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江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案.doc


江苏省扬州中学 2016-2017 学年第一学期期中考试 高二数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.命题: “ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是 2. 直线 y ? x ? 1 的倾斜角是________. .

2016.11

3. 若 方 程 是

x2 y2 ? ?1 表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围 a ?5 2
. .

4.命题“若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ”的逆命题是

5.与椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1 有相同的焦点,且离心率为 的椭圆标准方程为 9 4 5



6.如果对任何实数 k ,直线 (3 ? k ) x ? (1 ? 2k ) y ? 1 ? 5k ? 0 都过一个定点 A ,那么点 A 的坐 标是________. 7. 如果 p : x ? 2 , q : x ? 3 ,那么 p 是 q 的 条件.

(从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中选出适当的一种填空) 8. 已 知 椭 圆 为

x2 y2 ? ? 1 上 一 点 M 到 左 焦 点 F1 的 距 离 是 8 , 则 M 到 右 准 线 的 距 离 25 9



9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C :
2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ?
2

x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的一条渐近线与直线 l : a2



2 10.如果实数 x, y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么

y 的最大值是 x



11 .圆心在抛物线 y ? 为 .

1 2 x 上,并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程 2

x2 y2 12. 已知 F1 , F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F2 作双曲线渐近线的垂 a b
线,垂足为 P, 若 | PF 1 | ? | PF 2 | ? c ,则双曲线离心率的值为
2 2 2

.

13. 已知直线 2ax ? by ? 1(a ? R, b ? R) 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1( O 为坐标原点)相交于 A, B 两点,且 ?AOB 是直角三角形,点 P ( a, b) 是以点 M (0,1) 为圆心的圆 M 上的一点,则圆 M 的 面积的最小值为 .

14. 已知直线 l : y ? 3x ? 4 ,动圆 O : x2 ? y2 ? r 2 (1 ? r ? 2) ,菱形 ABCD 的一个内角为

60 0 ,顶点 A, B 在直线 l 上,顶点 C , D 在圆 O 上.当 r 变化时,菱形 ABCD 的面积 S 的取值
范围是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. 已知命题

p : “关于 x, y 的方程 x2 ? 2ax ? y 2 ? 2a 2 ? 5a ? 4 ? 0(a ? R) 表示圆” ,命题

q : “ ?x ? R ,使得 x2 ? (a ?1) x ?1 ? 0(a ? R) 恒成立”.
(1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

16.已知直线 l 过点 P(2,1) , (1)点 A(?1,3) 和点 B(3,1) 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与 x 正半轴、 y 正半轴分别交于 A、B 两点,且 ?ABO 的面积为 4,求直线 l 的方程.

x2 y 2 17.如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭圆 C 的上顶 a b
? 点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F . 1 AF 2 ? 60

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 a ? 2 ,求 ?AF1B 的面积.

.

18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯,该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的 直角坐标系中,支架 ACB 是抛物线 y ? 2 x 的一部分,灯柱 CD 经过该抛物线的焦点 F 且
2

与路面垂直,其中 C 在抛物线上,B 为抛物线的顶点,DH 表示道路路面,BF∥DH,A 为 锥形灯罩的顶,灯罩轴线与抛物线在 A 处的切线垂直.安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的 距离是 1.5 m,灯罩的轴线正好通过道路路面的中线. (1) 求灯罩轴线所在的直线方程; (2) 若路宽为 10 m,求灯柱的高.

19.已知圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴负半轴的交点为 A ,点 P 在直线 l : 3x ? y ? a ? 0 上,过点
2 2

P 作圆 O 的切线,切点为 T .
(1)若 a ? 8 ,切点 T ( 3, ?1) ,求点 P 的坐标; (2)若 PA ? 2 PT ,求实数 a 的取值范围; (3) 若不过原点 O 的直线与圆 O 交于 B, C 两点,且满足直线 OB, BC, OC 的斜率依次成等 比数列,求直线 l 的斜率.

20.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

2 x2 y 2 (a ?b ? 0 ) 的离心率为 .A ? 2 ?1 2 a b 2

为椭圆上异于顶点的一点,点 P 满足 OP ? 2 AO , (1)若点 P 的坐标为 2, 2 ,求椭圆的方程; (2)设过点 P 的一条直线交椭圆于 B, C 两点,且 BP ? mBC ,直线 OA, OB 的斜率之积

??? ?

