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山东省枣庄三中2016届高三10月阶段性教学质量检测数学理及答案_图文

枣庄市第三中学 2016 届高三 10 月阶段教学质量检测 数学理
时间:120 分钟 满分:150 分 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确的答案填在答题卡上) 1、设全集 U ? R, A ? x | x ? x ? 3? ? 0 , B ? ? x | x ? ?1? ,则右图中阴影部分表示的集合( A. ? x | ?3 ? x ? ?1? C. ? x | x ? 0? B. ? x | ?3 ? x ? 0? D. ? x | x ? ?1?
2

?

?



U A

2、已知函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? A.0 B.2 C.-2 D.-1

1 ,则 f ? ?1? ? x

B BBT TTG GG HH

( )

3、函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 f ?1? ? f ? ?1? 的值是 ( ) A.3 B.-3 C .2
x2 ? 2 x

?

?

D.-2 ( )

4、已知 a ? 1 , f ? x ? ? a A. -1 ? x ? 0

,则使 f ? x ? ? 1 成立的一个充分不必要条件是 C. -2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

B. -2 ? x ? 1

5 、已知函数 f ? x ? ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像,只需要将

y ? f ? x ? 图像( )
A.向右平移

?
4

个单位长度

B.向左平移

?
4

个单位长度

C.向右平移

?
8

个单位长度

D.向左平移

?
8

个单位长度

2 2 6、已知命题 p : 若 x ? y ,则 ? x ? ? y ;命题 q : 若 x ? y ,则 x ? y ;在下列命题中:

?1? p ? q; ? 2 ? p ? q; ? 3? p ? ? ?q ? ; ? 4 ?? ?p ? ? q, 真命题是
A.(1) (3) B.(1) (4) C.(2) (3) D.(2) (4)

( )

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 7、 f ? x ? ? ? 则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集是 ? x ? 6, x ? 0

( )

A. ? ?3,1? C. ? ?1,1?

? 3, ?? ? ? 3, ?? ?

B. ? ?3,1? D. ? ??, ?3?

? 2, ?? ? ?1,3?

8、如图,虚线部分是四个像限的角平分线,实线部分是函数 y ? f ? x ? 的部分图像,则 f ? x ? 可能 是 ( ) A. x 2 cos x C. x sin x B. x cos x D. x 2 sin x

9、已知函数 f ? x ? ? ?

?? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? ,直线 y ? k 与函数 f ? x ? 的图像相交于四个不同的点, 2 ? ln x , x ? 0 ? ?
2

交点的横坐标从小到大依次记为 a, b, c, d,则 a ? b ? c ? d 的取值范围是( )
2 A. ? ?0, e ? ?

B. ? ?0, e

?

4 C. ? ?0, e ? ?
?x

D. ? ?0, e

4

?

10、已知 f ? x ? ? a ? x ? 2a ?? x ? a ? 3? , g ? x ? ? 2

? 2 ,同时满足以下两个条件:

① ?x ? R, f ? x ? ? 0 或 g ? x ? ? 0 ;② ?x ? ?1, ?? ?,f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是 ( )

A. ? ?4, ? 1?

1? ? ? ?1, ? ? 2? ?

B. ? ??, ?4 ?

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

C. ? ?4, ?1?

? ?1, 0 ?

D. ? ?4, ?2 ?

1? ? ? ?1, ? ? 2? ?

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、

?

2

0

4 ? x 2 dx ? ________
3 , 则 cos 2? ? ____ 3

12、已知 ? 为第二像限角, sin ? ? cos ? ?

13 、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 : f ?1? ? 1 ,且对于任意的 x ? R ,都有 f ? ? x ? ?

1 ,则不等式 2

f ? log 2 x ? ?

log 2 x ? 1 的解集为______ 2

14、已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,满足 f ? ?

