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1.1.1正弦定理课后习题


1.1.1 正弦定理
1.在△ABC 中,若 sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )

解析:用正弦定理可以将条件:sin2A=sin2B+sin2C 化为 a2=b2+c2,故此三角形是直 角三角形. 答案:B 2.在△ABC 中,b=30,c=15,C=26° ,则此三角形解的情况是( A.一解 C.无解 B.两解 D.无法确定 )

解析:因为 b=30,c=15,C=26° ,所以 c>bsin C,又 c<b,所以此三角形有两解. 答案:B 3. 在锐角△ABC 中, 角 A、 B 所对的边长分别为 a、 b.若 2asin B= 3b, 则角 A 等于( π A. 12 π C. 4 解析:由正弦定理得 答案:D a+b+c 4.在△ABC 中,A=60° ,a= 13 ,则 等于( sin A+sin B+sin C 8 3 A. 3 26 3 C. 3 2 39 B. 3 D.2 3 ) π B. 6 π D. 3 a b 3 π = ,所以 sin A= ,所以 A= . sin A sin B 2 3 )

a+b+c a 13 解析: 由 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C 得 =2R= = sin A sin 60° sin A+sin B+sin C 2 39 = . 3 答案:B 1 5.在△ABC 中,若 B=60° ,sin A= ,BC=2,则 AC=________. 3 sin B 解析:根据正弦定理得 AC= · BC=3 3 . sin A 答案:3 3

2sin A-sin B 6.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶3∶5,则 的值为________. sin C 解析:∵a∶b∶c=1∶3∶5,∴b=3a,c=5a.由正弦定理得 sin B=3sin A,sin C=5sin A, ∴ 2sin A-sin B 2sin A-3sin A 1 = =- . sin C 5sin A 5

1 答案:- 5 7.已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=c= 6+ 2,且 A=75° , 求 b 的值. 解:sin A=sin 75° =sin(30° +45° )= 由 a=c= 6+ 2,可知 C=75° , 1 所以 B=30° ,sin B= . 2 6+ 2 4 asin B 由正弦定理得 b= = × =2. sin A 6+ 2 2 6+ 2 , 4

sin A cos B cos C 8.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 中最长的边是( a b c A.a C.c B .b D.b 或 c

)

解析:由正弦定理知 sin B=cos B,sin C=cos C,所以 B=C=45° ,所以 A=90° ,故选 A. 答案:A 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A +cos2B=( 1 A.- 2 C.-1 ) 1 B. 2 D.1

解析:由 acos A=bsin B 可得 sin Acos A=sin2 B,所以 sin Acos A+cos2 B=sin2 B+cos2 B=1. 答案:D π 10.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tan A=2,则 sin A=________;a=________. 4 解析:由 tan A=2,得 sin A=2cos A. 又 sin2 A+cos2 A=1,

2 5 得 sin A= , 5 π 又∵b=5,∠B= , 4 a b 根据正弦定理,得 = , sin A sin B bsin A 2 5 ∴a= = =2 10. sin B 2 2 2 5 答案: 5 2 10

11.在△ABC 中,如果 A=60° ,c=4,a= 6,判断三角形解的情况. 解:解法一:由题意知:csin A=4· sin 60° =2 3, ∵2 3> 6,∴csin A>a, ∴此题无解. 解法二:由正弦定理得: 4× a c = , sin A sin C

csin A ∴sin C= = a ∴此题无解.

3 2 = 2>1, 6

12. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 解:由 A-C=90° ,得 A 为钝角且 sin A=cos C,利用正弦定理,a+c= 2b 可变形为 sin A+sin C= 2sin B, 又因为 sin A=cos C, 所以 sin A+sin C=cos C+sin C= 2sin(C+45° ), 因为 sin(C+45° )=sin B, 又 A、B、C 是△ABC 的内角,故 C+45° =B 或(C+45° )+B=180° (舍去), 所以 A+B+C=(90° +C)+(C+45° )+C=180° . 所以 C=15° .

13.△ABC 的各边均不相等,设 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 acos A=bcos B, a+b 求 的取值范围. c 解:∵acos A=bcos B, ∴sin Acos A=sin Bcos B,

∴sin 2A=sin 2B. ∵2A,2B∈(0,2π), ∴2A=2B 或 2A+2B=π, π ∴A=B 或 A+B= . 2 如果 A=B,则 a=b 不符合题意, π ∴A+B= . 2 ∴ a+b sin A+sin B = =sin A+sin B c sin C

π? =sin A+cos A= 2sin ? ?A+4?, π ∵a≠b,C= , 2 π? π ∴A∈? ?0,2?且 A≠4, ∴ a+b ∈(1, 2). c


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