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辽宁省实验中学分校2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016 学年辽宁省实验中学分校高一(上)期末数学试卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={2015,2016},非空集合 B 满足 A∪B={2015,2016},则满足条件的集合 B 的 个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 的定义域是( B. (1,2) C. (2,+∞) ) D. (﹣∞,2) ,则 a=( )

2.函数 y= A. (1,2]

3.已知空间中两点 A(1,2,3) ,B(4,2,a) ,且|AB|= A.1 或 2 B.1 或 4 C.0 或 2 D.2 或 4

4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(



A.56+12

B.60+12

C.30+6

D.28+6 )

5.直线 l 将圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 平分,且与直线 ﹣ =1 平行,则直线 l 的方程是( A.2x﹣y﹣4=0 B.x+2y﹣3=0 C.2x﹣y=0 D.x﹣2y+3=0 , , ,则(

6.设 a,b,c 均为正数,且 2a=



A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.设 m、n 是不同的直线,α 、β 、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 α ∥β ,α ∥γ ,则 β ∥γ ②若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β ③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β ④若 m∥n,n? α ,则 m∥α
-1-

其中真命题的序号是(



A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 8.函数 f(x)的定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞) ,且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 时,f (x)=2x2﹣12x+16,则直线 y=2 与函数 f(x)图象的所有交点的横坐标之和是( A.1 B.2 C.4
x



D.5 )

9.若 x1 满足 2x+2 =5,x2 满足 2x+2log2(x﹣1)=5,x1+x2=( A. B.3 C. D.4
2 2

10. 过点 (3, 1) 作圆 (x﹣1)+y =1 的两条切线, 切点分别为 A, B, 则直线 AB 的方程为 ( A.2x+y﹣3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0



11.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对任意 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立,如果 实数 m,n 满足不等式 f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,那么 m2+n2 的取值范围是( A. (9,49) B. (13,49) C. (9,25) D. (3,7) )

12.将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小 值为( A. ) B.2+ C.4+ D.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y=loga(x﹣1)+8(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P,P 在幂函数 f(x)的图象上, 则 f(3)= . .

14.直线(2m+1)x+(3m﹣2)y+1﹣5m=0 被圆 x2+y2=16 截得弦长的最小值为 15.已知函数 f(x)= 是 .

有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围

16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下列 结论中正确的序号是 .

①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等.

-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)设 U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},a 为实数, (1)分别求 A∩B,A∪(?UB) ; (2)若 B∩C=C,求 a 的取值范围. 18. (12 分)已知△ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 19. (12 分)已知如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AC,且 AB⊥AC,M 是面 CC1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上. (Ⅰ)若 P 为 A1B1 中点,求证:NP∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)证明:PN⊥AM.

20. (12 分)如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB.点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点. (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆方程;
-3-

(Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点.

21. (12 分) 如图甲, ⊙O 的直径 AB=2, 圆上两点 C, D 在直径 AB 的两侧, 使∠CAB=

, ∠DAB=

. 沿

直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.P 为 AC 的动点,根据图乙解答下列各题:

(1)求三棱锥 D﹣ABC 的体积. (2)求证:不论点 P 在何位置,都有 DE⊥BP; (3)在 BD 弧上是否存在一点 G, 使得 FG∥平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在, 请说明理由. 22. (12 分)设函数 (1)当 f(2)=f(1)+2 时,求 a 的值; (2)当 x∈ B. (1,2) C. (2,+∞) D. (﹣∞,2) ,其中 a 为常数

【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0,根据 即 x≠2 最后取交集,解出函数的定义域. ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,

-4-

【解答】解:∵log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 根据 ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,即 x≠2

∴函数 y= 故选 B.

的定义域是(1,2)

【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围,同时考查了分数函数等来确定函数的定义域, 属基础题.

