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2016届甘肃省兰州一中高三第三次模拟考试数学(文)试卷


兰州一中 2016 届高三第三次模拟考试试题 数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 f (x)= A.(0,2) C. (2, ??) 2.已知幂函数 f (x)的图象经过(9,3),则 f (3) = A.3 C. 3 3.下列命题错误 的是 .. B. 3 3 D.1 ( )

1 的定义域为 1 ? log 2 x
B.(0,2] D. (??, 2)

(

)

(

)

A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” B.若“ p ? q ”为假命题,则 p , q 均为假命题 C.回归直线 y ? bx ? a 一定过样本中心点 ( x, y ) D. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 4.圆 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 与 x 轴交于 A,B 两点,则弦 AB 所对劣弧 ? AB 的弧长为( )

A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 2

D.

2? 2

5.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ① f ( x) ? sin x ,② f ( x) ? cos x ,③ f ( x) ? 则输出的函数是 A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? B. f ( x) ? cos x D. f ( x) ? lg

1 1? x , ④ f ( x) ? lg , x 1? x
( )

1 x

1? x 1? x
)

6.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(
1

A.8-2π

B.8-π

C.8-

π 2

π D.8- 4 ( D. a ? c ? b ) )

log 4 log 3 ln 3 7.设 a ? ( ) 2 , b ? ( ) 5 , c ? 3 ,则 a,b,c 的大小关系是

1 3

1 3

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. a ? b ? c

→ → 8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· DC的最大值为 (

A.1

B.

1 2

C.

3 2

D.2

9.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 4S=(a+b)2-c2,则 sin( ? C ) 等于 4 A.1 B. ?

?

(

)

2 2

C.

2 2

D.

3 2

10 . 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 p x ( ? p 0的 ) 焦点为 F ,若其准线经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 M 为这两条曲线的一个交点, MF ? p ,则该双 a 2 b2
曲线的离心率为( A. ) B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D.

2?2 2

2 ?1 2

11.已知函数 f ( x) ? ?

x ? 4, x ? 0 ,其中 a ? R .若对任意的正实数 x1 ,存在唯 2 2 ? x ? 4 x ? (3 ? a) , x ? 0 ?
( )

一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 A. [1,5] B. (0, 2) C. (2,5]

D. (??,1] ? [5, ??) ( )

12.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 A. (??, 0) 1 B.(0, ) 2 C.(0,1)
2

D. (0, ??)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知复数 z=-2i,则复数

1 虚部为_________. z +1

14.在平面上,正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为 1 : 2 ;类似地,在空间,正四面体 的内切球与外接球半径之比为___________. 15 .已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? x ? 1在区间 [1, 2] 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ___________. 16.关于函数 f(x)=2(sinx-cos x)cos x 有以下四个结论: ①函数 f(x)的最大值为 2; π ②把函数 h(x)= 2sin2x-1 的图象向右平移 个单位可得到函数 f(x)的图象; 4 ③函数 f(x)在区间 [

7? 5? , ] 上单调递增; 8 4

k π ? ④函数 f(x)图象的对称中心为? ?2π+8,-1?(k∈Z).其中正确的结论是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题 12 分) 已知正项等差数列{an}前三项的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列{bn}中的 b1、b2、b3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)令 cn ?

1 ? bn ,求数列{ cn }的前 n 项和 Sn . an ? 1
2

18. (本小题 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)试在线段 PC 上确定一点 M,使 PA∥平面 MQB,并求出

PM 的值. PC
P

D Q A B

C

3

19. (本小题 12 分) 某校为了解学生每天参加体育运动时间的情况,随机抽取了 100 名学生进行调查,其中女 生有 55 名,下面是根据调查结果绘制的学生日均体育运动时间的频率分布直方图: 将日均体育运动时间不低于 40 分钟的学生称为 “体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女生. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并 据此资料你是否有 90%的把握认为“体育迷”与 性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均参加体育运动时间不低于 50 分钟的学生称为“超级体育迷”,已知“超级体 育迷”中有 2 名女生. 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人, 求至少有 1 名女生的概率. n?ad-bc?2 附:K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 体育迷 合计

20. (本小题 12 分) x2 y2 6 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆 C 上两点,N(3,1)是线段 a b 3 AB 的中点. (1)求直线 AB 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆与直线 2x ? y ?1 ? 0 相切,求出该椭圆方程.

