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2016-2017学年高中数学人教A版必修3课件:3.3.1 几何概型


3.3
3.3.1

几何概型
几何概型

[提出问题] 每逢节假日,各大型商场竞相出招,吸引 顾客,其中某商场设立了一个可以自由转动的 转盘,规定顾客消费 100 元以上,就能获得一 次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正 好对准①,②或③区域,顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券(转盘被等分成 20 个扇形),一位顾 客消费了 120 元.

问题 1: 这位顾客获得 100 元购物券的概率与什么因素有关?

提示:与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关.

问题 2:在该实例试验中,试验结果有多少个?其发生的概 率相等吗?
提示: 试验结果有无穷多个, 但每个试验结果发生的概率相等.
问题 3:如何计算该顾客获得 100 元购物券的概率?

提示:用标注①的扇形面积除以圆的面积.

[导入新知] 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性 相等 . 3.几何概型概率公式 在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式为: P(A)=

构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? .

[化解疑难] 理解几何概型应关注三点 (1)几何概型中,每个基本事件在一个区域内均匀分布,所以随机 事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与区域的 大小有关; (2)如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、 体积均为 0,则它出现的概率为 0,但不是不可能事件; (3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点,则它 出现的概率为 1,但不是必然事件.

与长度有关的几何概型
[例 1] ________. (2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达,乘客到达车站的时 刻是任意的, 求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率.
[解析] (1)∵区间[-1,2]的长度为 3,由|x|≤1 得 x∈[-1,1], 而区间[-1,1]的长度为 2,x 取每个值为随机的,∴在[-1,2]上取 2 一个数 x,|x|≤1 的概率 P= . 3

(1)在区间[-1,2]上随机取一个数 x, 则|x|≤1 的概率为

(2)设上一辆车于时刻 T1 到达,而下一辆车于时刻 T2 到达, 则线段 T1T2 的长度为 15,设 T 是线段 T1T2 上的点,且 T1T=5, T2T=10,如图所示.
记“等车时间超过 10 min”为事件 A,则当乘客到达车站 的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时,事件 A 发生. T1T的长度 5 1 ∴P(A)= = = , T1T2的长度 15 3 1 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是 . 3 [答案] 2 (1) 3

[类题通法] 1.几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性); (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D; (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I; (4)利用概率公式计算. 2.与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其 概率的计算公式为: 构成事件A的区域长度 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度

[活学活用] 1.(湖北高考)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 5 的概率为 ,则 m=________. 6
5 m-?-2? 解析:由几何概型知: = ?m=3. 6 6 答案:3

2.一个路口的红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒,绿 灯亮的时间为 40 秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的 概率各是多少? (1)红灯亮; (2)黄灯亮; (3)不是红灯亮.

解:在 75 秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于 几何概型. 红灯亮的时间 30 2 (1)P= = = . 全部时间 30+40+5 5 黄灯亮的时间 5 1 (2)P= = = . 75 15 全部时间 不是红灯亮的时间 黄灯亮或绿灯亮的时间 45 3 (3)P= = = = ,或 P 75 5 全部时间 全部时间 2 3 =1-P(红灯亮)=1- = . 5 5

与面积有关的几何概型
[例 2] (1)有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分, ( )

则可中奖,小明希望中奖,他应当选择的游戏盘为

(2)四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点, 在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概 率为 π A. 4 π C. 8 π B.1- 4 π D.1- 8 ( )

[解析]

(1)根据几何概型的面积比, 选项 A 中的游戏盘中奖概

3 1 率为 ,选项 B 中游戏盘的中奖概率为 ,选项 C 中游戏盘的中奖 8 3 ?2r?2-πr2 4-π r2 1 概率为 = , 选项 D 中游戏盘的中奖概率为 2= , 故 4 πr π ?2r?2 A 游戏盘的中奖概率最大. (2)如图所示,长方形面积为 2,以 O 为圆心, π 1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 , 2 π π 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 ÷ 2= ,取到的点到 O 2 4 π 的距离大于 1 的概率为 1- . 4 [答案] (1)A (2)B

[类题通法] 1.与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示, 则 其概率的计算公式为: 构成事件A的区域面积 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域面积 2.解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题; (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形, 利用图形的几何 特征计算相关面积; (3)套用公式,从而求得随机事件的概率.

