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北京市昌平区2014年高三数学二模(理科)试卷(word版)含答案


昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习

数 学 试 卷(理 科)
考生须知:
1. 2. 3.

2014.4

4. 5.

本试卷共 6 页,分第Ⅰ 卷选择题和第Ⅱ 卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时 可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题 区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。 不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

( D( X ) ? ( x1 ? E( x))2 p1 ? ( x2 ? E( x))2 p2 ? L ? ( xn ? E( x))2 pn )
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.)
(1) 已知集合 A ? {x 2x ? 1 ? 3} , B ? {x x ? 4}
2

, 则 AUB ? (D) {x x ? 2}

(A) {x ? 2 ? x ? 1}

(B) {x x ? 2}

(C) {x ? 2 ? x ? 1}

(2) “ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3) 设 a ? 40.1, b ? log3 0.1, c ? 0.50.1 ,则 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c
2

(C) a ? c ? b

(D) b ? c ? a

(4) ( x ? 2)6 的展开式中 x 的系数是 (A) ?120 (B) 120 (C) ?60 (D) 60

(5) 在 ?ABC 中, BC ? 2 3, AC ? 2 , S?ABC ? 6 ,则 ?C 等于 (A)

? 4

(B)

? 3

(C)

? 3? 或 4 4

(D)

? 2? 或 3 3

(6) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A) 12 (B) 36 24 (C) (D) 72

4 6 3
左视图 左视图

主视图 主视图

(7) 如图, AB 是半圆 O 的直径,C , D 是弧 AB 的三等分点, 的三等分点,若 OA ? 6 ,则 MD ? NC 的值是 (A) 2 (B) 10 (C) 26 (D) 28

M , N 是线段 AB

uuu r uuu r

?1 ? ? 1, (8)已知 f ( x) ? ? x ? ?ln x,

x ? 1, 0 ? x ?1

,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? k 只有一个零点,则 k 的取值范围是

(A) ( ??, ?1) U (1, ??)

(B) (?1,1)

(C) [0,1] (D) ( ??, ?1] U[0,1]

第二卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 1 (9) 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an (n ? N*) ,则 a4 ? _______ . 2
(10)圆 C : ? ? 2sin ? 的圆心到直线 l : ? sin ? ? ?2 的距离为_________ . (11)如图,已知 e O 中,弦 BC ? 2 3 , BD 为 e O 直径. 线 , 交 BD 的 延 长 线 于 点 A , ?ABC ? 30? . 则 过点 C 作 e O 的切

AD ? ____ .

(12)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F (2, 0) ,则
2

p ? ________,

过点 A(3, 2) 向其准线作垂线,记与抛物线的交点为 E ,则 EF ? _____. (13)选派 5 名学生参加四项环保志愿活动,要求每项活动至少有一人参加,则不同的选派方法共有_____种 .

M ,则 ?AMB ? 90 的概率 (14) 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,在四边形 ABC1D 1 内随机取一点
为_______ , ?AMB ? 135 的概率为_______.
?

?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

(15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? cos2 x ? sin x ? 1,( x ? R) .

7? ) 的值; 6 ? 2? ] 时,求 f ( x) 的取值范围. (Ⅱ)当 x ? [ ? , 6 3
(Ⅰ)求 f ( (16)(本小题满分 13 分) 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照题目要求独 立完成.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不 能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是

2 ,且每题正确完成与否互不影响. 3

(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大?

(17)(本小题满分 14 分) 已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2, AA 1 ? 4. (Ⅰ)求证: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值;

? 平面 (Ⅲ)在线段 CC1 上是否存在点 P ,使得平面 ACD 1 1
求出

PBD ,若存在,

CP 的值;若不存在,请说明理由. PC1

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ln x , (a ? 0) . (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )当 a ? 0 时,若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 3ax ?1 成立,求 a 的取值范围.

(19)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 B(0, 3) 为短轴的一个端点, ?OF2 B ? 60? . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 如图, 过右焦点 F2 , 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 线

E , F 两点, A 为椭圆的右顶点,直线 AE, AF 分别交直
线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的斜率为 k ' . M,N , 求证: k ? k ' 为定值.

x?3 于 点

(20)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,记 A(n) ? a1 ? a2 ? L ? an , B(n) ? a2 ? a3 ? L ? an?1 ,

C(n) ? a3 ? a4 ? L ? an?2 , n ? 1, 2,L .
(Ⅰ)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列,求数列 {an } 的通项公式.
*

(Ⅱ)证明:数列 {an } 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组
*

成公比为 q 的等比数列.

昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科)参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.)
题 号 答 案 (1) B (2) A (3) C (4) D (5) C (6) A (7) C (8) D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 1 (9) (10) 3 8 5 (11) 2 (12) 4 ; 2
(13) 240 (第一空 2 分,第二空 3 分) (14)

2? 2? ? 2 2 ; 16 16

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? cos2 x ? sin x ? 1

? 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 ? ? sin 2 x ? sin x
1 1 ? ?(sin x ? ) 2 ? , 2 4 7? 7? 1 2 1 1 1 1 3 ) ? ?(sin ? ) ? ? ?( ? ? ) 2 ? ? ? 所以 f ( 6 6 2 4 2 2 4 4
(或 f (

???1 分

???3 分 . ???6 分

7? 3 1 3 ) ? (? ) 2 ? ? 1 ? ? 6 2 2 4

???3 分)

(Ⅱ)因为 x ? [ ?

