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2017年春季学期新人教A版高中数学选修2-2:1.1 变化率与导数(第1课时)

自我小测 1.函数 f(x)=x2-1 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为( A.2x0-1 B.2x0+Δx C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1 2.将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 ΔR,则球的表面积的增加量 ΔS 等于( A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2 C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2 1 3.若一物体的运动方程为 s(t)=2- t2,则该物体在 t=6 时的瞬时速度为( 2 A.8 C.-6 B.-4 D.6 Δx 0 ) ) ) 4.函数 f(x)在 x=a 处可导,则 lim → A.f(a) C.f′(h) B.f′(a) D.f(h) f(h)-f(a) 等于( h-a ) 5.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx-b(Δx)2(a,b 为常数), 则( ) A.f′(x0)=a B.f′(x0)=b C.f′(x0)=-b D.f′(x0)=0 6.已知曲线 y=x2+1 在点 M 处的瞬时变化率为-4,则点 M 的坐标为__________. 7.已知 f(x)=sin x,且 lim → Δx 0 sin(x0+Δx)-sin x0 π? =cos x0,则 f′? ?3?=__________. Δx 8.汽车行驶的位移 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2, t3]上的平均速度分别为 v1 , v2 , v3 ,其三者的大小关系是__________. 9.已知函数 f(x)=ax2+2,且 f′(-1)=2,求实数 a 的值. 120 10. 蜥蜴的体温与阳光的照射有关, 其关系为 T(t)= +15, 其中 T(t)为体温(单位: ℃), t+5 t 为太阳落山后的时间(单位:min). (1)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少? (2)从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温平均变化率是多少?它代表什么实际意义? (3)求 T′(5),并说明它的实际意义. 参考答案 1.解析: 答案:B 2.解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2. 答案:B s(6+Δt)-s(6) Δs 3.解析:瞬时速度为 lim = lim = lim → → Δt Δx 0 Δt Δx 0 Δx→0 1 2- (6+Δt)2-(-16) 2 = lim Δt Δx→0 2 2 Δy f(x0+Δx)-f(x0) (x0+Δx) -1-x0+1 = = =2x0+Δx. Δx Δx Δx ?-1Δt-6?=-6. ? 2 ? 答案:C 4.解析:令 h-a=Δx,则 h=a+Δx, 故 lim → Δx 0 f(h)-f(a) f(a+Δx)-f(a) = lim =f′(a). → Δx Δ x 0 h-a 答案:B 5.解析:f′(x0)= lim → = lim (a-bΔx)=a. → Δx 0 Δx 0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx 答案:A 6.解析:设 M(x0,y0),则 lim → = lim → Δx 0 (x0+Δx)2+1-(x02+1) Δx Δx 0 2x0·Δx+(Δx)2 = lim (2x0+Δx)=2x0=-4, Δx Δx→0 ∴x0=-2.∴y0=4+1=5. ∴M 坐标为(-2,5). 答案:(-2,5) 7.解析:∵f′(x0)= lim → π? π 1 ∴f′? ?3?=cos3=2. 答案: 1 2 Δx 0 sin(x0+Δx)-sin x0 =cos x0, Δx s(t1)-s(t0) s(t2)-s(t1) s(t3)-s(t2) 8.解析: v1 = =kMA, v2 = =kAB, v3 = =kBC. t1-t0 t2-t1 t3-t2 由图象可知 kMA<kAB<kBC,∴ v3 > v2 > v1 . 答案: v3 > v2 > v1 9.解:因为 f′(-1)= lim → = lim → = lim → Δx 0 f(-1+Δx)-f(-1) Δx Δx 0 a(-1+Δx)2+2-a-2 Δx -2aΔx+a(Δx)2 = lim (-2a+aΔx)=-2a. Δx Δx→0 Δx 0 又因为 f′(-1)=2,即-2a=2,所以 a=-1. 120 120 10.解:(1)在 t=0 和 t=10 时,蜥蜴的体温分别为 T(0)= +15=39,T(10)= 0+5 10+5 +15=23,从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降了 16 ℃. ΔT T(10)-T(0) -16 (2)平均变化率 = = =-1.6. Δt 10 10 它表示从 t=0 到 t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃. 120 120 +15- -15 (5+Δt)+5 5+5 (3)T′(5)= lim Δt Δx→0 120 -12 10+Δt -12 = lim = lim → → Δt Δx 0 Δx 0 10+Δt =-1.2. 它表示 T=5 min 时蜥蜴体温下降的速度为 1.2 ℃/min.

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