? 3 ? ?3 ? ? 3? ? x ? ? f ? ? x ? ,当 x ? ? 0, ? 时, ? 2 ? ?2 ? ? 2?

f ? x ? ? ln ? x 2 ? x ? 1? ,则函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 6? 上零点的个数是________
15、二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c, a 为正整数, c ? 1, a ? b ? c ? 1 ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有两个
2

小于 1 的不等正根,则 a 的最小值是______ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分). 16、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc. (I)求 A 的大小; (II)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

17、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? 期为 T ? ? . (I)求 f ?

? 3? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周 ? 2 ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

(II) 在 ?ABC 中, , 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , 若有 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,则求角 B 的 大小以及 f ? A ? 取值范围.

18、 (本题满分 12 分)某新开发旅游景点为扩大对外宣传,计划投入广告费 x (百万元) ,经调研知:

该景区的年总利润 y (百万元) 与 ?3 ? x ? x 其中 t 是常数,且 t ? ? 0, 2? .

2

成正比的关系, 当 x ? 2 时 y =32 .又有

x ? ? 0, t ? , 2 ?3 ? x ?

(I)设 y ? f ? x ? ,求其表达式,定义域(用 t 表示; (II)求年总利润 y 的最大值及相应的 x 的值.

19、 (本题满分 12 分)已知真命题: “函数 y ? f ? x ? 的图像关于点 P ? a, b ? 成中心对称图形”的充要 条件为“函数 y ? f ? x ? a ? ? b 是奇函数”. (I)将函数 g ? x ? ? x ? 3 x 的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函
3 2

数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ? x ? 图像对称中心的坐标; (II)求函数 h ? x ? = log 2

2x 图像对称中心的坐标; 4? x

(III) 已知命题: “函数 y ? f ? x ? 的图像关于某直线成轴对称图像” 的充要条件为 “存在实数 a 和 b , 使得函数 y ? f ? x ? a ? ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命 题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).

20、 (本题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? 1 ? a ? R ? .
x

(I)求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? x ln x 在定义域内零点个数.

21、 (本题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? =

m ? x ? n? x ?1

? m ? 0? .

(I)当 m ? 1 时,函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (II)若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在定义域内不单调,求 m ? n 的取值范围; (III)是否存在实数 a ,使得 f ?

? 2a ? ? x ? ax ? ? f ? e ? ? f ? ? ? 0 对任意正实数 x 恒成立?若存在,求 ? x ? ? 2a ?

出满足条件的实数 a ;若不存在,请说明理由.

数学(理)试题参考答案及评分标准
一 选择题 二 填空题 11 ACBAD CACDC 12

?

?

5 3

13

? 0, 2 ?

14 9

15

5

16.解析: (I)因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 所以 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,…………………………3 分 2bc 2

又因为 A ? ? 0, ? ? . 所以 A ?

? 3
6 , B ? ? 0, ? ? 3 3 3

…………………………5 分

(II)解:因为 cos B ?

所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ?

…………………………7 分

由正弦定理

a b ? , sin A sin B

…………………………9 分

得a ?

b sin A ?3 . sin B

…………………………10 分

因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 c 2 ? 2c ? 5 ? 0 ,解得 c ? 1 ? 6

因为 c ? 0 ,所以 c ? 故 ?ABC 的面积 S ?

6 ? 1 . ………………11 分
………………12 分

1 3 2+ 3 bc sin A ? 2 2

17.解: (I) f ? x ? ?

3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ?

3 1 1 sin ? x ? cos 2? x ? 2 2 2
………………2 分

?? 1 ? = sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?

2? y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? , =? ? ? =1 2?

?? 1 ? f ? x ? = sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
? 2? f? ? 3
(II)

………………4 分

2? ? ? 1 7? 1 ? ? ? ? ? ? sin ? ? ?1 ………………6 分 ? =sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

? 2a ? c ? cos B ? b cos C

? 由正弦定理可得: ? sin A ? sinC ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin? B ? C ? ? sin?? ? A? ? sin A
sin A ? 0 ? cos B ? 1 2 B ? ? 0,? ? ?B ?

?
3

………………9 分

A?C ?? ?C ?

2? 3

? 2? ? ? A ? ? 0, ? ? 3 ?

?2A ?

?