[活学活用] 1.(福建高考)如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估 计阴影部分的面积为________.

S阴影 S阴影 180 180 解析:依题意,得 = ,所以 = , S正方形 1 000 1×1 1 000 解得 S 阴影=0.18. 答案:0.18

2.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成 的区域,向 M 中随机投一点,则所投的点落入 E 中的概率是 ________.

解析:如图,区域 M 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内 部(含边界),区域 E 表示单位圆及其内部, π×12 π 因此 P= = . 4×4 16

π 答案: 16

与角度有关的几何概率
[例 3] 在等腰直角三角形 ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内

部任意作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M.求 AM<AC 的概率.

[解] 如图,在 AB 上取 AC′=AC,连接 CC′, 180°-45° 则∠ACC′= =67.5°. 2
? ?在∠ACB内部任意作一条射线CM,? ? ? ?, 设 D= ? ? ?与线段AB交于点M,AM<AC ?

则所有可能结果的区域角度为 90°, 事件 D 的区域角度为 67.5°, 67.5° 3 ∴P(D)= = . 90° 4

[类题通法]
与角度有关的几何概型概率的求法 (1) 如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度 表示,则其概率的计算公式为 构成事件A的区域角度 P(A)= . 试验的全部结果构成的区域角度 (2)解决此类问题的关键是事件 A 在区域角度内是均匀的, 进而判定事件的发生是等可能的.

[活学活用] 在平面直角坐标系中,射线 OT 为 60°角的终边,在任意角集 合中任取一个角, 则该角终边落在∠xOT 内的概率是 1 A. 6 2 B. 3 ( )

1 1 C. D. 3 60 解析:如图,∵在任意角集合中任取一个角,
则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为 60 度, 而整个角集合对应的角度为圆周角,∴该角终 60° 1 边落在∠xOT 内的概率 P= = . 360° 6 答案:A

与体积有关的几何概型
[例 4] (1)在一球内有一棱长为 1 的内接正方体,一点在 ( )

球内运动,则此点落在正方体内部的概率为 A. 6 π B. 3 2π

3 C. π

2 3 D. 3π

(2)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在 正方体 ABCDA1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率 是________.

[解析]

(1)由题意可得正方体的体积为V1=1.又球的直径是正

3 4 3 3 方体的对角线,故球的半径R= .球的体积V2= πR = π.这是一 2 3 2 V1 1 2 3 个几何概型,则此点落在正方体内的概率为P= = = . V2 3π 3 π 2 (2)设正方体的棱长为2.正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O的半 4 4π 3 径是其棱长的一半,其体积为V1= π×1 = .则点M在球O内的概 3 3 4π 3 π 率是 3 = . 2 6 [答案] (1)D π (2) 6

[类题通法] 与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表 示,则其概率的计算公式为 构成事件A的区域体积 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域体积

[活学活用] 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面 圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,求点P到点O的距离大 于1的概率.
解:圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π是试验的全部结果构成的 区域体积. 1 4π 以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球= × 2 3 2π ×1 = ,则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积 3
3

4π 3 2 2π 4π 为2π- = ,由几何概型的概率公式得P(A)= = . 3 3 2π 3

3.几何概型中的交汇性问题 [典例] 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,若a是从区 间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述 方程有实根的概率.

[解题指导]

设事件A为“方程x2+2ax+b2=0”有实根.

