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【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件:1-7-1(选修4-1)


第一部分

高考专题串串讲

第一版块

专题知识突破

专题七

选考内容

第一讲 几何证明选讲(选修4-1)

考情分析 真题体验

知识方法 考点串联

高频考点 聚焦突破

多维探究 师生共研

考情分析· 真题体验
明确备考方向 实战高考真题

考 情 剖 析 1.主要考查三角形相似的应用、圆中的切割线定理、同弧圆周 角之间的关系,以及圆的相关性质,对上述内容的考查大多以圆为 载体,在三角形中进行计算或证明. 2.考查的形式因省份不同而不同,既有选择题与填空题,也有 解答题,难度一般不大,属于中低档题.

真 题 感 悟

1.(2014· 广东卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上 △CDF的面积 且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 =________. △AEF的面积

解析 因为 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥DC, 且 AB=DC, △CDF的面积 ?CD?2 CD AB 于是△CDF∽△AEF,且 = =3 ,因此 =? AE ? AE AE △AEF的面积 ? ? =9.

答案

9

2.(2014· 陕西卷)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半 圆分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________.

解析 由已知得四边形 BCFE 为圆的内接四边形,因此∠AEF =∠ACB,∠AFE=∠ABC,所以△AEF∽△ACB,于是有 而 AC=2AE,BC=6,所以 EF=3. AE EF = , AC CB

答案

3

3.(2014· 湖南卷)如图,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥ BC,AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________.

解析

如图,连接 BO,由已知 AO⊥BC,可得 E 是 BC 的中

点,即 BE= 2,故 AE= AB2-BE2=1.在 Rt△BOE 中,OB2=BE2 3 +OE2,即 r2=( 2)2+(r-1)2,解得 r=2.

3 答案 2

4.(2014· 湖北卷)如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条 切线, 切点分别为 A, B.过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C, D 两点. 若 QC=1,CD=3,则 PB=________.

解析 PA 切⊙O 于点 A,由切割线定理可得 QA2=QC· QD= 1×(1+3)=4.∴QA=2,∴PA=2×2=4.又 PA=PB,∴PB=4.
答案 4

5.(2014· 重庆卷)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作 割线 PBC 依次交圆于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB= ________.

解析

如图所示,根据切割线定理,得 PA2=PB· PC,

又因为 PC=PB+BC, 且 PA=6,BC=9, 所以 36=PB· (PB+9), 解得 PB=3. 在△PAC 中,根据余弦定理 AC2+PC2-AP2 cos∠ACP= , 2AC· PC

82+122-62 43 即 cos∠ACP= =48, 2×8×12 在△ ACB 中,根据余弦定理 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC· BCcos ∠ 43 ACB=8 +9 -2×8×9×48=16,
2 2

所以 AB=4.

答案

4

知识方法· 考点串联
连点串线成面 构建知识体系

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么 在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等. ②推论:经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一 腰.

(2)平行截割定理及其推论 ①定理:两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得 的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形 与原三角形对应边成比例. 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 ①判定定理

a.两角对应相等的两个三角形相似. b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. c.三边对应成比例的两个三角形相似. ②推论:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的 三角形与原三角形相似. ③直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

(2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比, 面积比等于相似比的 平方. (3)直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与 斜边的乘积, 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘 积.

3.圆的切线 (1)切线的性质及判定 ①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. ②切线的判定定理: 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆 的切线. (2)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等.

4.相交弦定理 圆的两条相交弦,被交点分成的两段的积相等. 5.切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线, 切线长是这点到割线 与圆的两个交点的线段长的等比中项.

6.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理: ①圆的内接四边形的对角互补. ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形判定定理: 如果一个四边形的对角互补, 那么这个四边形的四个顶点共圆.

高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系

考点一 【例 1】

相似三角形的判定与性质

如图所示,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是⊙O 的直径.

(1)求证:AC· BC=AD· AE; (2)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F,若 AF=4,CF =6,求 AC 的长. 课堂笔记 (1)证明:连接 BE,则△ABE 为直角三角形.

因为∠ABE=∠ADC=90° ,∠AEB=∠ACB,

所以△ABE∽△ADC. 则 AB AE = , AD AC

即 AB· AC=AD· AE. 又 AB=BC, 所以 AC· BC=AD· AE. (2)因为 FC 是⊙O 的切线,

所以 FC2=AF· BF. 又 AF=4,FC=6, 所以 BF=9,AB=BF-AF=5. 因为∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC, AF AC 所以△AFC∽△CFB.则CF=BC, AF· BC 10 即 AC= CF = 3 .

[方法规律] 选择判定定理.

判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活

(1)证明三角形相似,往往可以转化为证明角相等,而证明角相 等的方法有:弦切角、圆周角、圆心角等相关结论. (2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例, 而证明线 段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理 等.

对 点 训 练

AB BC AC 7 1.如图所示,在△ABC 和△DBC 中,DB=DC=BC=3,若 △ABC 与△DBC 的周长之差为 12 cm, 则△ABC 的周长为________.

