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2018届高考理科数学第一轮基础复习课件40简单的三角恒等变换 精品推荐

第六节 简单的三角恒等变换 α α α 1.用 cos α 表示 sin2 ,cos2 , tan2 2 2 2 1-cos α 1+cos α 1- cos α α α 2 2 2α sin =___________ ,cos =_________ ,tan = . 2 2 2 2 2 1+ cos α 2.用 sin α,cos α 表示 tan 1- cos α α sin α tan = = . 2 1+ cos α sin α 3.辅助角公式 b a2+b2sin(α+φ) asin α+ bcos α=______________________ (其中 tan φ= ). a 4.“1”的妙用 π 2 2 2 2 sin α+ cos α=1,cos 2α+2sin α=1,1=2cos α-cos 2α,sin 2 π = cos 0= tan =1. 4 α 2 α sin α 你能写出 tan = 的推导过程吗? 2 1+cos α α α α 2sin cos α 2 2 2 sin α 【提示】 tan = = = . 2 α 1+cos α 2α cos 2cos 2 2 sin 3 1. (教材改编题)下列各式中,值为 的是 ( ) 2 A.2sin 15° cos 15° B.cos215° -sin215° C.2sin215° -1 D.sin215° + cos215° 【解析】 cos215° - sin215° = cos 30° = 3 . 2 【答案】 B 2. (2012· 西安质检)对于函数 f(x)=2sin x cos x,下列选项中 正确的是( ) π π A. f(x)在 ( , )上是递增的 4 2 B.f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为 2π D. f(x)的最大值为 2 【解析】 ∵f(x)=2sin xcos x=sin 2x, ∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称. 【答案】 B 3. (2011· 湖北高考改编)已知函数 f(x)= 3sin x-cos x, x∈R, 若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为________. π 【解析】 f(x)= 3sin x- cos x= 2sin(x- )≥1, 6 π 1 ∴sin(x- )≥ , 6 2 π π 5 ∴2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π(k∈ Z), 6 6 6 π ∴2kπ+ ≤x≤2kπ+ π, (k∈ Z). 3 π 【答案】 2kπ+ ≤x≤2kπ+π,(k∈Z) 3 cos α-sin α 4. 已知 α、 β 均为锐角, 且 tan β= , 则 tan(α+β) cos α+sin α =________. 1- tan α π 【解析】 tan β= = tan( - α). 4 1+ tan α π π ∵ α、 β 为锐角, ∴β= - α, ∴α+ β= , 4 4 ∴ tan(α+ β)= 1. 【答案】 1 三角函数式的化简 1 α 1-cos 2α 化简:( -tan )· . α 2 sin 2α tan 2 【思路点拨】 切化弦 → 通分后利用倍角公式 α cos sin 2 【尝试解答】 原式= ( - α sin cos 2 2α 2α cos - sin 2 2 sin α = · α α cos α sin · cos 2 2 2cos α sin α = · = 2. sin α cos α α 2 2sin2α )· α 2sin αcos α 2 1.本题求解的关键在于:切化弦、通分(约分),然后灵 活运用倍角公式及其变形. 2.三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数 名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分. α α ?1+sin α+cos α??sin -cos ? 2 2 化简 (π<α<2π). 2+2cos α π α α 【解】 ∵π< α< 2π,∴ < < π, cos < 0. 2 2 2 α α α α α ?2cos2 + 2sin cos ??sin - cos ? 2 2 2 2 2 ∴原式= 2? 1+ cos α? α α α α α 2cos ?sin + cos ??sin - cos ? 2 2 2 2 2 = α 2|cos | 2 α α α α =- (sin + cos )(sin - cos ) 2 2 2 2 α α = cos2 - sin2 = cos α. 2 2 三角函数式的求值 x x (2012· 清远模拟)已知 sin -2cos =0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2x (2)求 的值. π 2cos? +x? · sin x 4 x 【思路点拨】 (1)先求 tan ,进而求得 tan x 的值;(2)注意 2 π 到 “2x”与 “ + x”间的联系和差异, 借助倍角公式, 统一角度. 4 x x x 【尝试解答】 (1)由 sin - 2cos = 0,得 tan = 2. 2 2 2 x 2tan 2×2 2 4 ∴ tan x= = =- . 2 x 3 1 - 2 1- tan2 2 π (2)∵ cos 2x= sin(2x+ ) 2 π π = 2sin(x+ )cos(x+ ), 4 4 π π 2sin?x+ ? cos? x+ ? sin x+ cos x 4 4 ∴原式= = π sin x 2cos? + x? · sin x 4 1 3 1 = 1+ = 1+ (- )= . tan x 4 4 1.本题亦可直接利用倍角公式与两角和余弦统一为 α的 三角函数,请读者完成. 2.三角函数的“给式(值 )求值”的关键是找出已知式与 未知式的关系,将所给一个或几个三角函数式经过变形,转化 成所求函数式能使用的形

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