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2015-2016高中数学 1.2.2第1课时 函数的表示法课件 新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念

1.2.2 第1课时

函数的表示法 函数的表示法

1 .掌握函数的三种表示方法 —— 解析法、图象法、列表 法.(重点)

2.会求函数解析式,并正确画出函数的图象.(难点、易
错点)

函数的表示法

做一做

某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x
与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表 示出来. 解:(1)列表法: x(台) y(元) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

300 600 900 120 150 180 210 240 270 300 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00

(2)图象法:

(3)解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,?,10}.

三种表示方法的优缺点比较

函数解析式的求法

(1)已知反比例函数 f(x)满足 f(3)=-6,求 f(x)的解析式; (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x).

k 思路点拨:(1) 设f?x?=x?k≠0? → 由f?3?=-6求出k → f?x?的解析式 (2) 令 x+1=t → x=?t-1?2 → 求f?t? → 改写成f?x? ; 或 f? x+1?=? x+1?2-1 → f?t?=t2-1 → 改写成f?x? .

k 解:(1)设反比例函数 f(x)=x(k≠0), k 则 f(3)= =-6, 3 解得 k=-18. 18 ∴f(x)=- x .

(2)方法一:换元法: 令 x+1=t(t≥1),则 x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 方法二:配凑法: ∵x+2 x=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1. 又∵ x+1≥1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).

【互动探究】 将本例(2)中的已知条件改为
1 1 解:方法一:设 t= ,则 x= (t≠0), x t
? 1? x ? ? fx= 2,得 ? ? 1-x

?1? x ? ? fx= 2呢? ? ? 1-x

代入

t f(t)= ?1? =t2-1, 1-? t ?2 ? ?

1 t

x 故 f(x)= 2 (x≠0,且 x≠± 1). x -1

?1? x ? ? 方法二:∵f x = , 2 =? ? 1 ? ? 1-x ? ?2-1 ?x?

1 x

x ∴f(x)= 2 (x≠0,且 x≠± 1). x -1

求函数解析式的两种方法 方法一:待定系数法. 适 用 条 件 : 函 数 的 类 型 已 知 , 如 一 次函 数 、 二次 函 数 等.操作过程:

方法二:换元法. 适用条件:已知y=f(g(x)),求f(x)的解析式. 操作过程:

提醒:利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.

1.(1)一次函数y=f(x)满足f(1)=1,f(-1)=-3,求f(3). (2)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).

解:(1)设一次函数 f(x)=ax+b(a≠0). ∵f(1)=1,f(-1)=-3,
? ?a+b=1 ∴? ? ?-a+b=-3 ? ?a=2 ,解得? ? ?b=-1

.

∴f(x)=2x-1, ∴f(3)=2×3-1=5.

(2)方法一:令 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2 =t2-2t+1-3t+5 =t2-5t+6. ∴f(x)=x2-5x+6. 方法二:∵x2-3x+2 =(x+1)2-5x+1 =(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6.

函数的图象及简单应用

作出下列函数的图象并求出其值域: (1)y=2x+1,x∈[0,2]; 2 (2)y= x,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
观察 思 路 点 拨 : 列表 → 描点 → 用平滑曲线连成图象 ――→ 图象 求得值域

解:(1)列表:
x y 0 1 1 2 2 1 3 3 2 4 2 5

当 x∈[0,2] 时,图象是直线的一部分,观察图象可知,其 值域为[1,5].

(2)列表:
x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5

? ?

2 当 x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数 y= 的一部分,观察 x 图象可知其值域为(0,1].

(3)列表: x y 分. -2 0 -1 -1 0 0 1 3 2 8

画图象,图象是抛物线 y = x2 + 2x 在- 2≤x≤2 之间的部

由图可得函数的值域是[-1,8].

1.作函数图象的三个步骤 (1) 列表.先找出一些有代表性的自变量 x 的值,并计算出 与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来. (2)描点.把第(1)步表格中的点(x,f(x))一一在坐标平面上 描出来.

(3)连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序
连接起来. 提示:所选的点越多画出的图象越精确,同时所选的点应 该是关键处的点.

2.常见函数图象的画法技巧 (1) 对于一次函数的图象,描出与坐标轴的交点,连线即 得; (2)对于二次函数的图象,描出与坐标轴的交点、顶点,连 线即得.

2.作出下列函数图象:

(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).

解:(1)∵x∈Z,且|x|≤2, ∴x∈{-2,-1,0,1,2}. ∴图象为一直线上的孤立点(如图(1)).

(2)∵y=2(x-1)2-5, ∴当x=0时,y=-3; 当x=3时,y=3;当x=1时,y=-5. 所画函数图象如图(2).

函数的三种表示

已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人 b 数 x 之间适合关系式 t=ax+ x,当 x=2 时,t=100;当 x=14 时,t=28,且参加此项任务的人数不能超过 20 人. (1)写出函数 t 的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图象.

思路点拨: (1) 用待定系数法求解析式. (2) 求出定义域内 所有自变量的取值及对应的函数值,列出对应值表.(3)函数图 象是20个孤立的点.

解:(1)由题设条件知,当 x=2 时,t=100, b ? ?2a+2=100, 当 x=14 时,t=28 得方程组? ?14a+ b =28. 14 ?
? ?a=1, 解此方程组得? ? ?b=196.