3. (5 分) (2014?开福区校级模拟)已知空间中两点 A(1,2,3) ,B(4,2,a) ,且|AB|= 则 a=( A.1 或 2 ) B.1 或 4 C.0 或 2 D.2 或 4



【考点】空间两点间的距离公式. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据空间两点之间的距离公式,由|AB|= a 的值. 【解答】解:∵点 A(1,2,3) ,B(4,2,a) , ∴|AB|= 解这个方程,得 a=2 或 4 故选:D 【点评】本题给出空间两点含有字母 a 的坐标形式,在已知两点间距离的情况下求实数 a 的 值,着重考查了空间坐标的两点距离公式及其应用的知识,属于基础题. = , 列出关于 a 的方程,解之即可得到实数

4. (5 分) (2015 秋?辽宁校级期末) 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的表面积是 (



A.56+12

B.60+12

C.30+6

D.28+6
-5-

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出各个面的 面积,相加可得答案. 【解答】解:根据题意,还原出如图的三棱锥 A﹣BCD 底面 Rt△BCD 中,BC⊥CD,且 BC=5,CD=4 侧面△ABC 中,高 AE⊥BC 于 E,且 AE=4,BE=2,CE=3 侧面△ACD 中,AC= =5

∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC,AE⊥BC ∴AE⊥平面 BCD,结合 CD? 平面 BCD,得 AE⊥CD ∵BC⊥CD,AE∩BC=E ∴CD⊥平面 ABC,结合 AC? 平面 ABC,得 CD⊥AC 因此,△ADB 中,AB= AD= ∴cos∠ADB= sin∠ADB= 由三角形面积公式,得 S△ADB= 又∵S△ACB= × = × ×4×5=10 , = , = ,得 , × =6 , =2 ,BD= = ,

×5×4=10,S△ADC=S△CBD=

∴三棱锥的表面积是 S 表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6 故选:C

-6-

【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体 的形状是解答的关键.

5. (5 分) (2015 秋?辽宁校级期末)直线 l 将圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 平分,且与直线 平行,则直线 l 的方程是( A.2x﹣y﹣4=0 ) C.2x﹣y=0 D.x﹣2y+3=0



=1

B.x+2y﹣3=0

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 的圆心为(1,2) ,设直线方程为 x2+y2﹣2x﹣4y=0 平分,求出 b,即可求出直线 l 的方程. 【解答】解:圆 x +y ﹣2x﹣4y=0 的圆心为(1,2) 设直线方程为 ﹣ =b,
2 2



=b,利用直线 l 将圆

∵直线 l 将圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 平分, ∴b= ﹣ =0,

∴直线 l 的方程是 2x﹣y=0, 故选:C. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.

6. (5 分) (2013?淇县校级一模)设 a,b,c 均为正数,且 2a=



, A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【考点】对数值大小的比较. 【专题】数形结合.

,则(



【分析】比较大小 可以借助图象进行比较,观察题设中的三个数 a,b,c,可以借助函数图 象的交点的位置进行比较. 【解答】解:分别作出四个函数 y= ,

-7-

y=2 ,y=log2x 的图象,观察它们的交点情况. 由图象知: ∴a<b<c. 故选 A.

x

【点评】本题考点是对数值大小的比较,本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象, 比较大小的题在方法上应灵活选择,依据具体情况选择合适的方法.

7. (5 分) (2013?江门二模)设 m、n 是不同的直线,α 、β 、γ 是不同的平面,有以下四个 命题: ①若 α ∥β ,α ∥γ ,则 β ∥γ ②若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β ③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β ④若 m∥n,n? α ,则 m∥α 其中真命题的序号是( )

A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即可. 【解答】解: 对于①利用平面与平面平行的性质定理可证 α ∥β ,α ∥γ ,则 β ∥γ ,正确 对于②面 BD⊥面 D1C,A1B1∥面 BD,此时 A1B1∥面 D1C,不正确 对应③∵m∥β ∴β 内有一直线与 m 平行,而 m⊥α , 根据面面垂直的判定定理可知 α ⊥β ,故正确
-8-

对应④m 有可能在平面 α 内,故不正确, 故选 D

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关 系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

