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数学人教a版必修4 2.3.1 平面向量基本定理 作业 含解析

[A.基础达标] 1.已知平行四边形 ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底 的是( ) → ,BC → B.AD → ,DA → D.AB → ,DC → A.AB → ,CB → C.BC → ,DA → 不共线,所以是一组基底. 解析:选 D.由于AB 2.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1,e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系是( A.不共线 C.相等 ) B.共线 D.不确定 解析:选 B.∵a+b=3e1-e2, ∴c=2(a+b).∴a+b 与 c 共线. → =5e ,DC → =3e ,则OC → =( 3. 如图,在矩形 ABCD 中,若BC 1 2 ) 1 A. (5e1+3e2) 2 1 B. (5e1-3e2) 2 1 C. (3e2-5e1) 2 1 D. (5e2-3e1) 2 → =1AC → =1(BC → +AB → )=1(BC → +DC → )=1(5e +3e ). 解析:选 A.OC 1 2 2 2 2 2 → =4CA → +λCB →, 4. 已知 A, B, D 三点共线, 且对任一点 C, 有CD 则 λ=( 3 2 A. 3 C.- 1 3 1 B. 3 D.- 2 3 ) → =tAB → ,则CD → -CA →= 解析:选 C.∵A,B,D 三点共线,∴存在实数 t,使AD → -CA → ),即CD → =CA → +t(CB → -CA → )=(1-t)CA → +tCB →, t(CB 4 ? ?1-t= , 3 ∴? ? ?t=λ, 1 即 λ=- . 3 → =a,OP → =b,P → → → 5.若OP 1 2 1P=λPP2(λ≠-1),则OP=( A.a+λb C.λa+b B.λa+(1-λ)b D. λ a+ b 1+λ 1+λ 1 ) → =OP → +P → → → 解析:选 D.因为OP 1 1P=OP1+λPP2 → +λ(OP → -OP → )=OP → +λOP → -λOP →, =OP 1 2 1 2 → =OP → +λOP → , 所以(1+λ)OP 1 2 →= 所以OP 1 λ → + λ OP → = OP a+ b. 1 2 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 1 6. 如果 3e1+4e2=a,2e1+3e2=b, 其中 a, b 为已知向量, 则 e1=________, e2=________. ? ?a=3e1+4e2, 解析:由? ? ?b=2e1+3e2, 答案:3a-4b 3b-2a → =2a+kb,CB → =a+b,CD → =2a- 7.设 a,b 是两个不共线向量,已知AB b,若 A,B,D 三点共线,则 k=________. → =a+b,CD → =2a-b, 解析:∵CB → =CD → -CB → =(2a-b)-(a+b)=a-2b. ∴BD ∵A,B,D 三点共线, → =λBD →, ∴AB ∴2a+kb=λ(a-2b)=λa-2λb. 又 a,b 是两个不共线向量, ? ?λ=2, ∴? ? ?k=-2λ, ∴k=-4. 答案:-4 8. 如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交 → =mOA → +nOB → ,则 m+n 的取值范围是________. 于圆 O 外一点 D,若OC 解得 e1=3a-4b,e2=3b-2a. → =λBA → (λ>1), → =OB → +λBA → =λOA → 解析: 由点 D 是圆 O 外一点, 可设BD 则OD → .又 C, → =-μOC → (μ>1), → =-λ · → -1-λ +(1-λ)OB O, D 三点共线, 令OD 则OC OA μ μ 1 -λ 1 λ λ 1-λ → OB(λ>1,μ>1),所以 m=-μ,n=- μ ,且 m+n=-μ- μ =-μ∈(- 1,0). 答案:(-1,0) 9.已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2, c=7e1-4e2,试用向量 a 和 b 表示 c. 解:∵a,b 不共线,∴可设 c=xa+yb, 则 xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1- 4e2. 又∵e1,e2 不共线, ? ?3x-2y=7, ∴? ? ?-2x+y=-4, ? ?x=1, 解得? ? ?y=-2, ∴c=a-2b. 10.如图,在?ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 DE 与 BF → → → → → 的交点,若AB=a,AD=b,试以 a,b 为基底表示DE,BF,CG. → =AE → -AD → =AB → +BE → -AD → 解:连接 AE,AF,(图略).DE 1 1 =a+ b-b=a- b, 2 2 → =AF → -AB → =AD → +DF → -AB → BF 1 1 =b+ a-a=b- a. 2 2 因为 G 是△CBD 的重心, → =1CA → =-1AC → =-1(a+b). 所以CG 3 3 3 [B.能力提升] 1. 如果 e1, e2 是平面 α 内所有向量的一组基底, 那么下列说法正确的是( A.若实数 λ1,λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.对空间任意向量 a 都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内,λ1,λ2∈R D.对于平面 α 内任意向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 有无数对 解析:选 A.B 错,这样的 a 只能与 e1,e2 在同一平面内,不能是空间任一 向量;C 错,在平面 α 内任意向量都可表示为 λ1e1+λ2e2 的形式,故 λ

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