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2016年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)(解析版)


一、填空题 1.若集合 A={x|y= A∩B= .

,x∈R},B={x||x|≤1,x∈R},则

1 1 2.若函数( f x) =1+ (x>0) x) x) 的反函数为 f﹣( , 则不等式 f﹣( >2 的解集为



3.若 sinα= 且 α 是第二象限角,则

=



4.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) ,则 f 在(x3﹣ )8 的展开式中,其常数项的值为 .

6.若函数 f(x)=sin2x,g(x)=f(x+

) ,则函数 g(x)的单调递增区间为



7.设 P 是曲线

(θ 为参数)上的一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中 .

点,则点 M 的轨迹的普通方程为

9.袋中装有 5 只大小相同的球,编号分别为 1,2,3,4,5,现从该袋中随机地取出 3 只, 被取出的球 中最大的号码为 ξ,则 Eξ= .

10.若函数 f(x)=log5x(x>0) ,则方程 f(x+1)+f(x﹣3)=1 的解 x=



11.

某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为 3cm, cm2 高为 10cm) ,共做了 20 颗完全相同的棒棒糖,则每个棒棒糖的表面积为 (损耗忽略不计) .

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12.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的 点 P1,P2,…P10,记 mi= ? (i=1,2,3,…,10) ,则 m1+m2+…+m10 的值





13.设函数 f(x)= 两个零点,则实数 a 的取值范围是

,记 g(x)=f(x)﹣x,若函数 g(x)有且仅有 .

二、选择题 三、15.若 a、b 表示两条直线,α 表示平面,下列命题中的真命题为( A.若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α B.若 a∥α,a⊥b,则 b⊥α C.若 a⊥α,b? α,则 a⊥b D.若 a∥α,b∥α,则 a∥b



16.过抛物线 y2=8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,且这两点的横坐标之和 为 9,则满足条件的直线( ) A.有且只有一条 B.有两条 C.有无穷多条 D.必不存在 17.若 z∈C,则“|Rez|≤1,|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件. ( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 )

三、解答题( 19.在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面边长为 1,C1B 与底面 ABCD 所成的角的大小 为 arctan2,如果平面 BD1C1 与底面 ABCD 所成的二面角是锐角,求出此二面角的大小(结 果用反三角函数值) .

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20.已知函数 f(x)=2sin(x+ (Ⅰ)若 x∈[0,

)cosx.

],求 f(x)的取值范围; ,

(Ⅱ)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A 为锐角,f(A)= b=2,c=3,求 cos(A﹣B)的值.

21.某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人,平均每人每年创造利润 10 万元.根据现实 的需要,从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润 10(a ﹣ )万元(a>0) ,A 项目余下的工人每年创造利润需要提高 0.2x%.

(1)若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润, 则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作? (2)在(1)的条件下,当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40%时,才能使得 A 项 目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润, 求实数 a 的取值范 围.

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22.已知椭圆 Γ:

+

=1 的中心为 O,一个方向向量为 =(1,k)的直线 l 与 Γ 只有

一个公共点 M. (1)若 k=1 且点 M 在第二象限,求点 M 的坐标; (2)若经过 O 的直线 l1 与 l 垂直,求证:点 M 到直线 l1 的距离 d≤ ﹣2; = ,

P 在椭圆上, (3) 若点 N、 记直线 ON 的斜率为 k1, 且 为直线 OP 的一个法向量, 且 求|ON|2+|OP|2 的值.

23.已知各项不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn= an?an+1(n∈N*) (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)设数列{bn}满足:bn= 整数 k 的值; k 均为正整数, k<m. c1=1, (3) 若 m、 且 m≥2, 在数列{ck}中, = , 求 c1+c2+…+cm. ,且 (bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)= ,求正

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13.设函数 f(x)=

,记 g(x)=f(x)﹣x,若函数 g(x)有且仅有

两个零点,则实数 a 的取值范围是 (﹣2,+∞) . 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的零点与方程根的关系. 【分析】由函数解析式知,当 x>0 时,f(x)是周期为 1 的函数,易求 x<1,f(x)=21﹣ x +a, 依题意, 得方程 21﹣x=x﹣a 有且仅有两解, 在同一坐标系中作出 y=21﹣x 与 y=x﹣a 图象, 数形结合即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵x>0 时,f(x)=f(x﹣1) ∴当 x>0 时,f(x)是周期为 1 的函数, 设 x<1,则 x﹣1<0, f(x)=f(x﹣1)=21﹣x+a; 即 x<1,f(x)=21﹣x﹣a, ∵f(x)=x 有且仅有两个实数根,∴方程 21﹣x=x﹣a 有且仅有两解,