196 所以 t=x+ x .

又因为 x≤20,x 为正整数, 所以函数的定义域是{x|0<x≤20,x∈N*}.

(2)x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 ,共 取20个值,列表如下: x t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6

x
t

13 14 15 16 17 18 19 20 28. 28.8 28.3 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 1

11

12

注:表中的部分数据是近似值.

(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列.如图所示.

在实际研究一个函数时,通常是将上述三种表示法结合起

来使用,即解析式→列表→描点,画出图象,然后再总结出函
数的性质.三种方法相互兼容和补充,各有优缺点,在实际操 作中,仍以解析法为主.

3 .国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应邮 资如下表: 信函质量 (m/g) 邮资M/元 0< m≤20 1.2 20< m≤40 2.4 40< m≤60 3.6 60< m≤80 4.8 80< m≤100 6.0

试用另外一种方法表示函数M=f(m).

解: 由表格可得到函数的简图,从而得到表示函数 M = f(m)的另一种方法,即图象法.

思维创新系列(二) 函数解析式的求法 (1)已知函数f(x)是一次函数,若f[f(x)]=4x+8,求f(x)的

解析式.
(2) 已知 f(x) 是二次函数,且满足 f(0) = 1 , f(x + 1) - f(x) = 2x,求f(x)的解析式.

解:(1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又 f[f(x)]=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8,
2 ? ?a =4, 即? ? ?ab+b=8,

a=2, ? ? ? ?a=-2, 解得? 8 或? ? b=3, ?b=-8. ? ?

8 ∴f(x)=2x+3或 f(x)=-2x-8.

(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=1,∴c=1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 整理得:2ax+(a+b)=2x. 由恒等式性质知上式中对应项系数相等.
? ?2a=2, ∴? ? ?a+b=0,

解得 a=1,b=-1, ∴f(x)=x2-x+1.

【借题发挥】 上例为 “ 已知函数的类型,求函数的解析 式”的问题.解决此类问题的方法是待定系数法,即引入参数 设出函数的解析式,然后利用条件确定所设的参数的具体值, 即可求出其结果.

【多维探究】对于函数解析式的求解还有如下几种类型, 应注意掌握. (1)已知f(x)的解析式,求f[g(x)]的解析式. 解决此类问题的方法为“直接代入法”,直接代入法主要 解决已知f(x)的解析式,求f[g(x)]的解析式的问题,其解法为用 g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.

例:已知 f(x)=2x2+1,求 f( x+1)的解析式.
解:因为 f(x)=2x2+1, 所以 f( x+1)=2( x+1)2+1=2x+4 x+3. (2)已知 f[g(x)]的解析式,求 f(x)的解析式. 解决此类问题常见的方法有“整体代入法”和“换元 法”.“整体代入法”是把 g(x)视为一个整体,将 f[g(x)]的解析 式转化为含 g(x)的表达式,然后直接整体代换 g(x),即可求出解 析式,此种方法不必求出 x,可以减少运算量.“换元法”是通 过引入参数 t 进行式子的变形,从而得到 f(x)的表达式,这是解 此类型题的通法.

例:已知

?1+x? 1+x2 1 ? f? ? x ?= x2 +x ,求 ? ?

f(x).

解:方法一:(换元法) 1+x 1 1 令 t= x =x +1,得 x= , t-1
?1+x? 1+x2 1 1 ? 则 t≠1.把 x= 代入 f? ? x ?= x2 +x , t-1 ? ?



? 1 ? ?2 1+? ?t-1? 1 ? ? 2 2 f(t)= ? + = ( t - 1) + 1 + ( t - 1) = t -t+1. ? 1 1 ? ?2 ?t-1? t-1 ? ?

∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1, +∞).

方法二:(配凑法)
?1+x? 1+x2+2x-2x 1 ? ∵f? +x 2 ? x ?= x ? ? ?1+x? ? ? ? ?2 1+x-x ?1+x?2 1+x =? =? ? - ? - x +1, x x x ? ? ? ?

1+x 1 ∴f(x)=x -x+1.又∵ = +1≠1, x x
2

∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1(x≠1).

(3)已知的式子中含有 求 f(x)的解析式.

?1? f(x),f?x ?或 ? ?

f(x),f(-x)形式的函数,

1 解决此类问题的方法为“方程组法”, 即用x替换 x 或用-x 替换 x,组成方程组求解.

例:①已知 af(x)+f(-x)=bx,其中 a≠± 1,求 f(x); ②已知
?1? f(x)-2f? x?=3x+2,求 ? ?

f(x).

解:①在原式中以-x 替换 x,得 af(-x)+f(x)=-bx,
? ?af?x?+f?-x?=bx, 于是得? ? ?af?-x?+f?x?=-bx.

消去 f(-x), bx b 得 f(x)= 故 f(x)的解析式为 f(x)= x. a-1. a-1

? 1? 1 3 ? ? ②在原式中用 替换 x,得 f x -2f(x)= +2, x x ? ?

3 ? ?1? ? ? ?f? x?-2f?x?=x+2, 于是有? ? ? ?f?x?-2f?1?=3x+2. ? ?x ? 消去
? 1? f? x ?, ? ?

2 得 f(x)=-x-x -2.


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