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2012年广东高考理科数学(全解析)逐题详解(纯净WORD)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)逐题详解
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.2012 年 12 月 26 日星期三
1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 ? 5i 【解析】D;

5 ? 6i ?( ) i B. 6 ? 5i

C. ?6 ? 5i

D. ?6 ? 5i

5 ? 6i ? 5 ? 6i ? i 5i ? 6 ? ? ? ?6 ? 5i ,故选 D. i ?1 ?1 3, 2.设集合 U ? {1, 2, 4,5,6} , M ? {1, 2, 4} ,则 ? M ? ( ) U
A. U B. {1,3,5} C. {3,5, 6} D. {2, 4,6} 【解析】C;送分题,直接考察补集的概念, ? M ? ?3,5,6? ,故选 C. U 3.若向量 BA ? (2,3) , CA ? (4,7) ,则 BC ? ( A. (?2, ?4) B. (3, 4)

??? ?

??? ?

??? ?

)

C. (6,10) D. (?6, ?10) ??? ??? ???? ? ? 【解析】A;考察向量的运算法则, BC ? BA ? AC ? ? 2,3? ? ? ?4, ?7 ? ? ? ?2, ?4 ? ,故选 A. 4.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 2) B. y ? ? x ? 1 ) C. y ? ( )

1 2

x

D. y ? x ?

1 x

【解析】A;函数 y ? ln( x ? 2) 的图像可由函数 y ? ln x 的图像向左平移 2 个单位得到,显然满足题意. y

?y ? 2 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A. 12 B. 11 C. 3 D. ?1

)
B(-1,2)

2 A(3,2)

【解析】B;画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知, 当 x ? 3, y ? 2 时, z ? 3x ? y 取得最大值为 11 . 6.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 12? B. 45? C. 57? ) D. 81?
5

O

1

x

5 5

5

5 5

【解析】C;三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的

1 ? ? ? 32 ? 4 ? ? ? 32 ? 5 ? 57? . 3 7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0
几何体,易得圆锥的高为 4 ,所以 V ? 的概率是( A. ) B.

6 正视图

6 侧视图

.
俯视图 第 6 题图

4 9

1 3

C.

2 9

D.

1 9

【解析】D;首先求“个位数与十位数之和为奇数的两位数”的个数,利用“奇数+偶数=奇数”分两种情况 求:①即十位数字分别为 1,3,5,7,9 时,个位数字可以为:0,2,4,6,8,此时有 5 ? 5 ? 25 个;②十位数字 为 2,4,6,8 时,个位数字可以为:1,3,5,7,9,此时有 4 ? 5 ? 20 个;故“个位数与十位数之和为奇数的两 位数”的个数有 25 ? 20 ? 45 个,从中任取一个,个位数为 0 的数有 5 个,故所求概率为
第 1 页 共 4 页

5 1 ? ,选 D. 45 9

8.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?? .若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ??

? ? ? ?? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? 0, ? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a ? b ? ( 4 2
? ? ? ?
A.

) D.

? ? ? ? ? b?a | b | ? ? ?n ? ? ? 【 解 析 】 C ; 因 为 b ? a ? ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 1 , 且 a ? b 和 b ? a 都 在 集 合 ? | n ? Z ? 中 , 所 以 ?2 ? a?a | a | ? ? ? ? 1 ? ? |a| ? ? |b| 1 2 b?a ? , ? ? , 所 以 a ? b ? ? cos ? ? 2cos ? ? 2 , 且 a ? b ? 2cos2 ? ? 1 , 所 以 2 | a | 2cos ? |b| ? ? 3 ? ? 1 ? a ? b ? 2 ,故有 a ? b ? ,选 C. 2 ? ? ? ? |a| kk k1 ? ? | b | k 2 【 另 解 】 C ; a ? b ? ? cos ? ? , b ? a ? ? cos ? ? 2 , 两 式 相 乘 得 cos ? ? 1 2 , 因 为 4 2 2 |b| |a|
? ?? ? ? ? 0, ? , k1 , k2 均 为 正 整数 , 于 是 2 ? cos ? ? k1k2 ? 1 , 所以 2 ? k1k2 ? 4 , 所 以 k1k2 ? 3 , 而 ? 4? 2 2
? ? ? ? 3 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3, k2 ? 1 ,于是 a ? b ? ,选 C. 2 二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分

1 2

B. 1

C.