则Δ=4a2-4b2≥0,即a2≥b2. 又∵a≥0,b≥0. ∴a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3, 0≤b≤2},而构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2, a≥b},即如图所示的阴影部分. 1 3×2- ×22 2 2 所以P(A)= = . 3 3× 2

[多维探究] 几何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖性、综合性 而渐成为命题者的一个重要着眼点,本题是以方程的根为依 托考查了与面积有关的几何概型的求法,另外,几何概型还 常与集合、解析几何等问题相交汇命题,出现在试卷中.

[角度一]

几何概型与集合的交汇问题
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

已 知 集 合 M = ?x,y?|x+y≤8,x≥0,y≥0 , N =
? ? ? ? ?

?x,y?|x-3y≥0,x≤6,y≥0 ,若向区域 M 随机投一点,则点
? ? ? ? ?

P 落入区域 N 的概率为 1 A. 3 3 C. 8 1 B. 2 D. 3 16

(

)

解析:根据题设中集合的意义,在平面直角坐标系中分别画 出区域M和N,可分别计算区域M和N的面积,进而求解. 将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出,如图,

1 则区域M的面积S= ×8×8=32, 2 1 区域N的面积S′= ×6×2=6, 2 6 3 所以点P落入区域N的概率为P= = . 32 16 答案:D

[角度二]

几何概型与解析几何的交汇问题

已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (2)求圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率. 25 解:(1)由点到直线l的距离公式可得d= 2 2=5. 4 +3
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5,要使圆上点到直线的距离 小于2,设与圆相交且与直线l平行的直线为l1,其方程为4x+3y=15. 则符合题意的点应在l1:4x+3y=15与圆相交所得劣弧上,由半径为 π 2 3,圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为 . 3 π 3 1 故所求概率为P= = . 2π 6

[随堂即时演练]
1.下列概率模型中,几何概型的个数为 ( ) ①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率; ②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的 数的概率; ③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于1而小于2 的数的概率; ④向一个边长为4 A.1 C.3 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中 B.2 D.4 心不超过1 cm的概率.

解析:①不是几何概型,虽然区间[-10,10]有无限多个点,但取 到“1”只是一个数字,不能构成区域长度;②是几何概型,因为 区间[-10,10]和[-1,1]上有无限多个数可取(满足无限性),且在 这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性); ③不是几何概型,因为区间[-10,10]上的整数只有21个(是有限 的),不满足无限性特征;④是几何概型,因为在边长为4 cm的

正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点,且这两个区域内的 任何一个点都有相等可能被投到,故满足无限性和等可能性. 答案:B

2.如图所示,在一个边长为a,b(a>b>0)的矩形内 a a 画一个梯形,梯形上、下底长分别为 与 ,高为b. 3 2 向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形 内部的概率为 1 A. 12 5 C. 12 1 B. 4 ( )

7 D. 12 1?1 1 ? 5 ? ? a + a 解析:S矩形=ab,S梯形= 3 2 b= ab.故所投的点在梯形 2? 12 ? 5 S梯形 12ab 5 内部的概率为P= = = . 答案:C S矩形 ab 12

3.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为________.
解析:由于方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根, 1 ∴Δ≥0,即1-4n≥0,∴n≤ , 4 1 4 1 又n∈(0,1),∴有实根的概率为P= = . 1-0 4 1 答案: 4

4.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样 放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为________.
解析:大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的,且结果有 无限个,属于几何概型.设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件 A,则事件A构成的区域体积是2毫升,全部试验结果构成的区域 体积是400毫升, 2 则P(A)= =0.005. 400 答案:0.005

5.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,求此蚂蚁到三 角形三个顶点的距离均超过1的概率.
解:设正三角形ABC的边长为4,其面积为4 3.分别以A,B, C为圆心,1为半径在△ABC中作扇形,除去三个扇形剩下的 部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域,其 π 4 3- 2 1 π π 2 面积为4 3 -3× × ×1 =4 3 - ,故所求概率P= 2 3 2 4 3 3 =1- π. 24


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