] 3 1 所以 sin x ? [ ? ,1] . 2 1 1 所以 sin x ? ? [ ?1, ] . 2 2 1 2 所以 (sin x ? ) ? [0,1] . 2 1 2 所以 ?(sin x ? ) ? [ ?1, 0] . 2 1 2 1 3 1 所以 ?(sin x ? ) ? ? [ ? , ] . 2 4 4 4 6

? 2?
,

???8 分

???10 分

???12 分

所以 f ( x ) 的取值范围为 [?

3 1 , ]. 4 4

???13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为 ? , 则 ? 的取值分别为 1, 2,3 . ???1 分

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C2 1 ? ; 3 C6 5 2 1 C4 C2 3 ? ; 3 C6 5 3 0 C4 C2 1 ? ; 3 C6 5

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

???3 分

考生甲正确完成题数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 5 5 5
设乙正确完成面试的题数为 ? ,则? 取值分别为 0,1, 2,3 .

??????4 分 ??????5 分

1 0 1 3 ( ) ? P(? ? 0) ? C3 ; 3 27 6 1 2 1 1 2 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 3 3 27 12 2 2 2 1 P(? ? 2) ? C3 ( ) ( )? , 3 3 27 8 3 2 3 P(? ? 3) ? C3 ( ) ? . 3 27 考生乙正确完成题数? 的分布列为:

??????7 分

?
P

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2. ??????8 分 27 27 27 27 1 3 1 2 2 2 2 (Ⅱ)因为 D? ? (1 ? 2) ? ? (2 ? 2) ? ? (3 ? 2) ? ? , ?????10 分 5 5 5 5 1 6 12 8 2 D? ? (0 ? 2) 2 ? ? (1 ? 2) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (3 ? 2) 2 ? ? . ??12 分 27 27 27 27 3 E? ? 0 ?

(或 D? ? npq ? 所以 D? ? D? . (或:因为 P (? ? 2) ?

2 ). 3

3 1 12 8 ? ? 0.8 , P(? ? 2) ? ? ? 0.74 , 5 5 27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2) . ) 综上所述, 从做对题数的数学期望考查,两人水平相当; 从做对题数的方差考查,甲较稳定; 从至少完成 2 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. (说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.) ?????13 分

(17)(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正四棱柱, 所以 AA1 ? 平面 ABCD ,且 ABCD 为正方形. 因为 BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? AA1 , BD ? AC . 因为 AA1 ???2 分 ???1 分

AC ? A ,
???3 分

所以 BD ? 平面 A 1 AC . 因为 AC ? 平面 A1 AC , 1 所以 BD ? AC 1 . (Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .则

???4 分

D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A1(2,0,4), B1 (2,2,4), C1 (0, 2, 4), D1 (0,0, 4)
???5 分

所以 D1 A1 ? (2,0,0), D1C ? (0,2, ?4) . 设平面 A1D1C 的法向量 n ? ( x1 , y1 , z1 ) .

uuuu r

uuur

uuuu r ? ? x1 ? 0, ?n ? D1 A1 ? 0, 所以 ? uuur .即 ? ??6 分 2 y1 ? 4 z1 ? 0 ? n ? D C ? 0 ? ? 1
令 z1 ? 1,则 y1 ? 2 .

所以 n ? (0, 2,1) . 由 ( Ⅰ ) 可 知 平 面

AA1C











uuu r DB ? (2,2,0) .
所以 cos ? DB, n ??

??7 分

uuu r

4 10 . ? 5 5 ?2 2

??8 分

因为二面角 A ? AC 1 ?D 1 为钝二面角, 所以二面角 A ? AC 1 ?D 1 的余弦值为 ?

10 . 5

???9 分

(Ⅲ)设 P( x2 , y2 , z2 ) 为线段 CC1 上一点,且 CP ? ? PC1 (0 ? ? ? 1) . 因为 CP ? ( x2 , y2 ? 2, z2 ), PC1 ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 所以 ( x2 , y2 ? 2, z2 ) ? ? (? x2 , 2 ? y2 , 4 ? z2 ) . 即 x2 ? 0, y2 ? 2, z2 ? 所以 P(0, 2,

uur

uuu r

uur

uuu r

???10 分

4? ). 1? ?

4? . 1? ?

???11 分

设平面 PBD 的法向量 m ? ( x3 , y3 , z3 ) . 因为 DP ? (0, 2,

uuu r

r 4? uuu ), DB ? (2, 2, 0) , 1? ?

uuu r 4? ? ? z3 ? 0, ?m ? DP ? 0, ?2 y3 ? 所以 ? .即 ? . 1? ? uuu r m ? DB ? 0 ? ? ? ?2 x3 ? 2 y3 ? 0
令 y3 ? 1 ,则 x3 ? ?1, z3 ? ? 所以 m ? (?1,1, ?

