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2013-2014学年第一学期宝安区期末文科数学调研测试卷


2013-2014学年高二第二学期测试卷文科数学2014.3
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为(
2

)

A. ?x | x ? ?3或x ? 1? C. ?x | ?1 ? x ? 3?

B. ?x | ?3 ? x ? 1? D. ?x | x ? ?1或x ? 3? )

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 且an?1 ? an ? 3, (n ? N * ) ,则 a2014 =( A. 6043 3.已知函数 y ? A. ? 1

1 ? x ? cos x ,则该函数在 x ? 处的切线的斜率为( 2 6 1 B. 0 C. 1 D. 10

B. 6042

C. 6041

D. 6040 )

4.在 ?ABC 中 a, b, c分别为三内角 A, B, C所对的边,若 A ? 60?, a ? 3 ,则 A. 2 B.

b?c =( ) sin B ? sin C

1 2

C. 3

D.

3 2


2 2 5.方程 ( x ? 2) ? y ?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 化简结果是(
B.

A.

x2 y2 ? ?1 25 16 x2 y2 ? ?1 25 4

x2 y2 ? ?1 25 21 y2 x2 ? ?1 25 21

C.

D.

6. 在 ?ABC 中 a, b, c分别为三内角 则 角C 等于( ) A, B, C所对的边,若 b ? 3, c ? 3 3, A ? 30? , A. 30 ?
2

B. 120 ?
3

C. 60 ? )

D. 150 ?

7.等比数列 1, a, a , a ,?(a ? 0) 的前 n 项和为 S n = (

1? an A. 1? a

1 ? a n ?1 B. 1? a

? 1? an ? C. ? 1 ? a ? ?n

(a ? 1) (a ? 1)

? 1 ? a n ?1 ? D. ? 1 ? a ? ?n

(a ? 1) (a ? 1)


x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”,则甲是乙的( 8.条件甲:“ a ? b ? 0 ”,条件乙:“方程 a b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

第 1 页 共 6 页

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.已知椭圆的焦点是 F1 , F2 , P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1 P 到 Q ,使得 | PQ |?| PF2 | ,那 么动点 Q 的轨迹是( A.椭圆 ) B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆 ) D.

10.已知 数列?a n ?满足 a1 ? 1且(n ? 2)an?1 ? nan ,则 a10 的值为( A. 110 B.

1 110

C. 55

1 55

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11.命题 P :“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”,则命题 ? P 为: 12.函数 f ( x ) ?

ln x 的单调增区间 x

13.椭圆

x2 y2 3 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 ,则 a 的值为 2 9 3 a

? x ? y ? 1≥ 0, ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是_____ ? x ≤ 0, ?
2

___

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 15.(12 分)不等式 mx ? mx ? m ? 2 ? 0 的解集为全体实数,求 m 的取值范围。

16.(12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 ,

1 cos A ? ? .求角 B 的大小. 2

17.(14 分)在等比数列 ?an ? 中,已知 S 3 ? (1)求 ?an ? 的通项公式 an (2)若设 bn ?

7 63 , S6 ? 2 2

n ,且记 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,试求 T99 的值. 8an
第 2 页 共 6 页

18.(14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? (1)求 a , b 的值 (2)函数 f ( x) 单调区间.

1 1 ? b(a ? 0) 在点 x ? 时取得极值 3 ax 2

19.(14 分)某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足函数关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式

k ? ? 5, (0 ? x ? 6) ?3x ? S ?? x ?8 ? ( x ? 6) ?14,
已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

20. (14 分) 已知椭圆 C1 : 和 N (e,

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 且点 M (1, e) a2 b2

3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 都相切?若存在,求出该直线 l 的方程;
2

若不存在,说明理由.
第 3 页 共 6 页

2013-2014学年高二第二学期测试卷 文科数学参考答案
一、选择题 B D C A B 二、填空题 B C C D D

11. ?x0 ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

12. (0, e) 13. 6 或

54 2

14. 1

三、解答题 15 解:当 m ? 0 时,不等式恒成立(2 分) 当 m ? 0 时,要不等式解集为 R,必须 ? ? 解得: m ? 0 所以 m ? 0 (12 分) 16、解:由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

?m ? 0
2 ? m ? 4 m ( m ? 2) ? 0

(10 分)

??2 分

知: (2 3 ) ? 2 ? c ? 2 ? 2c ? (? )
2 2 2

1 2

???4 分

得 c ? 2 ?6 分 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 3 (2 3 ) 2 ? 4 2 ? 2 2 ?8 分 ? = 2ac 2 2? 2 3 ? 4

?10 分

?0 ? B ? ?

