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用4.3.1空间直角坐标系习题课


1.平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分,空间直角 坐标系中的三个坐标平面把空间分成几部分? 提示:三个坐标平面把空间分为八个部分 .

2.在平面上画空间直角坐标系时,一般使∠xOy,∠yOz,∠xOz各 是多少度?

提示:一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°,∠xOz=135°或45°.

1.给定空间直角坐标系,空间任意一点是否与有序实数组 (x,y,z)之间存在惟一的对应关系?

提示:是.给定空间直角坐标系下的一点的坐标用惟一的有序
实数组(x,y,z)表示;反之,给定一个有序实数组(x,y,z), 空间也有惟一的点与之对应.

2.点P(0,0,2)在空间直角坐标系中的哪个位置? 提示:在z轴上.

典型例题精析

【例1】点M(0,3,-1)在空间直角坐标系中的位置是在
( (A)x轴上 (C)xOz平面上 (B)xOy平面上 (D)yOz平面上 )

思路点拨:可根据空间中点的坐标的特点或画出空间直角坐标

系找到点M来确定其位置.

【例2】已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2,建立如图 所示不同的空间直角坐标系,试分别写出正方体各顶点的坐标 .

思路点拨:先求在坐标轴或原点上的点的坐标,再求坐标平面 上的点的坐标,最后求一般位置上的点的坐标 .

【练一练】如图,在单位正方体OABC-O1A1B1C1中,M是B1B的中 点,N是CC1的中点,AP=2PA1,Q是OA反向延长线上的一点,且

OA=2OQ,求点B、C、A1、O1、B1、C1、M、N、P、Q的坐标.

【例3】(1)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于x轴的

对称点的坐标是(
(A)(-2,1,-4) (C)(2,-1,4)

)
(B)(-2,-1,-4) (D)(2,1,-4)

(2)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面的对 称点的坐标是( (A)(-2,1,-4) (C)(2,-1,4) ) (B)(-2,-1,-4) (D)(2,1,-4)

思路点拨:首先观察点关于坐标轴或坐标平面的对称点,在空

间直角坐标系中写出结果.

【练一练】1.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点 M(2,-1,-4)的对称点的坐标是( (A)(0,0,0) (C)(6,-3,-12) )

(B)(2,-1,-4) (D)(-2,3,12)

2.在空间直角坐标系中,点P(2,-3,4)关于点(0,0,0) 的对称点的坐标是_______.

知能巩固提升

一、选择题(每题5分,共15分)
1.点M(-3,0,0),N(3,-4,0)在空间直角坐标系中的位置分别 是在( )

(A)x轴上、y轴上 (B)x轴上、xOy平面上

(C)y轴上、xOz平面上
(D)xOy平面上,yOz平面上 【解析】选B.由M的纵坐标、竖坐标都为0,知点M在x轴上,

因为点N的竖坐标为0,故点N在xOy平面上.

2.(2010·济南高一检测)已知点A(2,3,-4),B(0,4,7), 则线段AB的中点坐标是( (A)(2,7,3) )

(B)(1,7 ,3 ) 2 2 (C)(2,-1,-11) (D)(1,- 1 ,- 11 ) 2 2 【解析】选B.由中点坐标公式可得AB中点坐标为

(

2+0 3+4 -4+7 即 7 3 , , ), (1, , ). 2 2 2 2 2

3.已知空间直角坐标系中三点,点A与点B关于M对称,且已知 A点的坐标为(3,2,1),M的坐标为(4,3,1),则B点的

坐标为(

)
(B)(5,1,4) (D)(1,5,4)

(A)(5,4,1) (C)(1,4,5)

【解析】选A.设B点的坐标为(x,y,z),则有 x+3 =4, y+2 =3, 2 2 z+1 =1, 2 解得x=5,y=4,z=1,
故B点的坐标为(5,4,1).

二、填空题(每题5分,共10分) 4.空间直角坐标系中,点M(3,-1,2)在xOy平面上的射影为M1, 则点M1关于x轴的对称点M2的坐标为______. 【解析】M在xOy平面上的射影M1的竖坐标为0, ∴M1(3,-1,0),点M2的横坐标与M1的横坐标相同,竖坐标、 纵坐标分别为M1竖坐标、纵坐标的相反数,故得M2(3,1,0).