3 2

5 2

(一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x ? 2 | ? | x |? 1 的解集为___________.
【解析】 ? ??, ? ? ; | x ? 2 | ? | x | ”的几何意义为“点 x 到 ?2 和 0 的距离之差”,画出数轴,先找出临 “ 2

? ?

1? ?

界“ | x ? 2 | ? | x |? 1 的解为 x ? ? 10. ( x ?
2

1? 1 ? ”,然后可得解集为 ? ??, ? ? . 2? 2 ?

开始 输入n
i ? 2, k ? 1, s ? 1

1 6 ) 的展开式中 x3 的系数为__________. (用数字作答) x
r 6

【解析】 20 ;通项 Tr ?1 ? C

?x ?

2 6? r

?1? r 12?3r ,令 12 ? 3r ? 3 得 ? ? ? C6 x ? x?
2

r

3 r ? 3 ,此时对应系数为 C6 ? 20 .

i?n

1 s ? ? s?i ? k



11.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? ________. 【解析】 2n ? 1 ;设公差为 d ? d ? 0? ,依题意可得 1 ? 2d ? ?1 ? d ? ? 4 ,
2

输出 s 结束

解得 d ? 2 ( ?2 舍去),所以 an ? 2n ? 1. 12.曲线 y ? x ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为__________.
3

i ?i?2
k ? k ?1
第 13 题图

【解析】 y ? 2 x ? 1 ;求导得 y? ? 3x2 ?1 , y? |x ?1 ? 2 ,由直线的点斜式 方程得 y ? 3 ? 2 ? x ?1? ,整理得 y ? 2 x ? 1 . 13.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为____.

【 解 析 】 8 ; 第 一 次 循 环 得 s ? 2, i ? 4, k ? 2 ; 第 二 次 循 环 得 s ? 4 , i ? 6, k ? 3 ; 第 三 次 循 环 得
第 2 页 共 4 页

s ? 8, i ? 8, k ? 4 ,此时不满足 i ? 8 ,输出 s ? 8 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xOy 中,曲线 C1 和曲线 C2 的参数方程分别为

? x ? 2 cos? ?x ? t ? ( t 为参数)和 ? ( ? 为参数),则曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标为 ? ? y ? 2 sin ? ?y ? t ?
【解析】 ?1,1? ;对应的普通方程分别为 y ?

.

x 和 x2 ? y 2 ? 2 ,联立得交点坐标为 ?1,1? .
A

15. (几何证明选做题)如图,圆 O 的半径为 1 , A, B, C 是圆上三点, 且满足 ?ABC ? 30? ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交 于点 P ,则 PA ? . B 【解析】 3 ;连结 OA, AC ,易得 ?AOC ? 60?, ?CAP ? 30? ,在 直角三角形 OAP 中,根据题中的数量关系易得 PA ? 3 . 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? (Ⅰ) 求 ? 的值;

O

.
第 15 题图

C

P

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

?
6

) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为10? .

5? 6 5? 16 ? ?? ? , f (5? ? 3 ) ? ? 5 , f (5? ? 6 ) ? 17 ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2? 2? 1 ? 10? 得 ? ? . 【解析】(Ⅰ)由 ? 5 1 ? 5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? 得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 cos( x ? ) ,由 f (5? ? 5 6 3 5 6 17
(Ⅱ) 设 ? , ? ? ?0,

sin ? ?

3 8 4 15 ? ?? , cos ? ? .又 ? , ? ? ?0, ? ,所以 cos ? ? , sin ? ? , 5 17 5 17 ? 2? 32 45 13 ? ?? . 85 85 85
频率 组距

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 17. (本小题满分 13 分)

某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是: ?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? ,

0.054

?80,90? , ?90,100? .
(Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 【解析】(Ⅰ) 由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? x ? 0.054? ?10 ? 1 解得 x ? 0.018 . (Ⅱ)成绩不低于 80 分的学生人数有 50 ? ? 0.018 ? 0.006? ?10 ? 12 人. 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数有 50 ? 0.006 ?10 ? 3 人.
第 3 页 共 4 页

x 0.01 0.006

40 50 60 70 80 90 100 成绩
第 17 题图

随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,且

P ?? ? 0 ? ?