8. (5 分) (2010?宁波二模)函数 f(x)的定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞) ,且 f(x+1) 为奇函数,当 x>1 时,f(x)=2x2﹣12x+16,则直线 y=2 与函数 f(x)图象的所有交点的横 坐标之和是( A.1 B.2 ) C.4 D.5

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题. 【分析】f(x+1)为奇函数可得函数 f(x)的图象关于(1,0)对称,从而可求 x<1 时的函 数解析式,进而解方程 f(x)=2 可得. 【解答】解:f(x+1)为奇函数,函数图象关于(0,0)对称 函数 f(x)的图象关于(1,0)对称 当 x>1 时,f(x)=2x ﹣12x+16 当 x<1 时,f(x)=﹣2x2﹣4x 令 2x2﹣12x+16=2 可得 x1+x2=6 令﹣2x2﹣4x=2 可得 x3=﹣1 横坐标之和为 5 故选 D
-92

【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性,利用对称性求函数在对称区间上的 解析式.属于基础知识的综合运用,但难度都不大,只要掌握基本知识、基本方法,就可解 题.

9. (5 分) (2009?辽宁)若 x1 满足 2x+2 =5,x2 满足 2x+2log2(x﹣1)=5,x1+x2=( A. B.3 C. D.4

x



【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】压轴题. 【分析】先由题中已知分别将 x1、x2 所满足的关系表达为,2x1=2log2(5﹣2x1)…系数配为 2 是为了与下式中的 2x2 对应 2x2+2log2(x2﹣1)=5,观察两个式子的特点,发现要将真数部分消掉求出 x1+x2,只须将 5﹣ 2x1 化为 2(t﹣1)的形式,则 2x1=7﹣2t,t=x2 【解答】解:由题意 2x2+2log2(x2﹣1)=5 ② 所以 x1=log2(5﹣2x1) , 即 2x1=2log2(5﹣2x1) ①

令 2x1=7﹣2t,代入上式得 7﹣2t=2log2(2t﹣2)=2+2log2(t﹣1) ∴5﹣2t=2log2(t﹣1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7﹣2x2 即 x1+x2= 故选 C 【点评】本题涉及的是两个非整式方程,其中一个是指数方程,一个是对数方程,这两种方 程均在高考考纲范围之内,因此此题中不用分别解出两个方程,分别求出 x1,x2,再求 x1+x2, 这样做既培养不了数学解题技巧,也会浪费大量时间.

10. (5 分) (2013?山东)过点(3,1)作圆(x﹣1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B, 则直线 AB 的方程为( A.2x+y﹣3=0 ) C.4x﹣y﹣3=0 D.4x+y﹣3=0

B.2x﹣y﹣3=0

- 10 -

【考点】圆的切线方程;直线的一般式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除 B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得 到选项即可. 【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x﹣1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,所以圆 的一条切线方程为 y=1,切点之一为(1,1) ,显然 B、D 选项不过(1,1) ,B、D 不满足题意; 另一个切点的坐标在(1,﹣1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项 C 不满足,A 满足. 故选 A. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是 间接法,值得同学学习.
2 2

11. (5 分) (2015 秋?辽宁校级期末)设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对任意 x,都有 f (﹣x)+f(x)=0 恒成立,如果实数 m,n 满足不等式 f(m ﹣6m+21)+f(n ﹣8n)<0,那 么 m2+n2 的取值范围是( A. (9,49) B. (13,49) 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题;规律型;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据对于任意的 x 都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立,不等式可化为 f(m ﹣6m+21) <f(﹣n2+8n) ,利用 f(x)是定义在 R 上的增函数,可得(m﹣3)2+(n﹣4)2<4,确定(m ﹣3) +(n﹣4) =4 内的点到原点距离的取值范围,利用 m +n 表示(m﹣3) +(n﹣4) =4 内 的点到原点距离的平方,即可求得 m2+n2 的取值范围. 【解答】解:∵对于任意的 x 都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∵f(m ﹣6m+21)+f(n ﹣8n)<0, ∴f(m2﹣6m+21)<﹣f(n2﹣8n)=f(﹣n2+8n) , ∵f(x)是定义在 R 上的增函数, ∴m ﹣6m+21<﹣n +8n, ∴(m﹣3) +(n﹣4) <4 ∵(m﹣3)2+(n﹣4)2=4 的圆心坐标为: (3,4) ,半径为 2, ∴(m﹣3)2+(n﹣4)2=4 内的点到原点距离的取值范围为(5﹣2,5+2) ,即(3,7) ,
- 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) C. (9,25) D. (3,7)