?B ?

?
6

?12 分

17、解:(1)若 q ? 1, 则S 6 ? 2S 3 ,不合题意,故 q ? 1 ???????1 分

? a1 (1 ? q 3 ) 7 ? q?2 ? S3 ? ? ? ? 1? q 2 由题意 ? ????3 分 得 ? 1 6 a1 ? ?S 6 ? a1 (1 ? q ) ? 63 ? 2 ? ? 1? q 2 ?

?5 分

an ? 2n?2 n ? N *
(2) bn ?

?????6 分

1 ? n ? ( ) n ?1 ???7 分 2 2 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? ? n ? ( ) n ?1 ??8 分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 3 ? 2 ? ( ) 4 ? 3 ? ( ) 5 ? ? ? n ? ( ) n ? 2 ????9 分 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 1 n? 2 得: Tn ? 1 ? ( ) ? 1 ? ( ) ? 1 ? ( ) ? ? ? 1 ? ( ) ? n ? ( ) ???10 分 2 2 2 2 2 2
n ?1

n

第 4 页 共 6 页

1 1 ( ) 2 [1 ? ( ) n ] 1 1 2 Tn ? 2 ? n ? ( ) n ? 2 ?12 分 1 2 2 1? 2 n?2 101 Tn ? 1 ? n ?1 ?13 分 T99 ? 1 ? 100 2 2
18、解

?14 分

1 2 ? 1 ? f (2) ? 2 a ? a ? b ? 3 ? 4 ? ' 1 (1)由题意知 ? f ( ) ? a ? ? 0 2 a ? a?0 ? ? ?
得 a ? 2, b ? 2

????????4 分

????????6 分 ?8 分

f ( x) ? 2 x ?

1 1 ? 2( x ? 0) ? f ' ( x) ? 2 ? 2 2x 2x

若?

1 ? ' 1 1 ? f ( x) ? 2 ? 2 ? 0 得 f ( x)单调递增区间为 (?? ,? )及( ,?? ) ???11 分 2x 2 2 ? x?0 ?

1 ? ' 1 1 ? f ( x) ? 2 ? 2 ? 0 若? 得 f ( x)单调递减区间为 (? ,0)及(0, ) 2x 2 2 ? x?0 ?

??14 分

19、解:由题意,每日利润 L 与日产量 x 的函数关系式为

k ? ? 2x ? ?2 L?? x ?8 ? ?11 ? x

(0 ? x ? 6) ( x ? 6)
k ?2 2?8

???4 分

(1)当 x ? 2时,L ? 3 即: 3 ? 2 ? 2 ? 得 k ? 18

??5 分 ????6 分
max

(2)当 x ? 6 时, L ? 11 ? x 为单调递减函数,故当 x ? 6时,L

? 5 ????8 分
???11 分

当0 ? x ? 6 时, L ? 2 x ?
当且仅当 2( x ? 8) ?

18 18 ? 2 ? 2( x ? 8) ? ? 18 ? 6 x ?8 x ?8

18 (0 ? x ? 6) 即 x ? 5时 Lmax ? 6 x ?8

????13 分 ????14 分

综合上述情况,当日产量为 5 吨时,日利润达到最大 6 万元.

第 5 页 共 6 页

20、解:(1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a

12 a2

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,?????2 分

∴ c 2 =a 2 ? 1
2

由点 ? e ,
2

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 ????4 分 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

??5 分

(2)假设这样的直线 l 存在, 直线 l 的斜率显然存在,不妨设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , ?????6 分

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



?????8 分

? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) ? 4k m ? 0 ,
2 2 2

整理得 km ? 1



?????10 分

? 2 2 ? ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 。 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

?????12 分

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 2 2

?????14 分

第 6 页 共 6 页


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