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不等式性质及解法


不等式性质及求解
1.若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x

?

?
?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是( ? 3? x ?

)

1 ? A. ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

B. x 2 ? x ? 3

?

? 1 ? C. ? x ? ? x ? 2? ? 2 ?

1? D. ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? 2?

2.设 M ? 2a(a ? 2) ? 4, N ? (a ? 1)(a ? 3) ,则 M , N 的大小关系为( A. M ? N B. M ? N C. M ? N 3.设 0 ? a ? b ,则下列不等式中正确的是 ( ) A、 a ? b ? D.以上都有可能



a?b a?b ?b B、 a ? ab ? 2 2 a?b a?b ?b C、 a ? ab ? b ? D、 ab ? a ? 2 2 1 1 b a 4.若 ? ? 0, 则下列不等式:① a ? b ? ab ② | a |?| b | ③ a ? b ④ ? ? 2 中, a b a b ab ?
正确的不等式有 ( A.①② B.②③ ) C.①④ D.③④

5.不等式 x 2 ? 2x ? 5>2x 的解集是 A. {x | x ? 5或x ? ?1} C. {x | ?1? x ?5} 6.若不等式 A. B. C. B. {x | x>5或x<?1} D. {x | ?1 ? x ? 5} 的解集是 R,则 m 的范围是( D. )

1 7.若 0<a<1,则不等式(x-a)(x- a ) >0 的解集是 1 A.(a, a ) 1 C.(- ∞,a)∪( a ,+∞) 1 B.( a ,a)

( )

1 D.(-∞, a )∪(a,+∞)

8. 有外表一样, 重量不同的四个小球, 它们的重量分别是 a, b, c, d , 已知 a ? b ? c ? d ,

a ? d ? b ? c , a ? c ? b 则这四个小球由重到轻的排列顺序是( ) A. d ? b ? a ? c B. b ? c ? d ? a C. d ? b ? c ? a D. c ? a ? d ? b
9.设 x ? R, 如果a ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) 恒成立,那么 ( A. a ? 1 B.a>1 C. 0 ? a ? 1
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) D.a<1

10.不等式 x 2 ?ax ? 6a 2 ? 0?a ? 0? 的解集为( A. ?? ?,?2a ? ? ?3a ,??? C. B.

)

?? 2a ,3a ?

?? ?,3a ? ? ?- 2a ,???
2

D. ?3a ,?2a ? ( )

11.不等式 x ? | x | ?2 ? 0 的解集是 A. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | ?1 ? x ? 1}

B. {x | x ? ?2或x ? 2} D. {x | x ? ?1或x ? 1} )

12. (2010?宣武区二模)若 , ,则 x,y 满足( A. x>y B. x≥y C. x<y D. x=y 13.不等式

2x ? 1 的解集是__ x ?1

__. .

14.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为
2

15 .若不等式 x ? 2x ? 2 ? a ? 2 对于一切实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 ______. 16. 不等式 6 x
2

? x ?2

? 1 的解集是



2 17.已知不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为

? x x ? 1或x ? b?

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)解不等式

ax2 ? ? a ? b ? x ? b ? 0

. ; 命 题 q: 不 等 式

18 .( 本 题 满 分 6 分 ) 命 题 p : m2 ? m ? 6 ? 0

4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立。如果命题 p ? q 为真,求实数 m 的取值范围.
19.解不等式: (1)log 2

2x 2 ? 2x ? 1 ≤0. x?2

(2)

| x ? 3 | ( x ? 2) ≥0 x 2 ( x ? 1)
2

20.若不等式 kx -2x+6k<0(k≠0) 。 (1)若不等式解集是{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式解集是 R,求 k 的取值。

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参考答案 1.D 【解析】 集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? { x | x ? ?