∵m +n 表示(m﹣3) +(n﹣4) =4 内的点到原点距离的平方, ∴m2+n2 的取值范围是(9,49) . 故选:A. 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式的含义,解题的关键是确定圆内的点 到原点距离的取值范围.

2

2

2

2

12. (5 分) (2005?黑龙江)将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这 个正四面体的高的最小值为( A. B.2+ ) C.4+ D.

【考点】棱锥的结构特征. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】底面放三个钢球,上再落一个钢球时体积最小,把钢球的球心连接,则又可得到一 个棱长为 2 的小正四面体,正四面体的中心到底面的距离是高的 ,且小正四面体的中心和

正四面体容器的中心应该是重合的,先求出小正四面体的中心到底面的距离,再求出正四面 体的中心到底面的距离,把此距离乘以 4 可得正四棱锥的高. 【解答】解:由题意知,底面放三个钢球,上再落一个钢球时体积最小. 于是把钢球的球心连接,则又可得到一个棱长为 2 的小正四面体,则不难求出这个小正四面 体的高为 , ,且小正四面体的中心和

且由正四面体的性质可知:正四面体的中心到底面的距离是高的 正四面体容器的中心应该是重合的, ∴小正四面体的中心到底面的距离是 离是 +1 (1 即小钢球的半径) , +1)×4=4+ × =

,正四面体的中心到底面的距

所以可知正四棱锥的高的最小值为 ( 故选 C.



【点评】小正四面体是由球心构成的,正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心 到底面的距离再加上小钢球的半径 1.

- 12 -

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2015 秋?辽宁校级期末)函数 y=loga(x﹣1)+8(a>0 且 a≠1)的图象恒过定 点 P,P 在幂函数 f(x)的图象上,则 f(3)= 27 【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】利用 y=loga1=0 可得定点 P,代入幂函数 f(x)=x 即可. 【解答】解:对于函数 y=loga(x﹣1)+8,令 x﹣1=1,解得 x=2,此时 y=8, 因此函数 y=loga(x﹣1)+8 的图象恒过定点 P(2,8) . 设幂函数 f(x)=xα ,∵P 在幂函数 f(x)的图象上, ∴8=2α ,解得 α =3. ∴f(x)=x . ∴f(3)=3 =27. 故答案为 27. 【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义,属于基础题.
3 3 α



14. (5 分) (2015 秋?内蒙古校级期末)直线(2m+1)x+(3m﹣2)y+1﹣5m=0 被圆 x +y =16 截 得弦长的最小值为 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】计算题. 【分析】由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径 r,将直线方程变形后得到此直线恒过 A(1, 1) ,由题意得到直线被圆截得的弦所在的直线与直线 OA 垂直时,截取的弦长最短,利用两点 间的距离公式求出|OA|的长,由半径 r 及|OA|的长,利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长 的最小值. 【解答】解:由圆 x +y =16,得到圆心(0,0) ,半径 r=4, ∵直线解析式变形得: (2m+1) (x﹣1)+(3m﹣2) (y﹣1)=0, ∴直线恒过 A(1,1) ,即|OA|= 则截得弦长的最小值为 2 故答案为:2 , =2 .
2 2

2

2



- 13 -

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,恒过顶点的直线 方程,垂径定理及勾股定理,根据题意得出直线被圆截得的弦所在的直线与直线 OA 垂直时, 截取的弦长最短是解本题的关键.