????

?

?

??? ?

??? ?

?

1 ,求实数 m 的值; 2

(3)在(1)的条件下,是否存在定圆 M ,使得过圆 M 上任意一点 T 都能作出该椭圆的 两条切线,且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆 M ;若不存在,说明理由.

y
C B O A

P

x

命题、校对:刘晓静 卫东

审核:沈红、姜

江苏省扬州中学 2016-2017 学年第一学期期中 高二数学答案 2016.11

一、 1. ?x ? R, x ? x ?1 ? 0
2

填空题 2.

? 4

3. a ? 7

4. 充 分 不 必 要

5.

x2 y2 ? ?1 25 20
6.

(?1, 2)

7.

5 2

8.2

9.

3

10.

1 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 2

11. 4

12.2

13. (3 ? 2 2 )?

14. ? 0, ?

? ?

? 3 3? ?3 3 ?? ,6 3 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

二、解答题
2 15. 解: (1)若命题 p 为真,则 (2a)

- 4(2a2 - 5a + 4) > 0

整理得到 a 得1 < a

2

? 5a ? 4 ? 0

<4

(2)若命题 q 为真,则 ? ? (a ?1)2 ? 4 ? 0 即a
2

? 2a ? 3 ? 0 得 ?1 ? a ? 3
?1 ? a ? 4 ,得1 ? a ? 3 ? ?1 ? a ? 3

若 p ? q 为真,则 ?

所以,若 p ? q 为真,则 a 的取值范围是1 ?

a ? 3.

16. 解: (1)若直线斜率不存在,即 x ? 2 ,此时,点 A, B 到直线 l 的距离不相等. 故直线 l 的斜率一定存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 由题意得:

| ?k ? 3 ? 2k ? 1| k 2 ?1

?

| 3k ? 1 ? 2k ? 1| k 2 ?1

解之得: k ? ?

1 或 k ? ?1 2

故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 (2)由题可知,直线 l1 的横、纵截距 a、 b 存在,且 a ? 0、b ? 0 ,则 l1 : 点 (2,1) , ?ABO 的面积为 4,

x y ? ? 1 ,又 l1 过 a b

?2 1 ? ?1 ? ?a ? 4 x y 1 ?a b ∴? ,解得 ? ,故 l1 方程为 ? ? 1 ,即 y ? ? x ? 2 . 4 2 2 ?b ? 2 ? 1 ab ? 4 ? ?2

17. 解:(1)由题意可知, ?AF1B 为等边三角形, a ? 2c ,所以 e ?

1 . 2

(2)由题意得: a ? 2, c ? 1 ,故 b ? 3 。即 A(0, 3), F2 (1,0) , 所以直线 AC 的方程为 y ? ? 3x ? 3

8 ? ? y ? ? 3x ? 3 x? ? ? 5 ? ? ?x ? 0 联立直线 AC 与椭圆 C 的方程得: ? x 2 y 2 解得: ? 或? (舍) ?1 ? ? ?y ? 3 ?y ? ? 3 3 ? 3 ?4 ? 5 ?
所以点 B 的坐标为 ? , ? ?

?8

?5

3 3? ? ,所以 5 ? ?

1 1 1 1 3 3 8 3 S?AF1B ? S?AF1F2 ? S?BF1F2 ? ? | F1F2 | ? | AO | ? ? | F1F2 | ? | yB |? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 5 5

1 1 18. 解:(1) 由题意知,BF= ,则 xA=1.5+ =2, 2 2 代入 y2=2x 得 yA=2,故 A(2,2). 设点 A 处的切线方程为 y-2=k(x-2), 代入抛物线方程 y2=2x 消去 x,得 ky2-2y+4-4k=0. 1 则Δ =4-4k(4-4k)=0,解得 k= . 2 故灯罩轴线的斜率为-2,其方程为 y-2=-2(x-2),即 y=-2x+6. 11 (2) 由于路宽为 10,则当 x= 时,y=-5,从而 FD=5. 2 又 CF=1,则 CD=6. 答:灯柱的高为 6 m.

