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2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第3章第22讲 合情推理与演绎推理[2014高考数学]


归纳推理
【例1】 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的 个数是上一行中数的个数的2倍): 则第9行第4个数是______.

第1行 第2行 第3行 ?

1
2 3 4 5 6 ? 7

【解析】第1行第1个数为1=20,第 2行第1个数为2=21,第3行第1个数 为4=22,…,第9行第1个数为29- 1=256,所以第9行第4个数为256+ 3=259. 答案:259

从特殊到一般,是归纳的特 点.用归纳的方法导出结论一般 是以审题、经验和直觉为前提 的.本题从数表的特点出发,仔 细观察第一列的特征,不难发现 每行的第一个数的规律性.

【变式练习1】 根据下列5个图表及相应点的个数的变 化规律,归纳出第n个图中点的个数f(n) 与n的关系式f(n)=_______________.

【解析】f(2)-f(1)=2;f(3)-f(2)=4; f(4)-f(3)=6;…;f(n)-f(n-1)= 2(n-1). 以上(n-1)个式子相加得f(n)-f(1)= n2-n, 所以f(n)=n2-n+1.

类比推理
【例2】 在直角三角形ABC中,若∠C=90°,则 cos2A+cos2B=1.那么,在空间四面体P— ABC中,是否具有类似的结论?

【解析】在直角三角形ABC中,若?C=90?, 则cos A+cos B
2 2

AC 2 BC 2 AC 2 ? BC 2 = ? = =1. 2 2 2 AB AB AB 在空间四面体P — ABC中,若平面PAC、 PBC、PAB两两垂直,且这三个侧面与底 面所成的二面角分别为?、?、? , 则cos 2?+cos 2 ?+cos 2? =1.

应用类比要注意两类对象具有某 些类似的特征,并由其中一类对象的 已知特征推出另一类对象也具有这些 特征.本题中,平面三角形有两条边 相互垂直,同时与第三条边所成角已 知;在空间四面体中,也应有三个面 相互垂直,并同时与第四个面所成角 已知,那么由于情景和性质完全相同, 就可以进行类比了.

【变式练习2】 在平面几何里,有勾股定理:“设 △ ABC 的 两 边 AB 、 AC 互 相 垂 直 , 则 AB2 +AC2 =BC2”.拓展到空间,类比 平面几何的勾股定理,研究三棱锥的 侧面积与底面积间的关系,可以得出 的正确结论是什么?

【解析】类比条件:
平面 ?空间,边垂直 ? 面垂直 两边AB、AC互相垂直 ????????? ?

侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直. 类比结论:
边长 ? 面积 AB 2+AC 2=BC 2 ???? ?

S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB=S2 BCD ? ? ? ? 所以猜想正确的结论是: "设三棱锥A-BCD的 三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB=S2 BCD " ? ? ? ?

下面给出严格的证明. 如图,作AO ? 平面BCD于点O, AE ? BC于点E.由三个侧面两两 垂直可知三条侧棱AB、AC、AD 两两互相垂直,故O为? BCD的垂 心.在Rt? DAE中,AO ? DE,有: AE =EO· ,所以S ED
2 2 ?ABC

1 1 1 2 2 = BC ? AE =( BC ? EO ) ? ( BC ? ED )=S? OBC ? S? BCD . 4 2 2 同理,S2 ACD=S? BCD ? S? OCD,S2 ABD=S? BCD ? S? OBD . ? ? 故S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB=S2 BCD ? ? ? ?

演绎推理
【例3】 如图,在五面体ABCDEF中, 点O是矩形ABCD的对角线的 交点,CDE是等边三角形, ? 1 棱EF / / ? BC. 2 ?1? 证明:FO / /平面CDE;

? 2 ? 设BC=

3CD,证明:EO ? 平面CDF .

【证明】1? 一组对边平行且相等的四边形是 ? 平行四边形(大前提) 取CD的中点M ,连结OM . 1 在矩形ABCD中,OM / / ? BC. 2 1 又EF / / ? BC , 2 则EF / / ? OM (小前提).

连结EM ,于是四边形EFOM 为平行四边形 (结论),所以FO / / EM . 平面外一条直线和平面内一条直线平行, 则这条直线平行于这个平面(大前提). 又因为 FO ? 平面CDE,EM ? 平面CDE (小前提), 所以FO ? 平面CDE (结论).

? 2 ? 证明:两条邻边相等的平行四边形是菱形(大前提). 连结FM ,由?1? 和已知条件,
在等边? CDE中,CM=DM , 3 1 所以EM= CD= BC=EF (小前提), 2 2 所以平行四边形EFOM 为菱形(结论), 所以EO ? FM . 一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线, 这条直线和这个平面垂直(大前提). 又EM ? CD,OM ? CD,EM ? OM=M (小前提), 所以CD ? 平面EOM (结论),从而CD ? EO. 而FM ? CD=M ,所以EO ? 平面CDF .

本题考查直线与平面平行、直线与平面垂 直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证 能力.分析上述推理过程,可以看出,推理的 前提是一般性命题:平行四边形的判定与性质、 线面平行的判定定理、线面平行的性质定理等, 这些大前提一般可以省略,结论是蕴含在前提 中的特殊位置关系.像这类推理证明题和其他 知识结合到一起,属于知识综合题.解决此类 题目时建立合理的解题思路是关键.