15. (5 分) (2013?海淀区一模)已知函数 f(x) = 有三个不同的零点,则实数 a 的取值

范围是

<a≤1 .

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】数形结合. 【分析】由题意可得需使指数函数部分与 x 轴有一个交点,抛物线部分与 x 轴有两个交点, 由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于 a 的不等式,解之可得答案. 【解答】解:由题意可知:函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分, 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线,对称轴为 x= ,最多两个零点,

如上图,要满足题意,必须指数函数的部分向下平移到与 x 轴相交, 由指数函数过点(0,1) ,故需下移至多 1 个单位,故 0<a≤1, 还需保证抛物线与 x 轴由两个交点,故最低点 < 0,

解得 a<0 或 a> 故答案为:

,综合可得

<a≤1,

<a≤1

- 14 -

【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.

16. (5 分) (2015 秋?辽宁校级期末)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有 两个动点 E、F,且 EF= ,则下列结论中正确的序号是 ①②③ .

①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等.

【考点】棱柱的结构特征. 【专题】综合题;运动思想;分析法;空间位置关系与距离. 【分析】由线面垂直证得两线垂直判断①; 由线面平行的定义证得线面平行判断②; 由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断③; 由 B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等,可得△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等. 【解答】解:对于①,由题意及图形知,AC⊥面 DD1B1B,故可得出 AC⊥BE,故①正确; 对于②,由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的两个底面平行,EF 在其一面上,故 EF 与平面 ABCD 无公共 点,故有 EF∥平面 ABCD,故②正确; 对于③,由几何体的性质及图形知,三角形 BEF 的面积是定值,A 点到面 DD1B1B,故可得三棱 锥 A﹣BEF 的体积为定值,故③正确; 对于④, 由图形可以看出, B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等, 故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确,故④错误. ∴正确命题的序号是①②③. 故答案为:①②③.

- 15 -

【点评】本题考查棱柱的结构特征,解答本题关键是正确理解正方体的几何性质,且能根据 这些几何特征,对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法, 异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键,是中档题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2015 秋?辽宁校级期末) 设 U=R, A={x|1≤x≤3}, B={x|2<x<4}, C={x|a≤x≤a+1}, a 为实数, (1)分别求 A∩B,A∪(?UB) ; (2)若 B∩C=C,求 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题(1)先求出集合 B 的补集,再求出 A∪(?UB) ,得到本题结论; (2)由 B∩C=C 得到 C? B,再比较区间的端点,求出 a 的取值范围,得到本题结论. 【解答】解: (1)∵A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4}, ∴?uB={x|x≤2 或 x≥4}, ∴A∩B={x|2<x≤3},A∪(?UB)={x|x≤3 或 x≥4}. (2)∵B∩C=C, ∴C? B. ∵B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1}, ∴2<a,a+1<4, ∴2<a<3. 【点评】本题考查了集合运算的知识,本题难度不大,属于基础题.

18. (12 分) (2015 春?武进区期末)已知△ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线 方程为 2x﹣y﹣5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 【考点】直线的一般式方程. 【专题】直线与圆.

- 16 -

【分析】 (1)设 C(m,n) ,利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可 得出; (2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 【解答】解: (1)设 C(m,n) , ∵AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x﹣y﹣5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x﹣2y﹣5=0.



,解得



∴C(4,3) . (2) 设B (a, b) , 则 ∴B(﹣1,﹣3) . ∴kBC= = (x﹣4) ,化为 6x﹣5y﹣9=0. , 解得 .

∴直线 BC 的方程为 y﹣3=

【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、 点斜式,考查了计算能力,属于基础题.

19. (12 分) (2015 秋?辽宁校级期末) 已知如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1=AC, 且 AB⊥AC, M 是面 CC1 的中点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上. (Ⅰ)若 P 为 A1B1 中点,求证:NP∥平面 ACC1A1; (Ⅱ)证明:PN⊥AM.

