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高中数学《不等式的证明》公开课优秀教学设计二

《不等式的证明--分析法与综合法》教学设计 一、教学内容解析 本节课是上海教育出版社出版的数学教材高一年级第一学期第二章《不等 式》的第五节的第二课时.本节课是建立在已掌握不等式的基本性质、基本不等 式、用比较法证明不等式的基础上,继续学习分析法和综合法证明不等式. 数学证明对于发展逻辑思维能力有着极其重要的作用, 通过对证明方法的学 习, 养成言之有理、 论证有据的习惯. 数学证明的基本方法包括分析法、 综合法、 数学归纳法、反证法等.本节课主要学习如何利用分析法与综合法证明不等式. 综合法的特点是正向思维, 能利用已有的经验和方法, 发挥思维定向的积极 作用,有利于发展求同思维.分析法的特点是逆向思维,能增大思维的发散量, 克服思维定势的某些消极影响,有利于发展求异思维.证明不等式,既要求能综 合运用有关的知识,又要求能选择合理的方法,还要掌握“相等”与“不等”的 对立转化,这需要从事物的联系、转化和矛盾发展中去整体把握研究对象. 总之, 证明不等式对发展思维能力具有重要的作用,于是不等式的证明在数 学教学中的重要作用就凸显出来了. 二、教学目标设置 【教学目标】 1.理解用分析法与综合法证明不等式的基本思路,会运用分析法与综合法 解决有关不等式证明的问题; 2.在探索不等式证法的过程中,提升逻辑推理能力,发展正向、逆向的数 学思维及数学抽象能力,发展数学表达、交流的能力;在例题阅读的过程中,提 升数学阅读能力,形成严谨的思维; 3.在参与数学学习和问题解决的活动中,养成批判思维的习惯,一丝不苟 的作风和锲而不舍的精神. 【教学重点】用分析法与综合法证明不等式. 【教学难点】寻找运用分析法、综合法解决问题的策略. 三、学生学情分析 本节课是借班上课,指定对象为上海市育才中学高一(4)班的学生,课前 未与学生有过接触. 根据教学进度, 可知学生的知识经验是: 不等式的基本性质, 基本不等式,用比较法证明不等式,以及一定的数学证明能力. 四、教学策略分析 (一)符合学生认知规律的教学活动 1.利用逻辑框图突破分析法 分析法的教学难点在于, 让学生理解分析法的逻辑关系是自下而上的,在教 学中利用逻辑框图的推出关系, 帮助学生理解分析法的思维过程.逻辑框图易于 让学生发现分析法的本质, 即对欲证明的命题不知从何入手,或者所给条件形式 简单而结论复杂的时候,可以采用分析法,亦即从证明的结论出发,逐步寻找使 它成立的充分条件, 直至最后把要证明的结论归结为判定一个易证明其成立的条 件为止.正因如此,需要引入“欲证” 、 “只需证明”等关键词.分析法的证明过 程即为:求证 ?只需证明 ?? ?只需证明 ?已知. 2.借助分析法引出综合法 综合法是学生比较熟悉的证明方法.它是借助分析法的框图,按照自下而上 的书写格式完成证明,即从已知条件出发,利用定义、公理、定理为基础,在严 密的演绎推理下,推导出所要证明的结论,通常把这种证明方法称为综合法.综 合法的证明过程为:已知 ? 可知 ? ? ? 可知 ? 求证,就是依次得出已知的一系 列的必要条件,且最后一个必须包含要证明的命题的结论时,命题得证.在证明 时,要善于观察题目的特点,寻求已知和求证之间沟通的线索.在本章不等式的 证明中,利用综合法证明不等式时,常用到基本不等式等结论,为此本节课综合 法的教学中要引导学生学会观察欲证的不等式的特点, 如不等号方向、 系数特征、 次数特征、项数特征等,帮助学生理清综合法的证明思路. 3.建立关联,融会贯通 学生在了解了上述两种证明方法后, 可以感悟到证明不等式可根据题目的特 点选择分析法与综合法.如果题目的已知和求证之间关系脉络清晰、容易沟通, 那么考虑用综合法; 如果看不出要求证的不等式与已知条件的关系时,那么可以 利用分析法,寻求到易于证明的已知的充分条件,然后再证明.分析法、综合法 看似是两种方法,但他们只是证明方法的名称,他们之间是有区别也有联系的, 有时他们是单独地运用, 有时两种方法会同时使用, 如例题 3 的变式 2 就是分析 法、综合法结合的例题.事实上,实际问题经常是综合法、分析法的应用或综合 应用,我们也可以理解为:由“已知”推导“可知” ,由“求证”探究“只需证 明” ,最后建立“可知”与“只需证明”的关系的思维过程.本节课教学的较高 层次目标是让学生能感悟到, 分析法和综合法只是证明方法的名称,而真正精髓 的是思考问题的过程与方法,正如“手中无剑、心中有剑”是练功的最高境界, 证明不等式也一样. (二)关注学生学习体验的教学环节 1.文化熏陶,趣题引入 “大胆猜想,小心求证”是科学研究的基本要求,数学证明在数学史的长河 中有着重要的地位.在现实生活中,等量关系是相对的,不等量关系是绝对的, 因此,不等式的证明比等式的证明更重要.这是本节课的开场白,通过提纲挈领 的数学文化熏陶, 让学生充分感悟到不等式证明在数学教学中的重要性.之后通 过趣味迷宫题——小狗找骨头, 让学生在解决该问题过程中进行类比迁移,引出 分析法. 2.数学阅读,自主探索 数学阅读是数学学习的基本环节,阅读过程是学生思考和创造的过程,是学 生获取数学新知识的主要手段之一.数学阅读也是发展学生智力、提升学生数学 素养的重要途径. 本节课设置了学生阅读教材例题的环节,让学生经历自主探索 的过程, 同时引导学生关注证明的多种方法以及书写证明题时的严谨表达,提高 数学阅读的有效性. 3.理性构建,回归本质 学生通过本节课的学习, 可以感悟到证明不等式要先理解题意,然后根据题 目的特点拟定证明方案,然后再完成证明.证明结束后要养成回顾的好习惯,即 回看自己的证明过程, 如果用的是综合法,那么每一步推出的是否都是已知的必 要条件, 如果用的是分析法, 那么检查只需证明的命题是否是要求证的命题的充 分条件,逻辑关系不能出错.因此,证明不等式可以归纳为“理解题目” 、 “拟订 方案” 、 “执行方案”和“回顾”四大步骤.事实上,这是解决一类数学问

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