C92 6 C1C1 9 C2 1 , P ?? ? 2 ? ? 3 ? , ? , P ?? ? 1? ? 3 2 9 ? 2 2 C12 11 C12 22 C12 22

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

9 6 11 22 6 9 1 1 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 11 22 22 2
18. (本小题满分 13 分)

1 22

如 图 所 示 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D为 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, 点 E 在 线 段 PC P 上, PC ? 平面 BDE . (Ⅰ) 证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 若 PA ? 1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值. 【解析】(Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD , 又 PC ? 平面 BDE , BD ? 平面 BDE ,所以 PC ? BD , 因为 PA ? PC ? P ,所以 BD ? 平面 PAC . (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PAC ,所以 BD ? AC , 则 OE ? PC, BO ? PC, 所以 ?BEO 为二面角 B ? PC ? A 的平面角, 在 Rt ?PAC 中,由等面积法可得 OE ? 在 Rt ?BOE 中, tan ?BEO ? B
第 18 题图

A E C

D

又底面 ABCD 为矩形,从而底面 ABCD 为正方形,设 AC ? BD ? O ,连结 OE ,

1 PA ? AC 1 1? 2 2 2 ,又 BO ? 2 ? ? ? ? 2 PC 2 3 3

BO ?3 OE 所以二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3 .
19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.
*

(Ⅰ) 求 a1 的值; (Ⅱ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 【解析】(Ⅰ)因为 2Sn ? an?1 ? 2
n?1

1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2

?1 ,当 n ? 1 时, 2S1 ? a2 ? 3 ,即 a2 ? 2a1 ? 3 ,

当 n ? 2 时, 2S2 ? a3 ? 7 ,即 a3 ? 2a2 ? 2a1 ? 7 ,又 2 ? a2 ? 5? ? a1 ? a3 联立上述三个式子可得 a1 ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a2 ? 5 当 n ? 2 时,由 2Sn ? an?1 ? 2
n?1

? 1得 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1,两式相减整理得 3an ? an?1 ? 2n ,

第 4 页 共 4 页



a a 3 ?a 3 ?a an ?1 3 an 1 ? ? ? ? n ? ,即 n ?1 ? 1 ? ? ? n ? 1? ,又 2 ? 1 ? ? ? 1 ? 1? , 2 1 n ?1 n n ?1 2 2 ?2 2 2 ?2 2 2 2 2 ? ?
a 3 3 ? an ? ? 1? 为首项为 1 ? 1 ? ,公比为 的等比数列, n 1 2 2 2 ?2 ?
n ?1

所以 ?

a 3 ? 3? 所以 n ? 1 ? ? ? ? n 2 2 ? 2?
(Ⅲ) 当 n ? 1 时,

? 3? n n ? ? ? ,所以 an ? 3 ? 2 . ? 2?

n

1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立,当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2

1 2 n 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? (1 ? 2)n ? 2n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ?? Cn ?1 ? 2n?1 ? 2n ? 2n 1 2 n 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ?? Cn ?1 ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n(n ?1)

又因为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? (2 ?1) ,所以 an ? 2n(n ?1), n ? 2 , 所以

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an 2n(n ? 1) 2 n ? 1 n

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? . a1 a2 a3 an 2 2 3 4 n ?1 n 2 n 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a 2 b2

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

2 , 且椭圆 C 上的点到点 3

Q ? 0,2? 的距离的最大值为 3 .
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程 (Ⅱ) 在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点

A, B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)依题意 e ?

1 2 c 2 2 2 2 2 ? ? c 2 ? a 2 ,所以 b ? a ? c ? a , 3 a 3 3

设 P( x, y) 是椭圆 C 上任意一点,则 所以 | PQ |?

x2 y 2 y2 ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? a 2 (1 ? 2 ) ? a 2 ? 3 y 2 , b a2 b

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6
2

当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,可得 a ? 3 ,所以 b ? 1, c ? 2 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)[韦达定理法]因为 M (m, n) 在椭圆 C 上,所以 由?

m2 ? n2 ? 1 , m2 ? 3 ? 3n2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 3

?mx ? ny ? 1 2 2 2 2 ,得 (m ? n ) x ? 2mx ? 1 ? n ? 0 x2 ? y 2 ? 1 ?
1 ? n2 2m , x1 x2 ? 2 m2 ? n2 m ? n2
第 5 页 共 4 页

2 所以 ? ? 4m2 ? 4(m2 ? n2 )(1 ? n2 ) ? 4n2 (m2 ? n2 ?1) ? 8n2 (1 ? n2 ) ? 0 ,可得 n ? 1 ,

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

所以 y1 y2 ? 所以 | AB |?

