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合情推理演绎推理(带答案)


合情推理
1:与代数式有关的推理问题
a 2 ? b 2 ? ? a ? b ?? a ? b ? ,
例 1、观察 a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b
3 3 2

a 4 ? b4

? ? ?a ? b? ?a
3

2

?

进而猜想 a

n

? bn ?

3

? a 2b ? ab 2 ? b3 ?

练习:观察下列等式:1

? 23 ? 32 ,13 ? 23 ? 33 ? 62 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,?,根据上述规律,第五个 ...

等式 为 。 .. 解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1+2+...+(i+1)的平方所以第五个 ...
3 3 3 3 3 3 2 等式 为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21 。 ..

2:与三角函数有关的推理问题
例 1、观察下列等式,猜想一个一般性的结论。
3 , 2 3 sin 2 600 ? sin 2 1200 ? sin 2 1800 ? 2 3 2 0 2 0 2 0 sin 45 ? sin 105 ? sin 165 ? , 2 3 sin 2 150 ? sin 2 750 ? sin 2 1350 ? 2 sin 2 300 ? sin 2 900 ? sin 2 1500 ?

练习:观察下列等式: ① ② ③ ④ ⑤ cos2α =2 cos α -1; 4 2 cos 4α =8 cos α -8 cos α +1; 6 4 2 cos 6α =32 cos α -48 cos α +18 cos α -1; 8 6 4 2 cos 8α = 128 cos α -256cos α +160 cos α -32 cos α +1; 10 8 6 4 2 cos 10α =mcos α -1280 cos α +1120cos α +ncos α +p cos α -1; .
2

可以推测,m-n+p= 答案:962

3:与不等式有关的推理
例 1、观察下列式子:

1?

1 3 1 1 5 1? 1 ? 1 ? 1 ? 7 , ? 1 ? ? ? , 22 32 42 4 , 22 2 22 32 3
............. 1 1 1 2n ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ...... ? , 2 答案: 2 3 (n ? 1) n ?1

由上可得出一般的结论为:



练习、由

3 3 ?1 4 4 ?1 5 5 ?1 。 。 。 。 。 。可猜想到一个一般性的结论是: ? , ? , ? 2 2 ?1 3 3 ?1 4 4 ?1
1



4:与数列有关的推理
例 1、已知数列 {an } 中, a1 =1,当 n≥2 时, an ? 2an?1 ? 1 ,依次计算数列的后几项,猜想数列的一个通 项表达式为: 例 2、 (2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 例 3、 (2010 深圳模拟)图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f ( n) 个“福娃迎迎” ,则 。

??????

f (5) ?

; f (n) ? f (n ? 1) ?

.

例 4、等差数列 {an } 中,若 a10 = 0 则等式 a1 ? a2 ? ........... ? an 立,类比上述性质,相应的,在等比数列中,若 b10 练习:设等差数列 ?an ? 前 n 项和为 s n ,则 s3 , s6 上结论:设等比数列 ?bn ? 前 n 项积为 Tn ,则 T3 ,

? a1 ? a2 ? ........... ? a19?n (n ? 19, n ? N ? ) 成
。 成等差数列。类比以

? 1 ,则有等式

? s3 ,s9 ?s6 ,s12 ?s9
, ,

T12 , 成等比数列。 T9

6:与立体几何有关的推理
例 1、在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值” ,那么在正四面体中类似 的命题是什么?

2

合情推理练习题
一、选择题 1.下列表述正确的是 ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 2.数列 2,5,11, 20, x, 47, ?中的 x 等于( ) D.27

(

)

A.28 B.32 C.33 3.下面使用类比推理恰当的是 ( ) A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” a+b a b B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c =c+c ” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c =c+c (c≠0)” D.“ ? ab ? ? a n b n ”类推出“ ? a ? b ? ? a n ? b n ”
n n

b+m b 7 5 9 8 13 9 4.由10>8,11>10,25>21,…若 a>b>0 且 m>0,则 与 之间大小关系为( a+m a A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定 5.将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为( ) 1 3 9 19 ? A.809 B.852 5 11 21 7 13 23 ? 15 25 17 27 ? C.786 D.893 29 31

)

6.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? 1, S n ? n 2 an n ? N * ,试归纳猜想出 S n 的表达式为(
2n n ?1 二、填空题



A、

B、

2n ? 1 n ?1

C、

2n ? 1 n ?1

D、

2n n?2

3 , 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? , 2 3 2 ? sin 1 ? 8 s2 i n ? ? 78 2 si? n? 1, 38 2 通过观察上述等式的规律,写出一般性的命题:_______________________

1.已知: sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ?

2.(2012· 陕西高考)观察下列不等式
3

1 3 1+22<2,

1 1 5 1+22+32<3,

1 1 1 7 1+22+32+42<4

??

照此规律,第五个不等式为____________________________________. 3.(2011· 陕西高考)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为____________________. 4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍): 则第 9 行第 4 个数是 ________ 第1行 第2行 第3行 ? 三、解答题 1.(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式. 2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且 a1=2, 公和为 5. (1)求 a18 的值;
(2)求该数列的前 n 项和 Sn.