1 或x ? 3} , B ? x{ | ? 1 ?x ?? ∴ A? 2

}

1 选 2

D. 2.A 【解析】 3.B 【 解 析 】 解 : 因 为 0?a?b , 利 用 均 值 不 等 式 的 思 想 可 知 ,

ab ?

a?b a?b 成立,同时利用不等式的性质可知a ? ab和 ? b ,选 B 2 2

4.C 【解析】 试题分析:因为

1 1 ? ? 0, ,那么结合不等式的性质可知,对于① a ? b ? ab ,两边同时除 a b

以 ab 的值,不等式不变,得到结论成立,对于② | a |?| b | ,故错误。对于③ a ? b ,应该是 a>b,错误,对于④

b a ? ? 2 ,结合均值不等式可知成立,故选 C. a b

考点:不等式性质 点评:解决该试题的关键是对于不等式性质的表示,以及均值不等式的综合运用,属于基础 题。 5.B 【解析】 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:将所求不等式左边的多项式分解因式,然后利用两数相乘积为正,两因式同号转化为 两个不等式组,求出两不等式组解集的并集,即可确定出原不等式的解集. 解答:解:原不等式可变为 x -4x-5>0, 分解因式得: (x-5) (x+1)>0, 可化为: x-5>0, x+1>0 或 x-5<0, x+1<0 , 解得:x>5 或 x<-1, 则原不等式的解集为{x|x>5 或 x<-1}. 故选 B。 点评:此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是高考中常考的基本题型. 6.A 【解析】 试题分析:因为函数是大于 0,所以与 x 轴无交点,且开口向上,所以有方程组 {
2

0 ? m ?1 (m ? 1)2 ? 8(m ? 1) ? 0

,所以解得范围为



考点:不等式计算 7.C
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【解析】略 8.A 【解析】 试题分析:a+b=c+d,a+d>b+c,相加可得 a>c.进而点到 b<d.利用 a+c<b,可得 a<b, 即可得出. ∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴2a>2c,即 a>c.因此 b<d.∵a+c<b,∴a<b,综上可得:c <a<b<d.故选:A. 考点:不等式的性质 9.D 【解析】本题考查对数运算和性质,绝对值不等式的性质,不等式恒成立的含义. 不等式 a ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) 恒成立,等价于 a ? lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) 的最小值;因为

| x ? 3 | ? | x ? 7 |?| ( x ? 3) ? ( x ? 7) |? 10, 所以 lg(| x ? 3 | ? | x ? 7 |) ? lg10 ? 1 ;所以 a ? 1.
故选 D 10.D 【解析】 试题分析:因为不等式 x 2 ?ax ? 6a 2 ? 0?a ? 0? ,所以可得 ( x ? 3a)( x ? 2a) ? 0 . 又因为

a ? 0 .所以 3a ? x ? ?2a .故选 D.本小题关键是对参数 a 的处理.由于对应的两个方程的根 为 x ? 3a 或 x ? ?2a 的大小判断.
考点:1.二次不等式的解法.2.处理参数的能力. 11.A 【解析】本题考查二次不等式的解法,不等式的同解变形及转化思想. 不等式 x ? | x | ?2 ? 0 可化为 | x | ? | x | ?2 ? 0 ,即 (| x| ? 1)(| x | 2) ?
2 2

0 ? ,因为 | x | ?1 ? 0,

所以解得 | x |? 2, 则 ? 2 ? x ? 2. 故选 A 12.C 【解析】 试题分析:解:∵x﹣y= ∴比较 即比较 ∵ ∴ ∴x﹣y= ﹣4<0 ∴x<y 考点:不等式比较大小 点评:本题考查比较两个数的大小常用作差法,若数中有根号常转化为判断平方的大小 13. (?1,1) 【解析】略 14. (?2,1] ? [4, 7)
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﹣4 的大小

与 与 4 的大小

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【解析】 试题分析: 原不等式等价于 -9 ? 5 ? 2 x ? ?3 或 3 ? 5 ? 2 x ? 9 , 解得 4 ? x ? 7 或 ?2 ? x ? 1 , ∴不等式的解集为 (?2,1] ? [4, 7) . 考点:解绝对值不等式. 15. 1 ? a ? 3 【解析】 试题分析:不等式 x ? 2x ? 2 ? a ? 2 对于一切实数 x 均成立.由 x 2 ? 2 x ? 2 ? 1 ,所以
2

a ? 2 ? 1,?1 ? a ? 3 .
考点:1.不等值的性质.2.恒成立问题 16. {x | ?2 ? x ? 1} 【解析】略 17.解: (1)由题意,得 1、b 为方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,且 a ? 0 .
2

