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高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)4.4数系的扩充与复数的引入课件 新人教A版_图文

[知识能否忆起] 一、复数的有关概念 1.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数, 其中a,b分别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+bi 为实数;若 b≠0 ,则a+bi为虚数;若 a=0,b≠0 ,则a +bi为纯虚数. 2.复数相等:a+bi=c+di? a=c,b=d(a,b, c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi与c+di共轭?_____________ a=c,b+d=0 (a,b,c,d∈R). 4.复数的模:向量OZ 的长度叫做复数 z=a+bi 的 2 2 a + b 模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= . 二、复数的几何意义 1.复平面的概念:用直角坐标平面内的点来表示 复数时,这个 直角坐标平面为复平面. 2.实轴、虚轴:在复平面内,x轴叫作 实轴 ,y轴 叫作 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 ;除原点以外,虚 轴上的点都表示 纯虚数 . 3.复数的几何表示: 一一对应 复数z=a+bi ???? ? 复平面内的点 Z(a,b) 一一对应 ???? ? 平面向量 OZ . 三、复数的运算 [动漫演示更形象,见配套课件] 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:z -z =(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ; 1 2 (3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ? a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ? c+di??c-di? ? ac+bd?+? bc-ad?i = c2+d2 (c+di≠0). 2.复数加法、乘法的运算律: (1)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、 z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1 + ( z2 + z 3 ) . (2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的 z· z 分配律,即对任意z1,z2,z3∈C,有z1· z2= 2 1 ,(z1· z2)· z3 z1 · (z2 · z3 = ) ,z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知a∈R,i为虚数单位,若(1-2i) (a+i)为纯虚数,则a的值等于 A.-6 C.2 B.-2 D.6 ( ) 解析:由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数, ? ?a+2=0, 得? ? ?1-2a≠0, 由此解得a=-2. 答案:B 2.(2011· 湖南高考)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)I =b+i,则 A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 ( B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1 ) 解析:由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根 据两复数相等的充要条件得a=1,b=-1. 答案:D 5+3i 3.(2012· 天津高考)i是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i B.-1+i ) C.1+i D.-1-i 5+3i ?5+3i??4+i? 20+5i+12i+3i2 解析: = = = 2 4-i ?4-i??4+i? 16-i 17+17i =1+i. 17 答案:C z 4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________ 1+i 象限. 解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此z对应的点为(-2,2), 在第二象限内. 答案:二 3+i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i 3+i 解析:因为z= -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= 17. i 答案: 17 1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外, 还要注意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的 距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间 的距离. 2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R? b=0(a, b∈R);②z∈R ? z= z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi为纯虚 数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z + z =0 且 z≠0. 复数的有关概念 [例1] (1)(2011· 安徽高考)设i是虚数单位,复数 ( B.-2 1 D. 2 ) 1+ai 为纯虚数,则实数a为 2-i A.2 1 C.- 2 2-bi (2)(2012· 郑州质检)如果复数 (其中i为虚数单位, 1+2i b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于 2 2 A.- B. 3 3 C. 2 ( ) [自主解答] D.2 1+ai ?1+ai??2+i? (1)法一:因为 = 2-i ?2-i??2+i? 2-a+?2a+1?i = 为纯虚数, 5 所以2-a=0,a=2. 1+ai i?a-i? 法二:因为 = 为纯虚数,所以a=2. 2-i 2-i 2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?4+b?i (2) = = , 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 依题意有2-2b=4+b,解得b=- . 3 [答案] (1)A (2)A 1+ai 本题例1(1)中复数 为实数,求a的值. 2-i 1+ai 2-a+?2a+1?i 解:由例题知 = , 5 2-i 1 因此2a+1=0,即a=- . 2 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的 实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题 来处理.由于复数z=a+bi(a,b∈

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