? ? 7? ? ??? , ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? 1? 6? ? 2 ? ?
………………12 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A ? = sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? 6? 2 ? 2? ?

19.解析: (I)平移后图像对应的函数解析式为 y ? ? x ? 1? ? 3 ? x ? 1? ? 2
3 2

整理得 y ? x ? 3 x,
3

由于函数 y ? x ? 3 x 是奇函数,
3

由题设真命题之,函数 g ? x ? 图像对称中心坐标是 ?1,-2 ? ………………4 分 (II)设 h ? x ? = log 2

2x 的对称中心为 P ? a, b ? , 4? x

由题设知函数 h ? x ? a ? ? b 是奇函数………………5 分 设 f ? x ? ? h ? x ? a ? ? b ,则 f ? x ? ? log 2

4 ? ? x ? a?

2? x ? a?

? b ,即 f ? x ? ? log 2

2 x ? 2b ?b 4?a? x

2 x ? 2b ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 ………………6 分 4?a? x 2 x ? 2b 此时 f ? x ? ? log 2 ? b, x ? ? ?2, 2 ? 4?a? x
由不等式 任取 x ? ? ?2, 2 ? ,由 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,得 b ? 1 所以函数 h ? x ? ? log 2

2x 图像对称中心的坐标是 ? 2,1? ………………10 分 4? x

(III)此命题是假命题 举反例说明:函数 f ? x ? ? x 的图像关于直线 y ? ? x 成轴对称图像,但是对任意实数 a 和 b , 函数 y ? f ? x ? a ? ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数. 修改后的命题: “函数 y ? f ? x ? 的图像关于直线 y ? x 成轴对称对称图像”的充要条件是 “函数 y ? f ? x ? a ? 是偶 函数” ………………12 分
x x

20. (I)由 f ? x ? ? e ? ax ? 1 ,则 f ? ? x ? ? e ? a . 当 a ? 0 时,对 ?x ? R 有 f ? ? x ? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ?? ? 上单调递 增………………2 分 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln a , 此时函数 f ? x ? 的单调增区间 ? ln a, ? ? ? ,单调减区间为 ? ? ?, ln a ? ………………4 分 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间 ? ? ? ? ? ? ; 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调增区间 ? ln a, ? ? ? ,单调减区间为

? ? ?, ln a ?

………………6 分

( II ) 函 数 F ? x ? ? f ? x ? ? x ln x 的 定 义 域

? 0? ? ?

, 由 F ? x? ? 0 , 得

ex ? 1 a? ? ln x ? x ? 0? ………………7 分 x
e x ? 1? ? x ? 1? ? ex ? 1 ? ln x ? x ? 0 ? ,则 h ? ? x ? ? 令 h ? x? ? ………………8 分 x x2
x 由于 x ? 0 , e ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1 时, h ? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h ? ? x ? ? 0

? 0.1?



故函数 h ? x ? 在 ? 0.1? 单调递减, 在 ?1, ? ? ? 上单调递增, 故 h ? x ? ? h ?1? ? e ? 1 ………………9 分 又由(I)知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ? x ? ? f ? ln a ? ? 0

ex ? 1 即 e ?1 ? x ? ?1 x
x

(随着 x ? 0 的增长, y ? e ? 1 增长速度越来越快,会超过 y ? x 并远远大于的增长速度,而
x

y ? ln x 的增长速度则会越来越慢,则当 x 且无限接近于 0 时, h ? x ? 趋向于正无穷大.)
当时 a ? e ? 1 ,函数 F ? x ? 有两个不同的零点………………11 分 当时 a ? e ? 1 ,函数 F ? x ? 有且仅有一个零点………………12 分 当时 a ? e ? 1 ,函数 F ? x ? 没有零点………………13 分 21. (I)解:当 m ? 1 时, g ? ? x ? ? 由 f ?? x? ?

1? n

? x ? 1?

2

,? y ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率 k ?

1? n 4

?

1? n 1 ? ?1 ? n ? 5 ………………3 分 4

1 x

? y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率 k ? 1

(II)易知函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的定义域 ? 0, ? ? ?