………1 分

3 ? 1? b ? ? ? a ? ? 1? b ? 2 ? a , ∴由韦达定理 ?
解得 a ? 1,b ? 2
2 (2)原不等式即为 x - 3x ? 2 ? 0

…………………4 分 …………………6 分 …………………8 分 …………………11 分 …………………12 分



( x ? 1)(x ? 2) ? 0

?1 ? x ? 2

? 原不等式的解集为 ?x 1 ? x ? 2?
【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的问题。 (1)由题意,得 1、b 为方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,且
2

3 ? 1? b ? ? ? a ? ? 1? b ? 2 ? a , ∴由韦达定理 ?
2 (2)原不等式即为 x - 3x ? 2 ? 0 然后利用不等式的思想解得。

18. m ? [ ?2, ?1] . 【解析】 试题分析:先化简命题 p, q ,得到相应的数集;再利用 p ? q 为真得到所求范围.
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解题思路:要牢记简单命题与复合命题之间的真值表: 当且仅当 p, q 都为真命题时,p ? q 为 真命题;当且仅当 p, q 都为假命题时, p ? q 为假命题; p 与 ? p 的真假性相反. 试题解析:命题 p : m2 ? m ? 6 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 2) ? 0 ? ?2 ? m ? 3 ; 命 题

q:







4 x2 ?

4 m( ?

?R 对 ? x1 x2? )

0恒





? ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ? ?3 ? m ? ?1 ;
因为命题 p ? q 为真,所以 p, q 都为真命题,则 ? 考点:1.复合命题;2.解一元二次不等式. 19. (1){x| -1≤x≤

?? 2 ? m ? 3 ,解得 ? 2 ? m ? 1 . ?? 3 ? m ? 1

1 }; (2){x| x≥2 或 x<1 且 x≠0}. 2

【解析】 试题分析: (1)注意对数真数大于 0,再将 0 化为同底数的对数式,利用单调性即可解决, 注意分式不等式要移项通分; ( 2 )同意分式不等式的等价变形,原不等式等价于等价于

? x 2 ( x ? 1) ? 0 ,容易忘记分母不为 0 ? 2 x ( x ? 1 ) | x ? 3 | ( x ? 2 ) ? 0 ?
试题解析: (1)不等式 log 2

2x 2 ? 2x ? 1 2x 2 ? 2x ? 1 ≤0 等价于 0< ≤1, x?2 x?2

? 2x 2 ? 2x ? 1 ?0 ? 2x 2 ? 2x ? 1 ? x ? 2 即? 2 ,由 >0,解得 x>-2, x?2 ? 2x ? 2x ? 1 ? 1 ? x?2 ?

2x 2 ? 2x ? 1 2x 2 ? x ? 1 1 由 ≤1 得 ≤0,解得 x<-2 或-1≤x≤ , 2 x?2 x?2
∴ 原不等式的解集是{x| -1≤x≤

1 } 2

? x 2 ( x ? 1) ? 0 | x ? 3 | ( x ? 2) (2) 由 ≥0,等价于 ? 2 x 2 ( x ? 1) ? x ( x ? 1) | x ? 3 | ( x ? 2) ? 0
由 x (x-1)≠0,得 x≠0,x≠1, 2 又 x >0,|x-3|≥0,∴ (x-1) (x-2)≥0,得 x≥2 或 x<1, ∴ 原不等式的解集是{x| x≥2 或 x<1 且 x≠0}. 考点:对数、分式不等式的解法 20.(1) k ? ? 【解析】
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2

2 6 ;(2) k ? ? 5 6

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试题分析:解:∵不等式 kx -2x+6k<0(k≠0) , 不等式的解集是{x|x<-3 或 x>-2}, ∴根据二次函数与方程的关系,得:k<0, 2 且-3,-2 为关于 x 的方程 kx -2x+6k=0 的两个实数根, 据韦达定理有-3+(-2)= ?

2

2 2 ,k ? ? k 5

(2)根据题意,由于 k=0,不符合题意舍去,当 k 不为零时,则根据开口向下,判别式小于零 可知,4-24k <0,k<0 得到取值范围是 k ? ?
2

6 6

考点:二次函数与不等式 点评:本题考查了函数恒成立问题,着重考查二次函数的图象与性质,同时考查了分类讨论 思想的运用和转化思想,易错点在于忽略当 k=0 的情形,属于中档题

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