【变式练习3】 将推理“函数y=2x2 +x-1的图象是抛 物线”改写成三段论的形式为 二次函数的图象是抛物线(大前提); __________________________________ 函数y=2x2 +x-1是二次函数(小前 __________________________________ 提);函数y=2x2 +x-1的图象是抛 __________________________________ 物线(结论) _______________________________.

④ 1.下列四种说法中正确的有__________. ①合情推理就是正确的推理; ②合情推理就是归纳推理; ③归纳推理是从一般到特殊的推理; ④演绎推理是从一般到特殊的推理. 【解析】合情推理包括归纳推理和类比 推理,它们分别是由特殊到一般和特殊 到特殊的推理,推理未必正确.

3 2.已知等式sin 30?+sin 30?+sin30? ? sin30?= , 4 3 2 2 sin 40?+sin 20?+sin40? ? sin20?= ,请你写出 4 一个具有一般性的等式,使所写等式包含已
2 2

知的等式.等式为______________________ 3 2 2 sin ?+sin (60?-? )+sin? ? sin(60?-? )= _____________________________________ 4

3.下列几种推理形式是演绎推理的是 _____  . ①两条直线平行,同旁内角互补.如果?A和?B 是两条平行直线的同旁内角,则?A+?B=?; ②由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质; ③某校高三共有10个班, 1班有51人,班有53人,班 2 3 有52人,由此推测高三各班都超过50人; 1 1 ④在数列?an ?中,a1=1,an= (an-1+ ) (n ? 2), 2 an-1

由此归纳出数列?an ?的通项公式.

【解析】根据各种推理的特点逐 一判断:①是演绎推理;②是类 比推理;③是归纳推理;④是归 纳推理.

4.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 1 已知a1,a2 ? R,a1+a2=1,求证:a ? a ? . 2 证明:构造函数f ? x ?=( x-a1 ) 2+( x-a2 ) 2,
2 1 2 2 2 则f ? x ?=2x 2-2(a1+a2 ) x+a12 ? a2 2 =2x 2-2x+a12 ? a2 ,

因为对一切x ? R,恒有f ? x ? ? 0, 1 所以?=4-8(a ? a ) ? 0,从而得a ? a ? . 2 ? ?1? 若a1,a2, ,an ? R,a1+a2+?+an=1,
2 1 2 2 2 1 2 2

请写出上述结论的推广式;

? 2 ? 参考上述证法,对你推广的结论加以证明.

【解析】1? 若a1,a2, ,an ? R,a1+a2+?+an=1, ? ? 1 则a ? a ? ? ? a ? ; n 2 ? 证明:构造函数f ? x ?=( x-a1 ) 2+( x-a2 ) 2+? ?
2 1 2 2 2 n

+( x-an ) 2,
2 2 则f ? x ?=nx 2-2(a1+a2+?+an ) x+a12 ? a2 ? ? ? an 2 2 =nx 2-2x+a12 ? a2 ? ? ? an

因为对一切x ? R,恒有f ? x ? ? 0,
2 2 所以?=4-4n(a12 ? a2 ? ? ? an ) ? 0,

1 从而得a ? a ? ? ? a ? . n
2 1 2 2 2 n

5.已知点A、B、M 是 ? O:x 2+y 2=r 2上不 同的三点.若AB经过 ? O的圆心O,且直 线AM 和BM 的斜率k1、k2都存在,则k1·2= k x2 y 2 -1.椭圆 2 ? 2 ? 1也有类似结论,请写出 a b 来并加以证明.

x2 y 2 【解析】结论:已知点A、B、M 是椭圆 2 ? 2 ? 1 a b 上不同的三点,若AB经过椭圆中心O,且直线AM b2 和BM 的斜率k1、k2都存在,则k1 ·2=- 2 . k a 证明:显然A、B关于原点对称, 设A( x1,y1 ),B (-x1,-y1 ),M ( x0,y0 ),
2 2 x0 y0 x12 y12 则 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 1, a b a b 2 2 x0 ? x12 y0 ? y12 b2 2 2 两式相减得 ? ? 0, 即y0 ? y12=- 2 ( x0 ? x12 ). a2 b2 a ? y0 ? y1 ?? y0 ? y1 ? b2 b2 所以 =- 2 ,即k1 ·2=- 2 . k ? x0 ? x1 ?? x0 ? x1 ? a a

推理一般包括合情推理与演绎推理,合情 推理是指根据已有的事实和正确的结论(包括 公理、定理、常用的结论)导出合理结果的推 理过程,或根据个人的经验和直觉推测出某些 结果的推理过程.因此,当前提为真时,结论 可能为真的推理就是合情推理.最常见的合情 推理有归纳推理和类比推理.在解决问题时, 合情推理具有猜测、设想和发现结论及探索和 提供思路的作用,有利于创新意识的培养.

演绎推理是根据已有的事实和正确的前 提,按照严格的逻辑法则得出新的结论的推理 过程,其特点是,当前提为真时,结论必然为 真.最常见的演绎推理有假言推理,即“若p ?q,p真,则q真”;三段论推理,即“若b= c,且b=a,则a=c”,又称“大前提,小前提, 结论”三段论;关系推理,即“若a≥b,b≥c, 则a≥c”;完全归纳推理,即把所有情况都考虑 在内的演绎推理,它与合情推理中的归纳推理 是有区别的.

合情推理中的归纳推理称为不完全 归纳推理,是一种由特殊到一般地推理, 推理的结论未必是可信的,而演绎推理 中的归纳推理是完全归纳推理,它是一 种由一般到一般地推理,只要前提正确, 推理的结论一定是正确的.


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