解关于 x 的不等式 f (bx 2 ) ? f ( x) ?
1 2 1 f (b 2 x) ? f (b) ( b ? 0 ). 2

21.设函数 f ( x) ? a ?

2 .(1)证明:不论 a 为何实数函数 f ( x) 总为增函数; 2 ?1
x

(2)当 f ( x) 为奇函数时,求函数 f ( x) 的值域。

22.已知函数 f ( x) ? 8a ? 4x?1 ? 2x ?1 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ???3,0? 的最值及取最值时对应的 x 取值; (2)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围。
3

0) 23.已知函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) , B( ? 1, ,且函数 h( x) ? 2 p x (p>0)与

函数 f ( x) ? m x ? n 的图像只有一个交点. (1)求函数 f ( x) 与 h( x) 的解析式; (2)设函数 F(x) ? f (x) ? h(x) ,求 F( x ) 的最小值与单调区间; (3)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log4 [f (x ? 1) ? 1] ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) .

答案: 1.A 2.D 3.A 4 .B
3 4

5 .A

6.D

7.D

8.A

9.D 16.3

10.A

11.A

12.C

13.a>b>1 三、解答题

14.{x| <x≤}

15.9n(n∈Z)

17.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1
? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2ax ? a ? b ? 2 x

?2a ? 2 ?? ? a ? 1, b ? ?1 ?a ? b ? 0

? f ( x) ? x2 ? x ? 1

(2) Q f ( x) ? x2 ? x ? 1
? 1? ? g ( x) ? f (loga x) ? (loga x)2 ? loga x ?1, x ? ? a, ? ? a?

令 t ? loga x ,原函数化为 y ? t 2 ? t ? 1,
Qa? x?
1 1 又a ? 0且a ? 1? a ? 即0 ? a ? 1 , a a

1? ? t ? loga x 在 ? ? a, ? 上单减,??1 ? t ? 1 , ? a?

又对称轴 t ?

1 2

1 3 ? t ? 时,ymin ? ,?t ? ?1时,ymax ? 3 ,? g ( x) 的值域为 ? 3 ,3? 。 ? 2 4 ?4 ? ?
4

18.(1)当 t=0 时,y=5;当 t=20 时,y=5e-4≈0.091 6 (2)y15e-0.2t,y2=5e-0.5t,∴
y1 ? e 0.3t ? 1 ∴y1>y2,则药品 B 在人体内衰减得快 y2

1 ? mx 1 ? mx =-loga (对 ? x∈R 恒成立) ? m=-1 ? x ?1 x ?1 x ?1 2 (2)∵f(x)=loga (x<-1 或 x>1) ,∴f(x)=loga(1+ ) ,∴(i)当 0<a<1 时, x ?1 x ?1

19.(1)∵f(x)为奇函数, ∴loga

f(x)在(1,+∞)上是增函数; (ii)当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数
? 2x ,0 ? x ? 1, ?? 1? 4x ? 20.(1) f ( x) ? ? ?0, x ? 0, ? 2x ? ,?1 ? x ? 0 ? ?4x ?1

(2)设-1<x1<x2<0,则 f(x1)-f(x2)=
2 x2 ? 2 x1 ? 0 ,∴f(x1)-f(x2)<0,即

(2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2 x1 ) ,∵ (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

x1<x2<0,∴ 2 x ? x ? 1 ? 0 ,
1 2

f(x1)<f(x2) ,所以,f(x)在(-1,0)上是

增函数 191)∵对 ? x1,x2∈(-1,1)时,f(x1)+f(x2)= f ( (0)=0,∴对于 ? x∈(-1,1) ,f(x)+f(-x)= f (
x1 ? x2 ) 都成立, ∴令 x1=x2=0,得 f 1 ? x1 x2

x-x ) =0,所以对于 ? x∈(-1,1) , 1? x2

有 f(-x)=-f(x) ,所以 f(x)在(-1,1)上是奇函数 (2)设 0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)= f ( -1<
x1 ? x2 ) ,因 0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,∴ 1 ? x1 x2

x1 ? x2 <0,则 f(x1)>f(x2) ,∴f(x)在(0,1)上是减函数 1 ? x1 x 2

21.解: (1)证明:令 x=y=0,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ,从而 f (0) ? 0 令 y ? ? x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0 , 从而 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是奇函数. ?? 4 分

(2)设 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,
5

又 f ( x1 ? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ∴当 x ?[?4, 4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,∴ f (1) ? 2 ∴当 x ? ?4 时, f ( x)min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ; 当 x ? 4 时, f ( x)max ?
2
f (4) ? 4 f (1) ? 8 .