解析 由相似三角形的性质定理: 相似三角形周长的比等于相 7 x 似比,设△ABC 的周长为 x,则3= ,解得 x=21. x-12
答案 21

2.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 E.若 AB=6,ED =2,则 BC=________.

解析 连接 OC,则 OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90° , ∵∠OAC=∠OCA, ∴∠OAC +∠ACE =90° ,又△ACB ≌△ACD,则∠OAC =∠ EAC,∴∠EAC+∠ACE=90° ,∴∠AEC=90° , 在 Rt△ACD 中,CD2=ED· AD,又 CD=BC,AD=AB 将 AB =6,ED=2,代入得 CD=2 3,所以 BC=2 3.
答案 2 3

考点二

圆的内接四边形问题

【例 2】

如图所示,在△ABC 中,AB=AC=4,D 是 AC 的

中点,E 是 BC 上一点,AE 与 DB 交于点 F,∠BAE=∠CBD. (1)求证:C,D,F,E 四点共圆; (2)已知 BF=2,求 FD 的长.

课堂笔记 (1)因为 AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB. 因为∠BAE=∠CBD, 所以△ABE∽△BCD. 所以∠AEB=∠BDC. 所以 C,D,E,F 四点共圆. (2)由(1),知△ABE∽△BCD,

所以

AB BE = . BC CD

因为 AB=AC=4,D 是 AC 的中点, 所以 BC×BE=AB×CD=8. 又由(1)知 C,D,E,F 四点共圆, 所以 BF×BD=BE×BC=8, 因为 BF=2, 所以 BD=4. 所以 FD=BD-BF=2.

[方法规律] 圆内接四边形问题求解策略 (1)四点共圆(圆内接四边形)的判定与性质,在近几年高考中常 常出现,多与其他知识点综合考查,往往作为证明其他命题结论的 桥梁,解决此类问题的关键是掌握对角的互补关系,外角与其内角 的对角的相等关系,同边所形成的弦、角的等量关系等.

(2)圆内接四边形问题一般转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆 外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题,然后再利用题目中 所给条件解决问题. ①在平面几何中求角的大小, 经常考虑用三角形内角和定理及 其推论; ②在圆中求角的大小经常需要用与圆有关的角的定理.

对 点 训 练

3.(2014· 江苏卷)如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位 于 AB 异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.

证明 因为 B,C 是圆 O 上的两点, 所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.

4.如图所示,A、B、C、D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A、B、 G、F 四点共圆.

解 (1)因为 EC=ED, 所以∠EDC=∠ECD. 因为 A、B、C、D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,故 ∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB.

(2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG, 故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠EAB=∠EBA,所以∠ FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180° .故 A、B、G、F 四点共圆.

考点三

相交弦、切割线定理的应用

【例 3】 (2014· 课标全国卷Ⅱ)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是 切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

课堂笔记

(1)连线 AB,AC,由题设知 PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠ DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD, ︵ ︵ 从而BE=EC. 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC, 所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 所以 AD· DE=2PB2.

[方法规律]

(1)与圆有关的比例线段的证明要诀:相交弦、切

割线定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理,辅助线来 搭桥,第三比作介绍. (2)在几何证明中, 如果题目给的条件较为分散, 可以通过添加 辅助线,使分散的条件适当集中,要善于从式子结构中联想相关的 定理,多个角度思考问题,从中找出可行方案.如果能熟练掌握几 个基本图形,把所要证明的图形转化为基本图形,可使证明思路更 明确,更快捷.

对 点 训 练

5.(2014· 天津卷)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的 平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延 长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠ CBF;②FB2=FD· FA;③AE· CE=BE· DE;④AF· BD=AB· BF.则所 有正确结论的序号是( A.①② C.①②③ ) B.③④ D.①②④

解析

由弦切角定理知∠FBD=∠BAD,

∵AD 平分∠BAC,∠CBD=∠CAD, ∴∠BAD=∠DBC. ∴∠FBD=∠CBD, 即 BD 平分∠CBF,∴①正确; 由切割线定理知,FB2=FD· FA,∴②正确;

由相交弦定理知,AE· ED=BE· EC,∴③不正确; AB AF ∵△ABF∽△BDF,∴BD=BF. ∴AF· BD=AB· BF,∴④正确.故选 D.
答案 D

6.如图所示,AC 为⊙O 的直径,OB⊥AC,弦 BN 交 AC 于点 ︵ M.若 OM=1, BM=2, 则劣弧 BAN 所对圆周角的弧度数为________.

解析 在 Rt△BOM 中,OB= BM2-OM2= 22-12= 3,即 圆 O 的半径为 r= 3. 由相交弦定理,可得 CM· MA=BM· MN, 即( 3+1)( 3-1)=2MN,可得 MN=1. 连接 ON,在△OBN 中,OB=ON= 3,BN=BM+MN=3, OB2+ON2-BN2 由 余 弦 定 理 可 得 cos ∠ BON = = 2×OB×ON ? 3?2+? 3?2-32 1 =-2. 2× 3× 3

2π ︵ 故∠BON= 3 ,劣弧 BAN 所对圆周角的弧度数为 1 1 2π π ∠ BON = 2 2× 3 =3.

答案

π 3


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