1 2 x ? 2 ? m ?1 ? n ? ? 2 ? m 1 ? n x ? 1 ? ? ? 1 m ?1 ? n ? x ? ? ? ? x 由题意, 得 y? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? ? ? 2 2 2 x ? x ? 1? x ? x ? 1? ? x ? 1?
x ? 2 ? m ?1 ? n ? ? 1 的最小值为负,? m ?1 ? n ? ? 4 ………………6 分 x

? m ? ?1 ? n ? ? ?
4

2

? m ?1 ? n ? ? 4 ? m ? ?1 ? n ? ? 4 ? m ? n ? 3 ………………8 分
? 2a ? ? x ? ax ? f ? e ? ? f ? ? ? ax ln 2a ? ax ln x ? ln x ? ln 2a ? x ? ? 2a ?

(III)令 ? ? x ? ? f ? 其中 x ? 0, a ? 0

则 ? ? ? x ? ? a ln 2a ? a ln x ? a ?

? ?? x? ? ? ?

a x

1 ax ? 1 ?? 2 ?0 2 x x

1 1 ,令 ? ? x ? ? a ln 2a ? a ln x ? a ? x x

? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 单调递减, ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? ? ? 必存在实根,不妨设 ? ? x0 ? ? 0
即 ? ? x ? ? a ln 2a ? a ln x0 ? a ?

1 1 ,可得 ln x0 = + ln 2a ? 1?*? ………………10 分 x0 ax0

? ? x ? 在区间 ? 0,x0 ? 上单调递增,在 ? x0 , ? ? ? 上单调递减,所以 ? ? x ?max =? ? x0 ?
? ? x0 ? = ? ax0 ? 1? ln a ? ? ax0 ? 1? ln x0 ,带入 ?*? 式得 ? ? x0 ? =ax0 +
根据题意 ? ? x0 ? =ax0 +

1 ?2 ax0

1 ? 2 ? 0 恒成立………………12 分 ax0

又根据不等式 ax0 +

1 1 时,等式成立 ? 2 ,当且仅当 ax0 = ax0 ax0

所以 ax0 +

1 1 1 带入 ?*? 式得 ln ? ln 2a ,即 =2 , ax0 =1,? x0 ? a a ax0

1 2 ………………14 分 ? 2a, a ? a 2
(一下解法供参考,请酌情给分) 解法 2:

? ? x ? ? ax ln 2a ? ax ln x ? ln x ? ln 2a = ? ax ? 1?? ln 2a ? ln 2 x ? , 其中 x ? 0, a ? 0
? 2a ? ? x ? ax ? f ? e ? ? f ? ? ? 0 对任意正数 x 恒成立 ? x ? ? 2a ?

根据条件 f ?

即 ? ax ? 1?? ln 2a ? ln 2 x ? ? 0 对任意正数 x 恒成立

? ax ? 1 ? 0 ? ax ? 1 ? 0 1 1 ? ? ? ?ln 2a ? ln x ? 0 且 ?ln 2a ? ln x ? 0 ,解得 ? x ? 2a且2a ? x ? a a ? ? a?0 a?0 ? ?


2 1 . ? x ? 2a 时上述条件成立时 a ? 2 a

解法 3: ? ? x ? ? ax ln 2a ? ax ln x ? ln x ? ln 2a = ? ax ? 1?? ln 2a ? ln 2 x ? , 其中 x ? 0, a ? 0 要使得 ? ax ? 1?? ln 2a ? ln 2 x ? ? 0 对任意正数 x 恒成立 等价于 ? ax ? 1?? 2a ? x ? ? 0 对任意正数 x 恒成立,即 ? x ? 设函数 ? ? x ? ? ? x ? 物线. 因此,根据题意,抛物线只能与 x 轴有一个交点,即

? ?

1? ? ? x-2a ? ? 0 对任意正数 x 恒成立 a?

? ?

1? ? ? x-2a ? ,则 ? ? x ? 的函数图像为开口向上,与 x 正半轴至少有一个交点的抛 a?

2 1 . ? 2a, 所以 a ? 2 a
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