答案:(3,1,0)

5.如图所示,以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的
直线为坐标轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单 位长度,则CC1中点的坐标为________.

【解题提示】先求C与C1点坐标,利用中点坐标公式求其 中点.

【解析】易知点C的坐标为(1,1,0),点C1的坐标为(1,1,1), 故中点坐标为(1,1, 1 ). 2 1 答案:(1,1, ) 2

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.设x,y为任意实数,相应的所有点P(x,y,3)的集合是什么 图形? 【解题提示】利用空间想象能力,抓住点P的竖坐标为3 这一特征构造图形. 【解析】在z轴上取点A(0,0,3),过点A作与z轴垂直的平面,

则此平面内每一点的竖坐标均为3,而横坐标x,纵坐标y可取
任意实数,因此P(x,y,3)的集合表示过A(0,0,3)且与z轴垂 直的平面.

7.画一个长方体ABCO-A1B1C1O1,使坐标轴 的方向沿着一个顶点相邻的三条棱,以棱

OA,OC,OO1所在的直线为坐标轴,如图,
OA=4,OC=3,OO1=5,M、N分别是A1B1, BB1的中点.求M、N的坐标,AC与BO交点的坐标,以及AC1与A1C

的交点的坐标.

【解析】点M的x轴坐标与z轴坐标和点A1,B1的x轴坐标与z轴 坐标相同,y轴坐标为A1、B1的y轴坐标的算术平均数,故点M 的坐标为(4,3 ,5), 同理得点N的坐标为(4,3,5 ). 2 2 由几何性质知AC与BO的交点即AC(或BO)的中点,其x轴坐标 与y轴坐标为A,C的x轴坐标与y轴坐标的算术平均数,z轴坐标 与A的z轴坐标相同,故AC与BO的交点的坐标为 (2,3 ,0). 2

由几何性质知AC1与A1C的交点即AC1(或A1C)的中点,其x轴坐 标,y轴坐标与z轴坐标均为点A,C1的x轴坐标,y轴坐标与z轴 坐标的算术平均数,故AC1与A1C的交点的坐标为 (2,3 ,5 ). 2 2

1.(5分)设x为任意实数,相应的所有点P(x,2,3)的集合表 示的图形是( )

(A)x轴
(C)平面yOz

(B)与x轴平行的直线
(D)与x轴垂直的平面

【解析】选B.取点A(0,2,0),过点A作与y轴垂直的平面α, 则该平面上每一点的纵坐标都是2.

取点B(0,0,3),过点B作与z轴垂直的平面β,则该平面上每
一点的竖坐标都是3. 若α∩β=l,可知直线l与平面yOz交于点C(0,2,3),则直线l上

任一点的坐标均可写成(x,2,3)的形式.
所以P(x,2,3)表示的集合是过点C(0,2,3)且与x轴平行的直 线.

2.(5分)已知点M到三个坐标平面的距离都是1,且点M的三 个坐标同号,则点M的坐标为_____. 【解析】分别过点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作与yOz平 面,xOz平面,xOy平面平行的平面,三个平面的交点即为 M点, 其坐标为(1,1,1)或过点(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)作与 yOz平面,xOz平面,xOy平面平行的平面,三个平面的交点即

为M点,其坐标为(-1,-1,-1).
答案:(1,1,1)或(-1,-1,-1)

3.(5分)xOy平面内点的坐标的特点是______. 【解析】由于点在xOy平面内,故其竖坐标一定为0,而横、纵

坐标则可能不为0.
答案:竖坐标是0

4.(15分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别为D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG= 1 CD,H为 4 C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E、F、G、H点的坐标.

【解题提示】建立适当的坐标系,根据正方体的棱长为
1,求出各点的坐标.

【解析】如图所示,以D为原点,DA所
在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1

所在直线为z轴建立空间直角坐标系.因
为点E在z轴上,故其横坐标、纵坐标都为0,而E为DD1的中

点,所以E(0,0, 1 );由F作FM⊥AD于M,FN⊥DC于N,易 2 知FM= 1 ,FN= 1 ,故F( 1 , 1 ,0);点G在y轴上,其 2 2 2 2

3 横坐标、竖坐标都为0,又GD= 3 , 故G(0, ,0);由H作 4 4 1 1 HK⊥CG于K,由于H为C1G的中点,故HK= , CK= , 所以DK= 8 2 7 故H(0,7 , 1 ). , 8 2 8


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