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人教B版高中数学-选修2-3教学案-正态分布(Word)

数学 _2.4 正态分布 [对应学生用书P39] 1.正态曲线 1 e- 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)= 2π· σ ? x-? ?2 2? 2 ,x∈R,其中参数 μ 为正 态分布变量的数学期望,μ∈(-∞,+∞);σ 为正态分布变量的标准差,σ∈(0,+∞).正 态变量的概率密度函数(即 f(x))的图象叫做正态曲线. 期望为 μ,标准差为 σ 的正态分布通常记作 N(μ,σ2),μ=0,σ=1 的正态分布叫标准 正态分布. 2.正态曲线的性质 (1)曲线在 x 轴的上方,并且关于直线 x=μ 对称; (2)曲线在 x=μ 时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中 间高,两边低”的形状; (3)曲线的形状由参数 σ 确定,σ 越大,曲线“矮胖”;σ 越小,曲线越“高瘦”. 3.正态分布的 3σ 原则 P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%; P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.4%; P(μ-3σ<X<μ+2σ)=99.7%. 可知正态变量的取值几乎都在距 x=μ 三倍标准差之内,这就是正态分布的 3σ 原则. 1.正态分布密度函数及正态曲线完全由变量 μ 和 σ 确定.参数 μ 是反映随机变量取值 的平均水平的特征数, 可以用样本的均值去估计; σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数, 可以用样本的标准差去估计. 2.对于正态曲线的性质,应结合正态曲线的特点去理解、记忆. [对应学生用书P40] 正态分布的概念及正态曲线的性质 [例 1] 如图所示是一个正态曲线, 试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解 析式,求出总体随机变量的期望和方差. 数学 [思路点拨] 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出 总体随机变量的期望、标准差及解析式. [精解详析] 从给出的正态曲线可知, 该正态曲线关于直线 x=20 对称, 最大值是 所以 μ=20. 由 1 1 = ,得 σ= 2. 2π· σ 2 π , 2 π 1 于是概率密度函数的解析式是 f(x)= 1 2 π · ? x-20 ?2 e- 4 ,x∈(-∞,+∞), 总体随机变量的期望是 μ=20,方差是 σ2=( 2)2=2. [一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ,具体方法如下: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结合图象求 μ. (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值,由此性质结合图象可求 σ. 1 e- 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)= 8π 这个正态总体的均值与标准差分别是( A.10 与 8 C.8 与 10 1 e- 解析:由正态曲线 f(x)= 2πσ ? x-? ?2 2?2 ? x-10 ?2 8 ,则 ) B.10 与 2 D.2 与 10 知, ? ? 2πσ= 8π, ? 即 μ=10,σ=2. ?μ=10, ? 答案:B 2 2 2.如图是正态分布 N(μ,σ2 1),N(μ,σ2),N(μ,σ3)(σ1,σ2,σ3>0)相应的曲线,那么 σ1, σ2,σ3 的大小关系是( ) 数学 A.σ1>σ2>σ3 C.σ1>σ3>σ2 B.σ3>σ2>σ1 D.σ2>σ1>σ3 解析:由 σ 的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,σ2 越小,故有 σ1>σ2>σ3. 答案:A 正态分布中的概率计算 [例 2] 在某项测量中,测量结果服从正态分布 N(1,4),求正态总体 X 在(-1,1)内取值 的概率. [思路点拨] 解答本题可先求出 X 在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于 x=1 对称知,X 在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半. [精解详析] 由题意得 μ=1,σ=2, 所以 P(-1<X<3)=P(1-2<X<1+2)=0.682 6. 又因为正态曲线关于 x=1 对称, 1 所以 P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)=0.341 3. 2 [一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性, 把待求区间内的概率向已知区间 内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用. 3.若随机变量 X~N(μ,σ2),则 P(X≤μ)=________. 1 解析:若随机变量 X~N(μ,σ2),则其正态密度曲线关于 x=μ 对称,故 P(X≤μ)= . 2 答案: 1 2 4.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c=________. 解析:∵μ=2,P(X>c+1)=P(X<c-1), c+1+c-1 ∴ =2,解得 c=2. 2 答案:2 5.若 X~N(5,1),求 P(5<X<7). 解:∵X~N(5,1),∴μ=5,σ=1. 数学 因为该正态曲线关于 x=5 对称, 1 1 所以 P(5<X<7)= P(3<X<7)= ×0.954 4=0.477 2. 2 2 正态分布在实际生活中的应用 [例 3] (10 分)据调查统计,某市高二学生中男生的身高 X(单位:cm)服从正态分布 N(174,9).若该市共有高二男生 3 000 人,试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人 数. [思路点拨] 因为 μ=174,σ=3,所以可利用正态分布的性质可以求解. [精解详析] 因为身高 X~N(174,9), 所以 μ=174,σ=3, 所以 μ-2σ=174-2×3=168, μ+2σ=174+2×3=180, 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ=174. 所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等,均为 0.477 2, 故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人). [一点通]

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