4

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? x , h( x) ? f ( x) ? x ? a ln x . (1)求函数 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的值域; (2)证明:当 a>0 时, h( x) ? 2a ? a ln a .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,AB 是

O 的一条切线,切点为B ,直线ADE ,

CFD , CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB .

(1 )求证:FG//AC ;
(2)若CG= 1 , CD= 4 ,求

DE 的值. GF

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).在极坐标系 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
5

(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求直线 l 及圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3 , 5) ,求 | PA | ? | PB | .

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 (1)求不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ?1的解集;

(a ? (2)已知 a , b ? R , a ? b ? 1 ,求证:

?

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? . a b 2

6

兰州一中 2016 届高三第三次模拟考试数学 参考答案(文科)
一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.A; 2.C; 3. B; 4.D; 5.D; 6.B; 7.B; 8.A; 9.C; 10.C; 11.A; 12B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

2 ; 5

14. 1:3 ;

15. [

13 , ?? ) ; 8

16. ③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(1)设等差数列的公差为 d,由已知得 a1+a2+a3=15,则 a2=5. 所以{bn}中的 b1、b2、b3 依次为 7-d,10,18+d. 依题意有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故 an=2n+1. 又 b1=5,b2=10,所以 bn=b1· qn 1=5· 2n 1.
- -

(2)∵an=2n+1,bn=5· 2n 1,


∴cn =

1 1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 5 ? 2n ?1 = + 5 ? 2 = ?n-n+1?+ 5 ? 2 2 4 ? ? 4 n ( n + 1 ) (2n ? 1) ? 1

1 1 ?? 1 1 1 1 n?1 1- ?+? - ?+?+?n- ∴Sn= ?? n + 1??+5 (1 ? 2 ? ? ? 2 ) 4?? 2? ?2 3? ? =

n ? 5 ? 2n ? 5 . 4(n ? 1)

18.解:(1)证明:连接 BD,因为四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60° ,

? △ABD 为正三角形,又 Q 为 AD 的中点,所以 AD⊥BQ;
又因为 PA=PD,Q 为 AD 的中点,所以 AD⊥PQ; 又 BQ∩PQ=Q,所以 AD⊥平面 PQB, 又 AD?平面 PAD,所以平面 PQB⊥平面 PAD. (2)解 连接 AC 交 BQ 于 N,作 NM∥PA 交 PC 于点 M,

因 NM∥PA, NM ? 面MQB , PA ? 面MQB ,所以 PA∥平面 MQB. AN AQ 1 由 AQ∥BC 可得,所以△ANQ∽△CNB,所以 = = , NC BC 2 PM AN 1 因为 PA∥MN,所以 = = . PC AC 3 19.解:(1)由所给的频率分布直方图知,

非体育迷
7

体育迷 合计

“ 体 育 迷 ” 人 数 为 100×(10×0.020 + 10×0.005) = 迷 ”人数为 75 ,则 据题意 完成

男 女 合计

30 45 75

15 10 25

45 55 100 25 ,“非体育 2×2 列联表:

将 2×2 列联表的数据代入公式计算: 100?30×10-45×15?2 100 K= = ≈3.030. 33 75×25×45×55
2

因为 3.030>2.706,所以有 90%的把握认为“体育迷”与性别有关. (2)由所给的频率分布直方图知,“超级体育迷”人数为 100×(10×0.005)=5, 记 ai(i=1,2,3)表示男生,bj(j=1,2)表示女生,从 5 名“超级体育迷”中任意选取 2 人, 所有可能结果构成的基本事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1) ,(a1,b2) ,(a2, a3),(a2,b1), (a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2) },共有 10 个基本事件组成,且 每个基本事件出现是等可能的. 用 A 表示事件“任选 2 人, 至少 1 名女生”, 则 A={(a1, b1),(a2,b1),(a3,b1),(a1,b2),(a2,b2),(a3,b2),(b1,b2)},共有 7 个基本事件组 成,故任选 2 人,至少有 1 名女生观众的概率为 P(A)= 20. 解:(1)离心率 e= 6 ,设椭圆 C:x2+3y2=a2(a>0), 3 7 . 10

