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最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》课堂探究1

课堂探究 核心解读 什么是小概率事件?有何应用? 剖析:正态总体中的小概率事件:正态总体 N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的 概率很小(大约只有 0.3%),因此称在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外发生的事件为小概率事件. 正态总体在(μ-3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有 0.3%的性质, 在实际生产中有比较广泛 的应用.我们只要知道了正态分布的平均数 μ 和标准差 σ,利用这个性质,就可以判断哪些 情况是异常出现的小概率事件(在生产中一般指生产过程出现了问题,没有正常工作).著名 的质量控制图就是利用这一个原理的. 举例来说, 某条生产线上生产的零件重量在正常的情 况下可能并不是每一个都严格相等,往往有一些小的波动,可以看作一个随机变量,而且往 往服从正态分布 N(μ,σ2).那么从上面的分析知道,零件重量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概 率为 99.7%,即零件重量在(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率为 0.3%.这表明在大量的重复试验 中,平均每 1 000 个零件只有 3 个不在(μ-3σ,μ+3σ)范围之内.因此,在质量检查中,零 件重量在(μ-3σ,μ+3σ)之外是几乎不可能发生的.而如果这种事情一旦发生了,即零件重 量 a 满足|a-μ|≥3σ, 我们就有理由认为这时候生产出来的零件的重量服从正态分布 N(μ, σ2) 的假设是不成立的, 说明该零件不是在正常状态下生产出来的, 生产过程可能出现了异常的 情况.比如可能原料、刀具、机器出了问题,或者可能工艺规程不完善,或者可能工人操作 机器精力不集中,没有遵守操作规程,需要停机检查,找出原因,从而避免继续生产废品、 次品,保证产品质量,防止造成过大的损失. 典题精讲 题型一 求正态曲线方程 【例题 1】 一台机床生产一种尺寸为 10 mm 的零件,现在从中抽测 10 个,它们的尺 寸分别如下(单位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸 η 服从正态分布,求正态分布的概率密度函数式. 分析:根据公式求 μ、σ2,从而求出正态分布函数. 解:依题意得 1 μ= ×(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10, 10 σ2= 1 ×[(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+ 10 (9.7-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2]=0.03, 即 μ=10,σ2=0.03, 100 ? 所以 η 的概率密度函数式为 f ( x) ? e 3 2π 50( x ?10)2 3 . 若 X~N(μ,σ2),则 X 的数学期望与方差分别为 E(X)=μ,D(X)=σ2. 题型二 正态曲线的性质及应用 1 ?2 【例题 2】 正态总体 N(0,1)的概率密度函数是 f ( x) ? e ,x∈R. 2π (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求 f(x)的最大值; (3)利用指数函数的性质说明 f(x)的增减性. 分析:根据函数奇偶性的定义证明 f(x)为偶函数.由函数的性质求解第(2)(3)两问. (1)证明:对于任意的 x∈R, x2 1 ? f ( ? x) ? e 2π ∴f(x)是偶函数. ( ? x )2 2 1 ?2 ? e ? f ( x) . 2π x2 x2 (2)解:令 z= ,当 x=0 时,z=0,ez=1, 2 ∵ez 是关于 z 的增函数,当 x≠0 时,z>0,ez>1, ∴当 x=0,即 z=0 时, e x2 2 ? e z 取得最小值. x2 1 ?2 1 ∴当 x=0 时, f ( x) ? e 取得最大值 . 2π 2π 2 (3)解:任取 x1<0,x2<0,且 x1<x2,有 x2 1>x2,< 2 x2 x2 x2 x2 1 2 1 ∴- <- .∴e- <e- . 2 2 2 2 1 ? ∴ e 2π x`12 2 2 1 ?2 ? e , 2π x 2 即 f(x1)<f(x2). 它表明当 x<0 时,f(x)是递增的. 同理可得,对于任取的 x1>0,x2>0,且 x1<x2,有 f(x1)>f(x2),即当 x>0 时,f(x)是 递减的. 题型三 根据正态分布函数估算 【例题 3】 若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其概率密度函数 ? 1 是 ?? ,? ( x) ? e 6 2π ( x ? 209)2 72 , x∈R.试求光通量在下列范围内的灯泡的个数. ①209-6~209 +6;②209-18~209+18. 分析:由于光通量 X 的概率密度函数已知,由此可求出总体变量的期望和标准差,从 而确定三个取值区间的大小,进而求出相应范围内的灯泡个数. ? 1 解:由于 X 的概率密度函数为 ?? ,? ( x) ? e 6 2π ( x ? 209)2 72 , ∴μ=209,σ=6. ∴μ-σ=209-6,μ+σ=209+6. μ-3σ=209-6×3=209-18, μ+3σ=209+6×3=209+18. 因此光通量 X 的取值在区间 (209 - 6,209 +6] , (209 - 18,209+ 18] 内的概率应分别是 0.683 和 0.997. 于是光通量 X 在 209-6~209+6 范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.683=6 830. 光通量 X 在 209-18~209+18 范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997=9 970. 解答这类问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ,σ 进行对比、联系,确 定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.

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