- 17 -

【考点】直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;向量法;立体几何. 【分析】 (Ⅰ)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用 向量法能求出 NP∥平面 ACC1A1. (2)求出 =(0,2,1) , =(0,1,﹣2) ,利用向量法能证明 PN⊥AM.

【解答】证明: (Ⅰ)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AA1=AC=2,AB=2a, 则 B(2a,0,0) ,C(0,2,0) ,N(a,1,0) ,P(a,0,2) , =(0,﹣1,2) ,平面 ACC1A1 的法向量 =0, ∵NP?平面 ACC1A1,∴NP∥平面 ACC1A1. (2)M(0,2,1) , 又 ∴ ∴ ⊥ =(0,1,﹣2) , =0+2﹣2=0, , =(0,2,1) , =(1,0,0) ,

∴PN⊥AM.

- 18 -

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明,是中档题,解题时 要认真审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2013?桃城区校级一模)如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离 为 4,且直线 L 垂直直线 AB.点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、 N 点. (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆方程;
- 19 -

(Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点.

【考点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)建立如图所示的直角坐标系,由条件求得 M、N 两点的坐标,即可求得以 MN 为 直径的圆的方程. (Ⅱ)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,求得 M(4, MN 的值,求得 MN 的中点, 坐标为(4, ) ,由此求得以 MN 为直径的圆截 x 轴的线段长度为 ) 、N(4, ) ,以及

2

,化简可得结果.

【解答】解: (Ⅰ)以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立如直角坐标系, 由于⊙O 的方程为 x +y =4,直线 L 的方程为 x=4,∠PAB=30°,∴点 P 的坐标为(1, ∴lAP:y= (x+2) ,lBP:y=﹣ (x﹣2) . ) .
2 2 2 2

) ,

将 x=4 代入,得 M(4,2

) ,N(4,﹣2

∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN=4

.∴以 MN 为直径的圆的方程为(x﹣4) +y =12.
2 2

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x﹣4) +y =12.…(6 分) (Ⅱ) 设点 P 的坐标为 (x0, y0) , 则 + =4 (y0≠0) , ∴ =4﹣ .

- 20 -

∵直线 AP:y=

(x+2) ,直线 BP:y=

(x﹣2) ,将 x=4 代入,得

yM=

,yN=



∴M(4,

) 、N(4,

) ,MN=|



|=



故 MN 的中点坐标为(4,﹣ 以 MN 为直径的圆截 x 轴的线段长度为 2

) .

=

?

=

?

=

=4

为定值.

再根据以 MN 为直径的圆 O′的半径为 2 为线段 MN 的中点, 可得⊙O′必过⊙O 内定点(4﹣2

,AB 的中点 O 到直线 MN 的距离等于 4,故 O′

,0) .

【点评】本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,属于 中档题.

21. (12 分) (2015 秋?辽宁校级期末)如图甲,⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的两侧, 使∠CAB= , ∠DAB= . 沿直径 AB 折起, 使两个半圆所在的平面互相垂直 (如

图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.P 为 AC 的动点,根据图乙解答下列各题:

- 21 -

(1)求三棱锥 D﹣ABC 的体积. (2)求证:不论点 P 在何位置,都有 DE⊥BP; (3)在 BD 弧上是否存在一点 G, 使得 FG∥平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在, 请说明理由. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的 判定. 【专题】综合题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】 (1)根据圆的性质求出△ABD 的面积,利用面面垂直的性质得出 OC⊥平面 ABD,代入 棱锥的体积公式计算; (2)利用三线合一和面面垂直的性质证明 DE⊥平面 ABC; (3)取 平面 ACD. 【解答】解: (1)在图甲中,∵AB 是圆 O 的直径,∴AD⊥BD,AC⊥BC, ∵AB=2,∠DAB= ∴S△ABD= ∵∠CAB= AD?BD= ,∴AD= . AB=1. ,BD= , 的中点 G,BD 的中点 M,连结 FM,FG,MG,则可证平面 FMG∥平面 ACD,故而 FG∥