在同一坐标系中作出 y=21﹣x 与 y=x﹣a 图象如右图:

∴f(x)=x 有且仅有两个实数根,只要直线 y=x﹣a 介于图中蓝色直线下方即可. 依 f(x)=21﹣x 可求出 A 点坐标为(0,2) ,B 点坐标为(1,2) , ∵A,B 两点均为虚点, ∴﹣2<a. 故答案为: (﹣2,+∞) . 16.过抛物线 y2=8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,且这两点的横坐标之和 为 9,则满足条件的直线( ) A.有且只有一条 B.有两条 C.有无穷多条 D.必不存在 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】设出 AB 的方程,联立方程组消元,根据根与系数的关系列方程判断解得个数. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为(2,0) , 若 l 无斜率,则 l 方程为 x=2,显然不符合题意. 若 l 有斜率,设直线 l 的方程为:y=k(x﹣2) , 联立方程组 ,消元得:k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,

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设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴ ∴ 故选 B. .



17.若 z∈C,则“|Rez|≤1,|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件. ( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】设 z=x+yi,由|x|≤1,|y|≤1,可得|z| 【解答】解:设 z=x+yi,由|x|≤1,|y|≤1,则|z|= 由 故答案为:B.



,充分性不成立;反之成立. ,故充分性不成立;

,则 x2+y2≤1,所以|x|≤1,|y|<1,即必要性成立.

20.已知函数 f(x)=2sin(x+ (Ⅰ)若 x∈[0,

)cosx.

],求 f(x)的取值范围; ,

(Ⅱ)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A 为锐角,f(A)= b=2,c=3,求 cos(A﹣B)的值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用可求得 f(x)=sin(2x+ ∈[0, ],可求得 2x+ ∈[ , )+

,利用 x

],从而可求得 f(x)的取值范围; ,b=2,c=3,利用余弦定理

(Ⅱ)依题意可求得 sin(2A+ 可求得 a=

)=0,A 为锐角,可知 A=

,继而可求得 sinB 及 cosB 的值,利用两角差的余弦可得 cos(A﹣B)的值. =

【解答】解: (Ⅰ) = = ∵ ∴ , , ….



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∴ (Ⅱ)由 又 A 为锐角,故 A=

. ,得 sin(2A+ ,又 b=2,c=3, =7,解得 a= . ….

…. )=0,

∴a2=4+9﹣2×2×3×cos 由 ∴ ,得

,又 b<a,从而 B<A,cosB=

. …

21.某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人,平均每人每年创造利润 10 万元.根据现实 的需要,从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润 10(a ﹣ )万元(a>0) ,A 项目余下的工人每年创造利润需要提高 0.2x%.

(1)若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润, 则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作? (2)在(1)的条件下,当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40%时,才能使得 A 项 目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润, 求实数 a 的取值范 围. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)根据题意,列出不等式 10(1+0.2x%)≥10×1000,求解即可; (2) 求出 x 的范围, 得出不等式 10 (a﹣ x≤10 ) (1+0.2x%) , 整理可得 a≤ +

+1 恒成立,根据 x 的范围,可知在定义域内函数为减函数,当 x=400 时,函数取得最小值. 【解答】解:设调出 x 人参加 B 项目从事售后服务工作 (1)由题意得:10(1+0.2x%)≥10×1000, 即 x2﹣500x≤0,又 x>0,所以 0<x≤500.即最多调整 500 名员工从事第三产业. (2)由题知,0<x≤400, 从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a﹣ 从事原来产业的员工的年总利润为 10(1+ 则 10(a﹣ 所以 ax﹣ 所以 ax≤ 即 a≤ + )x≤10(1+0.2x%) ≤1000+2x﹣x﹣ +1000+x, +1 恒成立, x2, )x 万元,

x)万元,

因为 0<x≤400,
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+

+1≥

+

+1=5.1,

所以 a≤5.1, 又 a>0,所以 0<a≤5.1, 即 a 的取值范围为(0,5.1].

