高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)教学素材新人教B版必修1

2.3 函数的应用（Ⅰ） 教学建议 1.函数的应用是学习函数的一个重要方面 .学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识 分析与解决实际问题. 2.解决函数应用问题的关键环节就是“数学建模”.要顺利建立和解决数学模型,需具备以 下能力:阅读理解能力、逻辑推理能力和计算能力,能迅速捕捉信息、抓住问题的关键.具体 解题中,应抓住以下几个步骤: 第一步:阅读理解、认真审题 就是读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学信息, 尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握住新信息抓住问题的要害. 在此基础上分析出已知什么,求什么,都涉及哪些知识.确定自变量与函数值的意义,尝试问 题的函数化.审题时要抓住题目中关键的量,勇于尝试、探索,敢于发现、归纳,善于联想、化 归,实现应用问题向数学问题的转化. 第二步:引进数学符号,建立数学模型 一般地,设自变量为 x,函数为 y,并用 x 表示各相关变量.然后根据问题已知条件,运用已掌握 的数学知识、 物理知识以及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题, 实现问题的数学化,即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:再转化成具体问题作出规范解答. 3.数学建模的过程可概括如下: 4.注意积累常见实际问题的关系式,如:路程=速度×时间.总价=单价×数量,利润=总收入总成本等等. 备用习题 1.某饭店有 n 间客房,客房的定价将影响住房率,每天客房的定价与每天的住房率的关系如 下表: 每间客房的定价 每天的住房率 90 元 65% 80 元 70 元 60 元 要使此饭店每天收入最高,则每间房价应定为( A.90 元 B.80 元 C.70 元 ) D.60 元 1 65% 85% 90% 解析：由题意有 90×65%=58.5(元), 80×75%=60(元), 70×85%=59.5(元), 60×90%=54(元), 故选 B. 答案：B 2.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优 惠. ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标准价给予 9 折优惠.③如果超过 500 元,则其 500 元按第②条给予优惠超过 500 元的部分给予 7 折优惠.某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则应付款是( ) A.413.7 元 B.513.6 元 C.546.6 元 D.548.7 元 解析：两次购物标价款:168+ 423 =168+470=638(元), 0 .9 实际应付款:500×0.9+138×0.7=546.6(元). 故选 C. 答案：C 3.一批赈灾物资随 26 列货车以 v km/h 的速度从 A 市匀速直达灾区 B,已知两地铁路线长 400 km,为安全起见,每两列货车间距不得小于( 多长时间? v 2 ) km,为使这批物资全部运到灾区,最快需要 20 25( 解析：设第一列货车出发 t1 h 后,最后一列货车才开始出发,这时 t1= v 2 ) 20 = v (h). 16 v 400 (h), v v 400 ∴全部运到灾区所用时间 t=t1+t2= + (v>0), 16 v 又最后一列货车途中用时 t2= 配方得 t=( v 20 2 ) +10≥10. 4 v ∴当 v 20 = , 4 v 即 v=80(km/h)时,t 最小,为 10(h). 故最快需要 10 小时. 4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面 高度 25m 到 30m 处)时爆裂.如果在距地面高度 18m 的地方点火,并且烟花冲出的速度是 14.7m/s. (1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式; (2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)? 2 解析： (1)设烟花在 ts 时距地面的高度为 hm,则由物体运动原理可知 h(t)=-4.9t +14.7t+18. 2 (2)作出函数 h(t)=-4.9t +14.7t+18 的图象.显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数 h(t)=-4.9t +14.7t+18,我们有:当 t= ? 2 2 14.7 =1.5 时,函 2 ? (?4.9) 数有最大值 h= 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 ≈29. 4 ? (?4.9) 于是,烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为 29m. 3