,∴OC⊥AB,OC=

在图乙中,∵平面 ABC⊥平面 ABD,平面 ABC∩平面 ABD=AB,OC⊥AB, ∴OC⊥平面 ABD,
- 22 -

∴VD﹣ABC=VC﹣ABD= (2)∵OA=OD,∠DAB= ∵E 是 OA 中点,∴DE⊥OA,

= ,∴△OAD 是等边三角形,

=



∵平面 ABC⊥平面 ABD,平面 ABC∩平面 ABD=AB,DE⊥AB, ∴DE⊥平面 ABC,∵BP? 平面 ABC, ∴DE⊥BP. (3) 上存在一点 G,满足 = ,使得 FG∥平面 ACD,

理由如下:取 BD 中点 M,连结 FM,MG,FG, 则 MG⊥BD,∴MG∥AD, ∵F,M 分别是 BC,BD 的中点, ∴FM∥CD, ∵FM? 平面 FMG,MG? 平面 FMG,CD? 平面 ACD,AD? 平面 ACD,AD∩CD=D,FM∩MG=M, ∴平面 FMG∥平面 ACD, ∵FG? 平面 FMG, ∴FG∥平面 ACD.

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质,线面平行的判定,棱锥的体积计算,属于中档 题.

22. (12 分) (2015 秋?辽宁校级期末)设函数 ,其中 a 为常数 (1)当 f(2)=f(1)+2 时,求 a 的值; (2)当 x∈[1,+∞)时,关于 x 的不等式 f(x)≥x﹣1 恒成立,试求 a 的取值范围; (3)若 a∈R,试求函数 y=f(x)的定义域.

- 23 -

【考点】函数恒成立问题. 【专题】分类讨论;换元法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)直接代入,解方程即可; (2) 不等式可整理为 用换元法令 t=2x,t∈[2,+∞) 得出 数的最大值; (3)利用换元法 m=2x(m>0)即 m2+a?m+1>0,对二次不等式 m2+a?m+1>0 分类讨论,求出函 数的定义域即可. 【解答】解: (1) .f(2)=f(1)+2? log2(1+4a+16)=log2(1+2a+4)+log24? log2(17+4a) =log24(5+2a)? 17+4a=20+8a? (2) 1 +a?2 +4 ≥2
x x x x﹣1

, 只需求出右式的最大值即可. 利

,根据定义法判断函数的单调性,进而求出函

…(3 分)

?

令 t=2 ∵x∈[1,+∞)∴t∈[2,+∞) 设 ,2≤t1<t2



∵(t2﹣t1)>0,t1t2﹣1>0,t1t2>0 ∴h(t1)>h(t2) ∴h(t)在[2,+∞)上为减函数, ∴t=2 时, ∴a≥﹣2…(8 分) (3)1+a?2x+4x>0? 令 m=2x(m>0)即 m2+a?m+1>0 有最大值为﹣2

- 24 -

①当△=a ﹣4<0? ﹣2<a<2m∈R? x∈R
2

②当△=a2﹣4=0? a=2 或 a=﹣2 若 a=2, (m+1)2>0 又 m>0? x∈R 若 a=﹣2, (m﹣1)2>0 又 m≠1? x∈{x|x≠0,x∈R} ③当△=a ﹣4>0? a>2 或 a<﹣2
2

设 g(m)=m +a?m+1 而 g(0)=1>0 若 a>2, 若 a<﹣2, 而 m>0? x∈R 而 m>

2

0?

?

?

综上:①当 a>﹣2 时 f(x)定义域为 R ②当 a≤﹣2 时 f(x)定义域为

…(14 分) 【点评】考查了利用换元法和根据函数单调性判断函数的最值,对复合函数,利用对二次不 等式的分类讨论求函数的定义域问题.难点是分类讨论.

- 25 -


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