22.已知椭圆 Γ:

+

=1 的中心为 O,一个方向向量为 =(1,k)的直线 l 与 Γ 只有

一个公共点 M. (1)若 k=1 且点 M 在第二象限,求点 M 的坐标; (2)若经过 O 的直线 l1 与 l 垂直,求证:点 M 到直线 l1 的距离 d≤

﹣2; = ,

P 在椭圆上, (3) 若点 N、 记直线 ON 的斜率为 k1, 且 为直线 OP 的一个法向量, 且

求|ON|2+|OP|2 的值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)设直线 l 的方程为 y=kx+t,代入椭圆方程 4x2+5y2=20,可得 x 的方程,运用直 线和椭圆只有一个公共点 M,可得△=0,化简整理,解方程可得 M 的坐标; (2)设直线 l1:x+ky=0,运用(1)求得 M 到直线 l1 的距离公式,再由基本不等式可得最 大值,即可得证; (3)直线 ON 的方程为 y= kx,代入椭圆方程 4x2+5y2=20,可得交点 N,求得|ON|,同 样将直线 OP:x+ky=0 代入椭圆方程求得 P 的坐标,可得|OP|,化简整理即可得到所求值. 【解答】解: (1)设直线 l 的方程为 y=kx+t,代入椭圆方程 4x2+5y2=20, 可得(4+5k2)x2+10ktx+5t2﹣20=0, 直线 l 与 Γ 只有一个公共点 M,可得△=0, 即有 100k2t2﹣4(4+5k2) (5t2﹣20)=0, 2 2 化简可得 t =4+5k , 由 k=1 可得 t=±3, 由点 M 在第二象限,可得 M(﹣ 即为(﹣ , ) ; (2)证明:设直线 l1:x+ky=0, 由(1)可得 M(﹣ , ) ,t2=4+5k2, , ) ,

则点 M 到直线 l1 的距离 d=

=

= 当且仅当 5k2=



=

=

﹣2,

时,取得等号;
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(3)由题意可得直线 ON 的方程为 y= kx, 代入椭圆方程 4x2+5y2=20,可得(20+16k2)x2=100, 即有 x2= ,y2= ,

即有|ON|2=



将直线 OP 的方程 x+ky=0,代入椭圆方程可得, y2= ,x2= ,

即有|OP|2=



则|ON|2+|OP|2=

=9.

23.已知各项不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn= an?an+1(n∈N*) (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)设数列{bn}满足:bn= 整数 k 的值; k 均为正整数, k<m. c1=1, (3) 若 m、 且 m≥2, 在数列{ck}中, 【考点】数列的求和;等差关系的确定. 【分析】 (1)通过 Sn= anan+1,利用 an+1=Sn+1﹣Sn 整理得 an+2﹣an=2,进而可知数列{an} 是首项、公差均为 1 的等差数列; (2)通过(1)可知 bn= 计算、取极限即得结论; (3)通过 简即得结论. 【解答】 (1)证明:∵Sn= anan+1, ∴an+1=Sn+1﹣Sn= an+1an+2﹣ anan+1,
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,且

(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=

,求正

=

, 求 c1+c2+…+cm.

,进而可知 bnbn+1=

?

,进而利用等比数列的求和公式

=

及 an=n 分别计算出







的表达式,进而累乘化

整理得:an+2﹣an=2, 又∵a1=1,a2= =2,

∴数列{an}的通项公式 an=n, 即数列{an}是首项、公差均为 1 的等差数列; (2)解:由(1)可知 bn= ∴bnbn+1= ? = ? , ( + +…+ ) =2n﹣2(n+1)= ,

∴bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1=

=

?

?

= ? 又∵

(1﹣

) , ,即 ? = ,

(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=

解得:k=2; (3)解:∵c1=1, = ,an=n,



=





=



=



=

,…,

=



∴当 n≥2 时,cm= =

?

?…?

?c1 ?1

?

?…?

?

=(﹣1)m﹣1? =(﹣1)m﹣1? , 显然当 m=1 时满足上式,即 cm=(﹣1)m﹣1? , ∴c1+c2+…+cm=



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