1 2 4 ? 3 5 6 7

演绎推理
4

1.定义 根据一般性的真命题或逻辑规则,导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理.即从一 般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理形式. 它的特征是:当前提为真时,结论必然为真. 2.三段论:“三段论”是演绎推理的一般模式 (1)三段论的结构:①大前提—已知的一般原理;②小前提—所研究的特殊情况;③结论 —根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)“三段论”的表示:①大前提—M 是 P;②小前提—S 是 M;③结论—S 是 P. (3)三段论的依据:用集合观点来看就是:①若集合 M 的所有元素都具有性质 P,②S 是 M 的一个子集;③那么 S 中所有元素也都具有性质 P. 想一想:(1)“三段论”就是演绎推理吗? (2)在演绎推理中,如果大前提正确,那么结论一定正确吗?为什么? (3)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以 上推理中, “三段论”中的________是错误的. (1)解析:不是.三段论是演绎推理的一般模式. (2)解析:不一定正确.只有大前提和小前提及推理形式都正确,其结论才是正确的. (3)解析:小前提错误,因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数. 1.有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于 0,因为 a∈R,所以 a2>0” ,结论显然是 错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误

大前提:任何实数的平方大于 0 是不正确的. 2.在“△ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 的中点,则 EF∥BC”的推理过程中,大前提是( A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边长的一半 C.E,F 为 AB,AC 的中点 D.EF∥BC 【解析】选 A.本题的推理形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理. 3.下面是一段“三段论”推理过程:若函数 f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b)内, f′(x)>0 恒成立.因为 f(x)=x3 在(-1, 1)内可导且单调递增, 所以在(-1, 1)内, f′(x)=3x2>0 恒成立.以上推理中( )[来源:]
5

)

A.大前提错误 C.结论正确

B.小前提错误 D.推理形式错误

【解析】选 A.因为对于可导函数 f(x),f(x)在区间(a,b)上是增函数,f′(x)>0 对 x∈(a, b)恒成立,应该是 f′(x)≥0 对 x∈(a,b)恒成立,所以大前提错误. 4.以下推理过程省略的大前提为: 因为 a2+b2≥2ab, 所以 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab. 【解析】由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了 a2+b2,故大前提为:若 a≥b, 则 a+c≥b+c. 答案:若 a≥b,则 a+c≥b+c 5. “π 是无限不循环小数,所以π 是无理数”以上推理的大前提是( A.实数分为有理数和无理数 C.无理数都是无限不循环小数 B.π 不是有理数 D.有理数都是有限循环小数 ) .

【解析】选 C.用三段论推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是 无限不循环小数,π是无限不循环小数,所以π是无理数,故大前提是无理数都是无限不循 环小数. 6.因为中国的大学分布在全国各地,?大前提 北京大学是中国的大学?小前提 所以北京大学分布在全国各地.?结论 (1)上面的推理形式正确吗?为什么? (2)推理的结论正确吗?为什么? 【解析】(1)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大学”它表示中国的所有大学,而小前 提中 M 虽然也是“中国的大学” ,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理 形式错误. (2)由于推理形式错误,故推理的结论错误. 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an=3-2Sn(n∈N*). (1)求 a1,a2,a3,a4 的值并猜想 an 的表达式. (2)若猜想的结论正确,用三段论证明数列{an}是等比数列. 【解析】(1)因为 an=3-2Sn,所以 a1=3-2S1=3-2a1,解得 a1=1, 同理 a2= ,a3= ,a4= ,…猜想 an= .
6

(2)大前提:数列{an},若 小前提:由 an= ,又

=q,q 是非零常数,则数列{an}是等比数列. = ,结论:数列{an}是等比数列.

合情推理 一、

随堂练习答案
2 ? 2

选择题 1—5:DBCBA
2 ?

6: A

填空题 1. sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?

3 . 2

1 1 1 1 1 11 2. 答案:1+22+32+42+52+62< 6 解析:观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的 2 倍减 1 的 1 1 1 1 差除以项数,即 1+22+32+42+52+?+
7

?

1

? n ? 1?

2

?

2 n? 1 (n∈N*,n≥2),所以 n ?1

1 1 1 1 1 11 第五个不等式为 1+22+32+42+52+62< 6 . 3. n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 解析:每行最左侧数分别为 1、2、3、?,所以第 n 行最左侧的数为 n; 每行数的个数分别为 1、3、5、?,则第 n 行的个数为 2n-1. 所以第 n 行数依次是 n、n+1、n+2、?、3n-2.其和为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2) =(2n-1)2. 4.259 三、解答题 1. 解:(1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1-2sin 30° =1-4=4. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)=4. 2.解:(1)由等和数列的定义,数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5, a2n=3(n=1,2?),故 a18=3. 5 (2)当 n 为偶数时,Sn=a1+a2+?+an=(a1+a3+?+an-1)+(a2+a4+?+an)=2n; 5 5 1 当 n 为奇数时,Sn=Sn-1+an=2(n-1)+2=2n-2.
5 ? ?2n,n为偶数, 综上所述:S =? 5 1 ? ?2n-2,n为奇数.
n

易知 a2n-1=2,

8


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