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数学高考一轮复习:第三章三角函数3.2三角函数的图象和性质

数学 §3.2 三角函数的图象和性质 考纲解读 考点 1.三角函数 的图象及其 变换 2.三角函数 的性质及其 应用 内容解读 1.由图象求参数 2.由表达式确定图象 1.判断三角函数的性质 2.由性质求相关参数 要求 B 2013 五年高考统计 2014 2015 20 16 2017 常考题型 预测热度 填空题 解答题 填空题 解答题 ★★☆ B ★★☆ 分析解读 三角 函数的图象与性质是研究三角函数的基础,也是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面: 函数解析式、函数图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性). 五年高考 考点一 三角函数的图象及其变换 1.(2017 课标全国Ⅰ理改编,9,5 分)已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 . ①把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2; ②把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 C2; ③把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2; ④把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 C2. 答案 ④ 2.(2016 课标全国Ⅰ改编,6,5 分)将函数 y=2sin 为 . 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的 函数 答案 y=2sin 3.(2016 四川理改编,3,5 分)为了得到函数 y=sin 平移 答案 右; 个单位长度. 的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点向 数学 4.(2016 课标全国Ⅲ,14,5 分)函数 y=sin x个单位长度得到. 答案 co s x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右平移 5.(2015 湖南改编,9,5 分)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ 若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min= ,则 φ = 答案 . 个单位后得到函数 g(x)的图象. 6.(2014 辽宁改编,9,5 分)将函数 y=3sin 上单调递增. 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数在区间 答案 (k∈Z) cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的 . 7.(2013 湖北理改编,4,5 分) 将函数 y= 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 答案 教师用书专用(8—9) 8.(2015 湖北,17,11 分)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) 时,列表并填入了部分数据,如下表: ω x+φ x Asin(ω x+ φ) 0 5 -5 0 0 π 2π 在某一个周期内的图象 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ (θ >0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称 中心为 ,求 θ 的最小值. 解析 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- . 数据补全如下表: ω x+φ x Asin(ω x+ φ) 0 5 0 -5 0 π 2π π 0 数学 且函数表达式为 f(x)=5sin . (2)由(1)知 f(x)=5sin , 得 g(x)=5sin . 因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z. 所以令 2x+2θ - =kπ ,k∈Z, 解得 x= + -θ ,k∈Z. 由于函数 y=g(x)的图象关于点 中心对称, 所以令 + -θ = ,k∈Z, 解得 θ = - ,k∈Z. 由 θ >0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 9.(2013 福建理,20,14 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的周期为 π ,图象的一个对称中心为 .将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位 长度后得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)是否存在 x0∈ ,使得 f(x0),g(x0), f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的个数;若不 存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2 013 个零点. 解析 (1)由函数 f(x)=sin(ω x+φ )的周期为 π ,ω >0,得 ω = =2. 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为 ,φ ∈(0,π ), 故f =sin =0,得 φ = ,所以 f(x)=cos 2x. 数学 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)后可得到 y=cos x 的图象,再将 y=cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)=cos 的图象,所以 g(x)=sin x. (2)当 x∈ 时, <sin x< ,0<cos 2x< , 所以 sin x>cos 2x>sin xcos 2x. 问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在 内是否有解. 设 G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈ , 则 G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为 x∈ ,所以 G'(x)>0,G(x)在 内单调递增. 又G =- <0,G = >0,且函数 G(x)的图象连续不

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