19. 解: (1)由题意,直线 PT 切于点 T,则 OT⊥PT,又切点 T ( 3, ?1) ,所以 kOT ? ?
k PT ? ? 1 ? 3, kOT

3 , 3

? ? 3x ? y ? 4 ? 0, 4 0 ? .联立直线 l 和 PT, 故直线 PT 的方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) , 即 3x ? y ? ? ? ? 3x ? y ? 8 ? 0,

? ? x ? 2 3, P(2 3, 2) 解得 ? 即 . ? ? y ? 2,
2 2 2 2 (2)设 P (x, y ) ,由 PA=2PT,可得 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? y ? 4) ,即 3x2 ? 3 y 2 ? 4x ? 20 ? 0 ,

即满足 PA = 2PT 的点 P 的轨迹是一个圆 ( x ? )2 ? y 2 ?

2 3

64 ,所以问题可转化为直线 9
2 3? ?a 3 ( 3) 2 ? 1 8 ,即 3

3x ? y ? a ? 0 与 圆 ( x ? 2 )2 ? y 2 ? 64 有 公 共 点 , 所 以 d ? 3 9
?16 ? 2 3 16 ? 2 3 ≤a≤ 3 3 .



2

3 16 ? a |≤ ,解得 3 3

(3)当直线 BC 垂直与 x 轴时,显然不成立,所以设直线 BC 为 y ? kx ? b(b ? 0) ,将它与圆 方 程 联 立 并 消 去 y 得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kbx ? b2 ? 4 ? 0 , 设 B( x , )则 x , 2y 1 , y 1 ) ,C ( 2

x1 x 2? ? k2 ?

b2 ? 4 ?2kb ,x ? ,因为 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 1 x ? 2 2 2 k ?1 k ?1

b 2 ? 4 2k 2 b 2 ?4k 2 ? b 2 y1 y2 ?4k 2 ? b2 2 ? ? b ? ,故 kOB ? kOC ? ? ? k2 , 2 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 x1 x2 b ?4

2 即 b2 (k 2 ?1) ? 0 ,因为 b ? 0 ,所以 k ? 1 ,即 k ? ?1 .

20. 解: (1)因为 P(2, 2) ,所以 A ? ? ?1, ?

? ?

2? ?. 2 ? ?

代入椭圆方程,得

1 1 2 b2 2 ? ? 1 ,① 又椭圆的离心率为 ,所以 ,② 1 ? ? 2 2 2 a 2b 2 a 2

由①②,得 a 2 ? 2, b2 ? 1,

故椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 因为 OP ? 2 AO ,所以 P ? ?2 x1 , ?2 y1 ? . 因为 BP ? mBC ,所以 ? ?2x1 ? x2 , ?2 y1 ? y2 ? ? m ? x3 ? x2 , y3 ? y2 ? , 即?

??? ?

????

??? ?

??? ?

? ? ?2 x1 ? x2 ? m ? x3 ? x2 ? , ? ??2 y1 ? y2 ? m ? y3 ? y2 ? ,

m ?1 2 ? x3 ? x2 ? x1 , ? ? m m 于是 ? . ? y ? m ?1 y ? 2 y , 3 2 1 ? m m ?

2 ? ? m ?1 2 ? ? m ?1 x2 ? x1 ? ? y2 ? y1 ? ? 代入椭圆方程,得 ? m , m ? ? m m ? ? ?1 2 2 a b

2

2

(3)存在定圆 M x ? y ? 3
2 2

在定圆 M 上任取一点 T ( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? ? 2 设过点 T ( x0 , y0 ) 的椭圆的切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 即 y ? kx ? kx0 ? y0 ,将其与椭圆方

x2 ? y 2 ? 1联立得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (?kx0 ? y0 ) x ? 2(?kx0 ? y0 )2 ? 2 ? 0 程 2
? ? 16k 2 (?kx0 ? y0 )2 ? 8(1 ? 2k 2 )[(?kx0 ? y0 )2 ?1] ? 0
整理得: (2 ? x0 )k ? 2x0 y0k ? 1 ? y0 ? 0
2 2 2

故过点 T ( x0 , y0 ) 的椭圆的两条切线斜率 k1 , k2 分别是 (2 ? x0 )k ? 2x0 y0 k ? 1? y0 ? 0的
2 2 2

两解.

故 k1k2 ?

1 ? y02 1 ? (3 ? x02 ) x02 ? 2 ? ? ? ?1 ,所以两条切线垂直. 2 ? x02 2 ? x02 2 ? x02

当 x0 ? ? 2 时,显然存在两条互相垂直的切线.


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