?? 9 分

(3)由已知得 1 [ f (bx2 ) ? f (b2 x)] ? f ( x) ? f (b) . ∴ f (bx 2 ? b 2 x) ? f ( x ? b) . ∴ f (bx2 ? b2 x) ? 2 f ( x ? b) ,即 f (bx2 ? b2 x) ? f (2x ? 2b) . ∵ f ( x) 为 R 上增函数,∴ bx2 ? b2 x ? 2 x ? 2b . ∴ bx2 ? (b2 ? 2) x ? 2b ? 0 ∴ (bx ? 2)(x ? b) ? 0 .
1 2

当 b=0 时, ? 2 x ? 0 ,∴不等式的解集为 ?x x < 0?. 当 b<0 时, (?bx ? 2)(x ? b) ? 0 . ① 当 ? 2 ? b ? 0 时,不等式的解集为 ?x ②当 b ? ? 2 时,不等式的解集为 ? . ③当 b ? ? 2 时,不等式的解集为
1 8

2 ? x ? b ?. b

?x

b?x?

2 b

?.

22.(1)当 a ? 1 时 f ( x) ? 2 ? 4x ? 2x ?1 ? 2 ? (2x )2 ? 2x ?1??????1 分 令 t ? 2x , x ?[?3,0], 则 t ? [ ,1] 故 y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? , t ? [ ,1] ?????????????..3 分 ∴当 t ? 时,即 x ? ?2 时 当 t ? 1 时,即 x ? 0 时
1 4

1 4

9 8

1 8

9 ymin ? ? ????????????4 分 8

ym a n ? 0 ????????????5 分
1 2

(2) 2 ? (2x )2 ? 2x ?1 ? 0 解得 2x ? 1 或 2 x ? ? (舍)???????..7 分
6

∴ {x | x ? 0} ????????????????????????8 分 (3)关于 x 的方程 2a(2x )2 ? 2x ?1 ? 0 有解,等价于方程 2at 2 ? t ?1 ? 0 在
t ? (0, ??) 上有解。 记 g (t ) ? 2at 2 ? t ? 1, ???????????..9 分

当 a =0 时,解为 t ? ?1 ? 0 不成立;?????????????10 分 当 a <0 时,开口向下,对称轴 x ? 当 a >0 时,开口向上,对称轴 x ?
1 ? 0 ,过点 (0, ?1) 不成立;?..12 分 4a 1 ? 0 ,过点 (0, ?1) 必有一根为正,符合要求。 4a

故 a 的取值范围为 (0, ??) ??????????????????.14 分 23.解: (1)由函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) ,B(-1,0) , 得 m ? n ? 2 , - m ? n ? 0 ,解得 m ? n ? 1 ,从而 f ( x) ? x ? 1 . ??2 分 由函数 h( x) ? 2 p x (p>0)与函数 f ( x) ? x ? 1 的图像只有一个交点, 得 x - 2 p x ? 1 ? 0 , ? ? 4 p 2 ? 4 ? 0 ,又 p ? 0 ,从而 p ? 1 , . ? h( x) ? x (x≥0) (2) F( x ) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ?
1 2 1 4

??4 分
1 2 3 4

(x≥0).
3 4

当 x ? ,即 x ? 时, F( x ) min ? .
F( x ) 在 [0,
1 1 ] 为减函数,在 [ , ? ?] 为增函数. 4 4

??6 分 ??8 分

(3)原方程可化为 log4 (x ? 1) ? log2 a ? x ? log2 4 ? x , 即 log 2 a ? x ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 4 ? x ? log 2 ? x ? 1 ? 4 ? x ? .
1 2

?

?x ? 1 ? 0 ?4 ? x ? 0 ? ? ?a ? x ? 0 ? ?a ? x ? ( x ? 1)(4 ? x )

?

?1 ? x ? 4 ? . ?x ? a ?a ? ?( x ? 3) 2 ? 5 ?

??10 分

令 y ? ?(x ? 3) 2 ? 5 ,y=a.
y

5
4
7

O

如图所示, ①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有两解 x1 ? 3 ? 5 ? a , x 2 ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a=5 时,原方程有一解 x=3; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解. ??14 分

8


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