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x-3)+1,代入 x2+3y2=a2, 整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.① 6k(3k-1) Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,②且 x1+x2= , 3k2+1 x1+x2 由 N(3,1)是线段 AB 的中点,得 =3. 2 解得 k=-1,代入②得 a2>12,? 直线 AB 的方程为 y-1=-(x-3),即 x+y-4=0. (2)圆心 N(3,1)到直线 2x ? y ?1 ? 0 的距离 d ?
2 2 当 k ? ?1 时方程①即 4 x ? 24 x ? 48 ? a ? 0

3 2 ? 6 ,? AB ? 2 6 . 3

? ? ??0 ? ? ? x1 ? x2 ? 6 ? 2 ? x1 ? x2 ? 12 ? a ? 4
? AB ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? 36 ? 48 ? a 2 ? 2 6 ,解得 a2 ? 24 .

8

x2 y 2 ?1. ? 椭圆方程为 ? 24 8
21. 解:? f '( x) ? e x ?1 , 令f '( x)=0,得x ? 0 , 在 (?1, 0) 上, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;在 (0,1) 上, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增.

? 当 x ?[-1,1]时, f ( x)min ? f (0) ?1 ,
又? f (?1) ? 1 ? , f (1) ? e ? 1, f ( ?1) ? f (1)

1 e

?函数的值域为[1, e ?1] .
x (2)? h( x) ? ex ? a ln x , h '( x ) ? e ?

a a ? 0 ,即 e x ? ( x ? 0) , x x

x 当 a ? 0 时该方程有唯一零点记为 x0 ,即 e 0 ?

a , x0


当x ? (0, x0 )时,h '( x) ? 0, h( x)单调递减 当x ? ( x0 , +?)时,h '( x) ? 0,h( x)单调递增.
?h( x)min ? h( x0 ) ? ex0 ? a ln x0 ?
?

a 1 a e x0 ? a ln ? ? a ln x0 x0 x0 a

a a ? a ln e x0 ? a ln a ? ? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a . x0 x0

22. 解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线,

AB 2 ? AD ? AE ,又因为 AC ? AB ,
2 所以 AD ? AE ? AC .

所以

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , AC AE
?E G ? F ?,

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 G,E,D,F 四点共圆,所以 ?ADC ? ?EGF , 所 以
A 所 C 以E

FG / / AC . ?????????5 分
(Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .

? ?CGF ∽ ?CDE .

9

?

DE CD ? . GF CG DE =4. GF
???10 分

又? CG ? 1, CD ? 4 ,?

23. 解:(1) 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3- 2 2 2 t) +( t)2=5,即 t2-3 2t+4=0. 2 2 ……………5 分

由于 Δ=(3 2)2-4× 4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,

?t1+t2=3 2, 所以? 又直线 l 过点 P(3, 5), t2=4. ?t1·
故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. ………10 分 24. 解: (1)当 x ? 1 时, 3 ? x ? 2 x ? 2 ? ?1 ,? x ? ?2 ??2 ? x ? 1

? x ? 2 ?1 ? x ? 2 当 1 ? x ? 3 时, 3 ? x ? 2 x ? 2 ? ?1 ,? 3x ? 6,
当 x ? 3 时, x ? 3 ? 2 x ? 2 ? ?1? x ? 0, ? x ?? 综上,原不等式的解集为 [?2, 2] . (2)证明:? a, b ? R, 且a ? b ? 1, ? ab ? ( ?????5 分

a?b 2 1 ) ? . 2 4

(a ? b)2 ? 2ab 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ? (a ? ) ? (b ? ) ? 4 ? (a ? b ) ? ( 2 ? 2 ) ? 4 ? [(a ? b) ? 2ab] ? a b a b a 2b 2

1 ? 2ab 1 ? 4 ? (1 ? 2ab) ? 2 2 ? 4 ? (1 ? 2 ? ) ? 4 a b
(当且仅当 a ? b ?

1? 2?

1 4 ? 25 . 1 2 ( )2 4
?????10 分

1 时不等式取等号) 2

10



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