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高中数学(北师大版·必修5)配套练习:1.3等比数列 第4课时


第一章

§3

第 4 课时

一、选择题 4 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( 3 A.-6(1-3 C.3(1-3 [答案] C [解析] 本题考查等比数列的定义,前 n 项和的求法. 3an+1+an=0 ∴ an+1 1 =- =q an 3
-10

)

)

1 B. (1-310) 9 D.3(1+3
-10

-10

)

)

1 4 a2=a1· q=- a1=- ,∴a1=4 3 3 1 4?1-?- ?10? 3 - ∴S10= =3(1-3 10). 1 1+ 3 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( A.3 C.5 [答案] B [解析] ∵3S3=a4-2,3S2=a3-2, ∴3S3-3S2=a4-a3, ∴3a3=a4-a3, ∴4a3=a4, a4 ∴ =4,∴q=4. a3 3.若等比数列{an}满足 anan+1=64n,则公比为( A.2 C.8 [答案] C [解析] 本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力. ∵an· an+1=64n,∴an-1· an=64n
-1

)

B.4 D.6

)

B.4 D.16



an· an+1 an+1 64n = =q2= n-1=64 an-1· an an-1 64

∴q=8. 4.在各项为正数的等比数列中,若 a5-a4=576,a2-a1=9,则 a1+a2+a3+a4+a5 的值是( A.1061 C.1024 [答案] B [解析] 由题意得 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, a4 ∴ =q3=64,∴q=4,∴a1=3, a1 3×?45-1? ∴a1+a2+a3+a4+a5= =1023. 4-1 5.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( A.9 C.11 [答案] C
10 10 [解析] ∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a5 1q =q ,

)

B.1023 D.268

)

B.10 D.12

又∵am=a1qm 1=qm 1,
- -

∴qm 1=q10,∴m-1=10,∴m=11.


6.已知等比数列前 20 项和是 21,前 30 项和是 49,则前 10 项和是( A.7 C.63 [答案] D [解析] 由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, ∴(S20-S10)2=S10· (S30-S20), 即(21-S10)2=S10(49-21), ∴S10=7 或 63. 二、填空题 B.9 D.7 或 63

)

n 1 ? ?n为正奇数? ?2 7.已知数列{an}中,an=? ,则 a9=______________.设数列{an}的前 n 项和为 Sn, ?2n-1 ?n为正偶数? ?


则 S9=______________. [答案] 256 377 [解析] a9=28=256, S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
2 2 8. 在等比数列{an}中, 已知对于任意 n∈N+, 有 a1+a2+…+an=2n-1, 则 a2 1+a2+…+an=________.

[答案]

1 n 1 ×4 - 3 3

[解析] ∵a1+a2+…+an=2n-1, ∴a1+a2+…+an-1=2n 1-1(n≥2),


两式相减,得 an=2n-1-2n 1+1=2n-2n 1=2n 1,
- - -

n 1 2 ∴a2 ) =22n 2=4n 1, n=(2
- - -

1-4n 1 1 2 2 ∴a2 + a + … + a = = ×4n- . 1 2 n 3 1-4 3 三、解答题 9.(2014· 北京文,15)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn -an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1,
- -

从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,…).


(2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,…).


1-2n n 3 n-1 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2 }的前 n 项和为 1× =2 -1. 2 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 10.求和 Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2n. [解析] ∵Sn=1×2+4×22+7×23+…+[3(n-1)-2]×2n 1+(3n-2)×2n①


2Sn=1×22+4×23+…+[3(n-1)-2]×2n+(3n-2)×2n 1②


∴①-②得,-Sn=1×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-2)×2n 1=3(2+22+…+2n)-(3n-2)×2n




1

-4=3(2n 1-2)-(3n-2)×2n 1-4=3×2n 1-6-3n×2n 1+2n 2-4=2n 2+3(1-n)×2n 1-10.∴Sn=3(n
+ + + + + + + + +

-1)×2n 1-2n 2+10 =(3n-5)×2n 1+10.