1 ? mx1 1 ? mx2 1 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2 1 ? m2 ? ? ? 2 n n n2 m ? n2
2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 )

1 ? n2 1 ? m2 1 ? 2 ) ? 2 1? 2 2 2 2 m ?n m ?n m ? n2 1 设原点 O 到直线 AB 的距离为 h ,则 h ? 2 m ? n2 ? 2 ? 2(
所以 S?OAB ? 设t ?

1 1 1 | AB | ?h ? (1 ? 2 ) 2 2 2 m ?n m ? n2

1 1 ,由 0 ? n2 ? 1 ,得 m2 ? n2 ? 3 ? 2n2 ? (1,3) ,所以, t ? ( ,1) 2 m ?n 3
2

S?OAB

1 ? 1? 1 ? t ?1 ? t ? ? ? ? t ? ? ? , t ? ( ,1) 3 ? 2? 4 1 1 时, S?OAB 面积最大,且最大为 , 2 2
? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ,? , ,? , ?或? ? ?或?? ?. ?或? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

所以,当 t ?

此时,点 M 的坐标为 ?

[垂径定理切入]因为点 P?m, n? 在椭圆 C 上运动,所以 圆心 O 到直线 l : m x ? ny ? 1 的距离 d ?

m2 ? n2 ? 1 , m2 ? 3 ? 3n2 , 3

1 m2 ? n2
2

,

直线 l 被圆 O 所截的弦长为 | AB |? 2 1 ? d ? 2 1 ? 所以 S?OAB ?

1 m ? n2
2

1 1 1 | AB | ?d ? (1 ? 2 ) ,接下来做法同上. 2 2 2 m ?n m ? n2

21. (本小题满分 14 分) 设 a ? 1 ,集合 A ? {x ? R x ? 0}, B ? {x ? R 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A ? B . (Ⅰ) 求集合 D (用区间表示) ; (Ⅱ) 求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(1 ? a) x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 【解析】(Ⅰ)由方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 得判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ?1)
2 2

因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ? ? 0, ??? ; 3 1 当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ??) ; 3 1 2 当 a ? 时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 , 3
当 则 x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? , B ? {x | x ? x1或x ? x2 } 4 4
第 6 页 共 4 页

当0 ? a ?

1 3 时, x1 ? x2 ? (1 ? a ) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4 当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0
此时, D ? ( x, x1 ) ? ( x2 , ??) ? (0, 此时, D ? ( x2 , ??) ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) . 4

1 ? ?(0, ??), 3 ? a ? 1 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 1 )?( , ??), 0 ? a ? 综上, D ? ?(0, 4 4 3 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 , ??), a ? 0 ?( 4 ?
(Ⅱ) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x ) 在区间 [a,1] 上为减函数,在区间 (??, a ] 和 [1, ??) 上为增函数

1 ? a ? 1 时,因为 D ? ? 0, ??? ,所以 f ( x) 在 D 内的极值点为 a,1 ; 3 1 1 当 a ? 时, D ? (0,1) ? (1, ??) ,所以 f ( x ) 在 D 内有极大值点 a ? ; 3 3
当 当0 ? a ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 1 时, D ? (0, )?( , ??) 3 4 4

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ?1) 1 ,很容易得到 a ? ?1? 3 4 4 (可以用作差法,也可以用分析法),所以 f ( x ) 在 D 内有极大值点 a ;
由0 ? a ? 当 a ? 0 时, D ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ? 1 ,此时 f ( x) 在,内没有极值点. 4 1 1 综上,当 ? a ? 1 时,极值点为 a ,1 ;当 0 ? a ? 时,极值点为 a ;当 a ? 0 时,无极值点. 3 3
由 a ? 0 ,很容易得到

第 7 页 共 4 页


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