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山东省高密市第三中学2016届高三数学(理)一轮复习学案4-2三角变换(无答案)

第四章 4.2 三角函数 三角变换 班级: 姓名: (课前预习案) 考纲要求 1.对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角 形等知识结合为命题的热点. 2. 要充分把握三角函数的变换规律. 三角变换时, 需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1 的代换”等技巧, 追求“名、 角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一,其中角的变换是三角变换的核心. 基础知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin α +cos α =1(α ∈R). π sin α ? α ≠kπ + ,k∈Z? (2)商数关系:tan α = ? ? 2 cos α ? ? 2.三角函数的诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ + α (k∈ Z) sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α cos α sin α cos α -sin α π +α -α π -α π -α 2 π +α 2 2 2 3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ;cos(α ?β )=cos α cos β ±sin α sin β ; tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin α cos α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 5.公式的常用变形 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 π? ? 2 (3)1±sin 2α =(sin α ±cos α ) ,sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 6.角的变换技巧 α =(α +β )-β ;α =β -(β -α ); 1 α = [(α +β )+(α -β )]; 2 1 β = [(α +β )-(α -β )]; 2 cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2 2 2 2 π π ?π ? +α = -? -α ?. 4 2 ?4 ? 预习自测 π? 1 1.已知 sin 2α= ,则 cos2? ?α-4?=( 3 1 A.- 3 2 B.- 3 1 C. 3 ) D.4 ) ) 2 D. 3 π 1 π α- ?= ,则 tan?α+ ?=( 2.设 tan? 4 4 ? ? 4 ? ? A.-2 B.2 C.-4 π ? ?π ? 3.若 α∈? ?2,π?,且 3cos 2α=sin?4-α?,则 sin 2α 的值为( 1 A. 18 1 B.- 18 17 C. 18 17 D.- 18 π ? 4 4.已知 α∈? ?2,π?,sin α=5,则 tan α=________. π ? π π ? ? sin? cos? cos? ?2+α?· ?2-α? sin?π-α?· ?2+α? 5.化简: + =________. cos?π+α? sin?π+α? 6.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan2α+sin α 1 1+ 2 =________. tan α (课内探究案) 典型例题 考点一 同角三角函数的基本关系 1 例 1.已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 3π ? 变式 1.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+sin 2α. 考点二 三角函数的诱导公式 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin? ?-α+ 2 ? 例 2.化简: cos?-α-π?sin?-π-α? 5π ? 1 变式 2.(1)已知 sin? ? 2 +α?=5,那么 cos α=( 2 A.- 5 1 B.- 5 1 C. 5 2 D. 5 ) sin?kπ+α? cos?kπ+α? (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ) (3)sin 600° +tan 240° 的值等于________. π ? 3 ?5π ? (4)已知 tan? ?6-α?= 3 ,则 tan? 6 +α?=________. 考点三 和差角、倍角的应用 π ? 5 例 3.已知 α∈? ?2,π?,sin α= 5 . π ? (1)求 sin? ?4+α?的值; 5π ? (2)求 cos? ? 6 -2α?的值. π ? 3 变式 3.(1)已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5 cos 2α π? 2sin? ?α+4? =________. π ? (2)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. 考点四 公式的变形应用 π 1 ? 例 4(1)已知 sin α+cos α= ,则 sin2? ?4-α?=( 3 1 A. 18 17 B. 18 8 C. 9 D. ) D.- 3 2 2 9 ) sin 110° sin 20° (2)计算 2 的值为( cos 155° -sin2155° 1 A.- 2 1 B. 2 C. 3 2 π? 4 3 ? π? 变式 4.(1)已知

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