一、选择题

1 1.已知等比数列{an}中,公比 q= ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a1+a2+a3+…+a100=( 2 A.100 C.120 [答案] B 1 [解析] ∵a2+a4+a6+…+a100=a1q+a3q+a5q+…+a99q=q(a1+a3+a5+…+a99)= ×60=30 2 ∴a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=60+30=90. 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×4 C.45 [答案] A
4

)

B.90 D.30

)

B.3×4 +1 D.45+1

4

[解析] 该题考查已知一个数列的前 n 项和 Sn 与 an+1 的关系,求通项公式 an.注意的问题是用 an=Sn- Sn-1 时(n≥2)的条件. an+1=3Sn ① an=3Sn-1 ② ①-②得 an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an 即 an+1=4an ∴ an+1 =4.(n≥2)当 n=2 时,a2=3a1=3, an

an+1 a2 ∴ =3≠ =4 a1 an ∴an 为从第 2 项起的等比数列,且公比 q=4,∴a6=a2· q4=3· 44. 3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒 成立的是( ) B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

A.X+Z=2Y C.Y2=XZ [答案] D

[解析] 由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. 又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列,∴(Y-X)2=X· (Z-Y),整理得 Y2-XY=ZX-X2,即 Y(Y-X)=X(Z-X).故选 D. S6 S9 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 A.2 7 B. 3 )

8 C. 3 [答案] B

D.3

S6-S3 S6 [解析] ∵ =3,∴S6=3S3,∴ =2, S3 S3 S9-S6 2 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴ =2 , S3 ∴S9=4S3+S6=7S3, S9 7S3 7 ∴ = = ,∴选 B. S6 3S3 3 二、填空题 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n 1+m,则 a1=________.


[答案] 6 [解析] ∵a1=S1=9+m, a2=S2-S1=27+m-9-m=18, a3=S3-S2=81+m-27-m=54, 又∵{an}为等比数列,
2 ∴a2 2=a1a3,∴18 =54(9+m),

解得 m=-3. ∴a1=9+m=6. 6.(2014· 天津理,11)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成 等比数列,则 a1 的值为________. 1 [答案] - 2 [解析] 本题考查等差数列等比数列综合应用,由条件: S1=a1, S2=a1+a2=a1+a1+d=2a1-1 S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1+d+a1+2d+a1+3d=4a1+6d=4a1-6 ∴(2a1-1)2=a1· (4a1-6)
2 4a2 1+1-4a1=4a1-6a1

1 ∴a1=- . 2 三、解答题 7.已知数列{an}和{bn}中,数列{an}的前 n 项和为 Sn.若点(n,Sn)在函数 y=-x2+4x 的图像上,点(n, bn)在函数 y=2x 的图像上. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知得 Sn=-n2+4n, ∵当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+5, 又当 n=1 时,a1=S1=3,符合上式. ∴an=-2n+5. (2)由已知得 bn=2n,anbn=(-2n+5)· 2n. Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)×2n, 2Tn=3×22+1×23+…+(-2n+7)×2n+(-2n+5)×2n 1.


两式相减可得 Tn=-6+(23+24+…+2n 1)+(-2n+5)2n
+ +1



23?1-2n 1? + +(-2n+5)2n 1-6 1-2
- +

=(7-2n)· 2n 1-14. 8.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3· 22n 1.


(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由已知,当 n≥1 时, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(22n 1+22n 3+…+2)+2
- -

=22n 1=22(n


+1)-1

.

而 a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1.


(2)由 bn=nan=n· 22n 1,知


Sn=1×2+2×23+3×25+…+n· 22n 1,①


22· Sn=1×23+2×25+3×27+…+(n-1)22n 1+


n· 22n 1.②


①-②,得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n 1-n· 22n 1,
- +

1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9



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