???12 分

1? ? ). 2?

1? ? . 2?
???13 分

? 平面 PBD ,则 m ? n ? 0 . 若平面 ACD 1 1
即2?

1? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? . 2? 3

所以当

CP 1 ? 平面 PBD . ? 时,平面 ACD 1 1 PC1 3

???14 分

(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . ????? 1 分

因为 f '( x) ? a ln x ? a ? a(ln x ? 1) , 令 f '( x) ? 0 ,解得 x ?

????? 2 分 ????? 3 分

1 . e

①当 a ? 0 时, 随着 x 变化时, f ( x ) 和 f '( x) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)
1 e

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?


0

?


即函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增.

1 e

????? 5 分

②当 a ? 0 时, 随着 x 变化时, f ( x ) 和 f '( x) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)
1 e

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?


0

?


即函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减. ????? 7 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 3ax ? 1 成立, 即 ax ln x ? 3ax ? 1 . 所以 ax ln x ? 3ax ? 1 ? 0 . 设 g ( x) ? ax ln x ? 3ax ? 1 . 因为 g '( x) ? a ln x ? a ? 3a ? a(ln x ? 2) , 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? e .
2

1 e

????? 8 分 ????? 9 分

因为 a ? 0 , 所以随着 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x )
g ( x)
2

(0, e2 )

e2
0

(e2 , ??)

?

2

?


即函数 g ( x) 在 (0, e ) 上单调递增,在 (e , ??) 上单调递减. 所以 gmax ( x) ? g (e ) ? ae ln e ? 3ae ?1 ? ?ae ?1 .
2 2 2 2 2

????? 10 分 ????? 11 分

所以 ?ae ? 1 ? 0 .
2

所以 a ? ?

1 . e2

????? 12 分

所以 a 的取值范围为 ( ? 法二:

1 , 0) . e2

???13 分

当 a ? 0 时,对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 3ax ? 1 成立, 即 ax ln x ? 3ax ? 1 . 所以 a( x ln x ? 3x) ? 1 . 即

1 ? x ln x ? 3 x . a

????? 8 分

设 g ( x) ? x ln x ? 3x . 因为 g '( x) ? ln x ? 2 , 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? e .
2

????? 9 分

所以随着 x 变化时, g ( x) 和 g '( x ) 的变化情况如下:

x
g '( x )

(0, e2 )

e2

(e2 , ??)

?


0

?


g ( x)

即函数 g ( x) 在 (0, e2 ) 上单调递减,在 (e2 , ??) 上单调递增. 所以 gmin ( x) ? g (e 2 ) ? e 2 ln e 2 ? 3e 2 ? ?e 2 .

????? 10 分 ????? 11 分

1 ? ?e 2 . a 1 所以 a ? ? 2 . e
所以 所以 a 的取值范围为 ( ?

????? 12 分

1 , 0) . e2

???13 分

(19)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由条件可知 a ? 2, b ? 3 , ????2 分

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????4 分

(Ⅱ)设过点 F2 (1,0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .

????5 分

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ? ? 1 ? 3 ?4

????6 分

因为点 F2 (1,0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立.

设点 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

????8 分

因为直线 AE 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) , x1 ? 2 y2 ( x ? 2) , x2 ? 2
???9 分

直线 AF 的方程为: y ?

令 x ? 3 ,可得 M (3,

y1 y ) , N (3, 2 ) , x1 ? 2 x2 ? 2
???10 分

所以点 P 的坐标 (3,

y 1 y1 ( ? 2 )) . 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 3 ?1

y 1 y ? ( 1 ? 2 ) 4 x1 ? 2 x2 ? 2 ? 1 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
????12 分

1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1 ? ? 4
??
所以 k ? k ? 为定值 ?

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 12 8k 2 ? 2 ? ?4 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 4k
????13 分

3 . 4

(20)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列, 所以 B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n) . 所以 an?1 ? a1 ? an?2 ? a2 , 即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4 . ???1 分 ???2 分 ???3 分
?

所以数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列. 所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3 .
?

???4 分 ???5 分

(Ⅱ) (1)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列,则

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) .
所以 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即 an?2 ? qan?1 ? a2 ? qa1 . 因为当 n ? 1 时,由 B(1) ? qA(1), 可得 a2 ? qa1 , 所以 an?2 ? qan?1 ? 0 . 因为 an ? 0 , 所以

???6 分

???7 分 ???8 分

an ? 2 a2 ? ?q. an ?1 a1
???9 分
?

即数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,

(2)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有

an?1 ? an q .
因为 an ? 0 , 所以 A(n), B(n), C (n) 均大于 0 .于是

???10 分

B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


???11 分

???12 分

B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
???13 分

综 上 所 述 , 数 列 ?an ? 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 : 对 任 意 n ∈ N ﹡ , 三 个 数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

???14 分

【各题若有其它解法,请酌情给分】


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