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专题31 空间中直线、平面平行位置关系的证明方法 备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 含解析

【高考地位】 立体几何是高考的重点内容之一,每年高考大题必有立体几何题,尤其是第一问主要考查证明线面 垂直、平行,面面垂直等问题,解决这类问题的 方法主要有:几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中 档题. 【方法点评】 方法一 使用情景:转化的直线或平面比较容易找到 解题模板:第一步 第二步 第三步 按照线线平行得到线面平行,进而得出面面平行的思路分析解答; 找到关键的直线或平面; 得出结论. 几何法 BC 和 B1C1 的中点. 例 1 如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, D, D1 分别是 (1)求证: A 1D 1 / / 平面 AB 1D (2)若平面 ABC ? 平面 BCC1B1 , ?B1BC ? 60? ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积. (方法 2)在 ?B1 BC 中,因为 B1B ? BC, ?B1BC ? 60? , 所以 ?B1 BC 为正三角形,因此 B1D ? BC . 因为平面 ABC ? 平面 B1C1CB ,交线为 BC , B1D ? 平面 B1C1CB , 所以 B1D ? 平面 ABC ,即 B1D 是三棱锥 B1 ? ABC 的高. 在 ?ABC 中,由 AB ? AC ? BC ? 4 ,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 3 2 ?4 ? 4 3 . 4 在 ?B1 BC 中,因为 B1B ? BC ? 4, ?B1BC ? 60? ,所 以 B1D ? 2 3 . 所以三棱锥 B1 ? ABC 的体积 V ? 1 1 ? S ?ABC ? B1 D ? ? 4 3 ? 2 3 ? 8 . 3 3 【点评】证明线面平行的思路一般有两种:一是在所证的平面内找到一条直线与已知直线平行即可;二 是通过证明已知直线所在的平面与已知平面平行,进而得到这条直线与已知平面平行的结论. 例 2 已知四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形.点 M、N、Q 分别在 PA、BD、PD 上,且 PM : MA = BN : ND = PQ : QD.求证:平面 MNQ∥平面 PBC. 【答案】详见解析. 【点评】由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于 一个平面后,转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 【变式演练 1】 如图,正方形 AMDE 的边长为 2, B、C 分别为线段 AM 、MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD、PC 分别交于点 G、H . 求证: AB / / FG ; 【答案】详见解析. 【解析】 试题分析:证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻 找与论证,往往需要结合平几条件,如本题利用正方形性质得 AB / / DE ,从而有 AB / / 平面 PDE .而 线线平行的证明,一般利用线面平行性质定理,即从两平面交线出发给予证明. 试题解析:证明:在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB / / DE . 又因为 AB ? 平面 PDE ,所以 AB / / 平面 PDE .因为 AB ? 平面 ABF ,且平面 ABF ? 平面 PDE ? FG ,所以 AB / / FG . 【变式演练 2】如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? AA1 ? 3 , AC ? BC ,点 M 在线段 AB 上. 若 M 是 AB 中点,证明: AC1 / / 平面 B1CM . 【答案】详见解析. 【解析】 试题分析:证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻 找与论证,往往需要结合平几知识,如本题利用三角形中位线性质得线线平行. 试题解析:证明:连结 BC1,交 B1C 于 E, 连结 ME. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,M 是 AB 中点,所以侧面 BB1C1C 为矩形, ME 为△ABC1 的中位线,所以 ME// A C1. 因为 ME ? 平面 B1CM, AC1 ? 平面 B1CM,所以 AC1∥平面 B1C. 【变式演练 3】已知正方体 ABCD –A1B1C1D1 证:平面 AB1D1∥平面 C1BD. 【答案】详见解析. 考点:空间直线与平面的平行的判定及性质. 【变式演练 4】已知:空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB、AD 的中点.求证 EF∥平面 BCD. 【答案】详见解析. 考点:空间直线与平面的平行的判定及性质. 方法二 空间向量法 使用情景:转化的直线或平面不容易找到,而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出 解题模板:第一步 第二步 第三步 建立适当的 空间直角坐标系; 分别写出各点的坐标,求出直线方向向量; 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可. 例 3 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点,求证:MN∥平面 A1BD. 【答案】详见解析. 【解析】 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设 1 1 正方体的棱长为 1,则可得 M(0,1, ),N( ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0). 2 2 【点评】用向量证明线面平行的方法有: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行; ( 3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示; (4)本题易错点为:只证明 MN∥A1D,而忽视 MN?平面 A1BD. 【变式演练 5】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求

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