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河南省郑州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河南省郑州市高二下期末数学试卷(文)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的四个选项, 只有一项是符合题目要求的) 1.复数 4﹣3i 虚部为( ) A.﹣3i B.﹣3 C.3i D.3 【考点】复数的基本概念. 【分析】根据复数的概念进行求解即可. 【解答】解:在复数 4﹣3i 中实部是 4,虚部是﹣3, 故选:B 2.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【考点】反证法与放缩法. 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可. 【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是方程 x2+ax+b=0 没有实根. 故选:A. 3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y=cosx(x∈R)是三角函数; ②三角函数是周期函数; ③y=cosx(x∈R)是周期函数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 【考点】演绎推理的基本方法. “大前提”→“小前提”? “结论”, 【分析】 根据三段论”的排列模式: 分析即可得到正确的次序. 【解答】解:根据“三段论”:“大前提”→“小前提”? “结论”可知: ①y=cosx( (x∈R )是三角函数是“小前提”; ②三角函数是周期函数是“大前提”; ③y=cosx( (x∈R )是周期函数是“结论”; “ ” 故 三段论 模式排列顺序为②①③ 故选 B 4.在下列各图中,两个变量具有较强正相关关系的散点图是( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】散点图. 【分析】观察两个变量的散点图,样本点成直线形带状分布,则两个变量具有相关关系, 若带状从左向右上升,是正相关,下降是负相关,由此得出正确的选项. 【解答】解:A 中两个变量之间是函数关系,不是相关关系; 在两个变量的散点图中,若样本点成直线形带状分布,则两个变量具有相关关系, 对照图形:B 中样本点成直线形带状分布,且从左到右是上升的,∴是正相关关系; C 中样本点成直线形带状分布,且从左到右是下降的,∴是负相关关系; D 中样本点不成直线形带状分布,相关关系不明显. 故选:B. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 6.极坐标方程 2ρcos2θ﹣sinθ=0 表示的曲线是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 【考点】简单曲线的极坐标方程.



【分析】极坐标方程 2ρcos2θ﹣sinθ=0 即 2ρ2cos2θ﹣ρsinθ=0,利用

即可化为直

角坐标方程. 【解答】解:极坐标方程 2ρcos2θ﹣sinθ=0 即 2ρ2cos2θ﹣ρsinθ=0,化为直角坐标方程:2x2 ﹣y=0, 化为:y=2x2,表示抛物线. 故选:D. [选修 4-5:不等式选讲] 7.不等式 >1 的解集是( )

A. D. (﹣∞,﹣1) B. (﹣4,+∞) C. (﹣4,2) (﹣4,﹣1) 【考点】其他不等式的解法. 【分析】先移项化简分式不等式,再转化为一元二次不等式,求出不等式的解集. 【解答】解:由 得 ,则 ,

所以(x+4) (x+1)<0,解得﹣4<x<﹣1, ∴不等式的解集是(﹣4,﹣1) , 故选:D. 8.以下是解决数学问题的思维过程的流程图:

在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(
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A.①﹣综合法,②﹣分析法 B.①﹣分析法,②﹣综合法 C.①﹣综合法,②﹣反证法 D.①﹣分析法,②﹣反证法 【考点】流程图的概念. 【分析】根据综合法和分析法的定义,可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法,由未 知到需知,进而找到与已知的关系为分析法,进而得到答案. 【解答】解:根据已知可得该结构图为证明方法的结构图: ∵由已知到可知,进而得到结论的应为综合法, 由未知到需知,进而找到与已知的关系为分析法, 故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为: ①﹣综合法,②﹣分析法, 故选:A 9.如图是某同学为求 50 个偶数:2,4,6,…,100 的平均数而设计的程序框图的部分内容, 则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )

A. C.

B. D.

【考点】循环结构. 【分析】由已知得本程序的作用是求 50 个偶数:2,4,6,…,100 的平均数,由于第一次 执行循环时的循环变量初值为 0,计数变量为 1,步长为 1,最后一次执行循环进循环变量 值为 100,我们根据利用循环结构进行累加的方法,不难给出结论. 【解答】解:本程序的作用是求 50 个偶数:2,4,6,…,100 的平均数, 由于第一次执行循环时的循环变量 x 初值为 0,计数变量 i 为 1,步长为 1, 最后一次执行循环进循环变量值为 100, 故判断框:i>50;执行框:x= 故选 A. [选修 4-4:坐标系与参数方程]
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11. 若点 P 为曲线 A. B.

(θ 为参数) 上一点, 则点 P 与坐标原点的最短距离为 ( C. D.2



【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】将曲线方程化为普通方程,根据几何意义得出最短距离. 【解答】解:曲线的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=1, ∴曲线表示以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆. ∴曲线的圆心到原点得距离为 , ∴点 P 与坐标原点的最短距离为 . A 故选: . [选修 4-5:不等式选讲] 12.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,﹣2) ,B(3,2)是其图象上的两点,记不 等式|f(x+2)|<2 的解集 M,则?RM=( ) A. B. C. D. (﹣2,1) (﹣1,2) (﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) (﹣∞,﹣1]∪[2, +∞) 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据已知 f(0)=﹣2,f(3)=2,从而由|f(x+2)|<2 便得 f(0)<f(x+2)<f (3) ,根据 f(x)为增函数便得 0<x+2<3,这样便可得到 M,求补集即可得出?RM. 【解答】解:由条件,f(0)=﹣2,f(3)=2; 由|f(x+2)|<2 得﹣2<f(x+2)<2; ∴f(0)<f(x+2)<f(3) ; ∵f(x)是 R 上的增函数; ∴0<x+2<3; ∴﹣2<x<1; 即 M=(﹣2,1) ; ∴?RM=(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) . 故选 C. 13.以下判断正确的个数是( ) ①相关系数 r,|r|值越小,变量之间的相关性越强. ②命题“存在 x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“不存在 x∈R,x2+x﹣1≥0”. ③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件. ④若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程是 =1.23x+0.08. A.4 B.2

C.3

D.1

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据相关系数 r 的大小与相关性强弱的关系进行判断. ②特称命题的否定是全称命题进行判断 ③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断, ④根据回归方程的性质代入进行求解判断. 【解答】解:①相关系数|r|值越小,变量之间的相关性越弱,故错误. ②命题“存在 x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x2+x﹣1≥0”,故错误.
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③“p∨q”为真时,“?p”为假不一定成立,故“p∨q”为真是“?p”为假的不充分条件, “?p”为假时,“p”为真,“p∨q”为真,故“p∨q”为真是“?p”为假的必要条件, 故“p∨q”为真是“?p”为假的必要不充分条件,故正确; ④若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则 a=5﹣1.23×4=0.08,则 回归直线方程是 =1.23x+0.08,故正确; 故选:B 14.已知 a,b>0,a+b=5,则 A.18 B.9 C.3 D.2 + 的最大值为( )

【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】利用柯西不等式,即可求出 【解答】解:由题意, ( ∴ + 的最大值为 3 故选:C. + ,

的最大值. ) ≤(1+1) (a+1+b+3)=18,
2

+

15.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1) +f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x+sinπx ﹣3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 的值为( A.﹣4031 B.4031 C.﹣8062 D.8062 )

【考点】函数的值;抽象函数及其应用. 【分析】利用函数对称中心的性质得到当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4,能此能 求出结果. 【解答】解:∵f(x)=x+sinπx﹣3, ∴当 x=1 时,f(1)=1+sinπ﹣3=﹣2, ∴根据对称中心的定义,可得当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4, ∴ =2015[f( )+f( )]+f( )

=2015×(﹣4)﹣2 =﹣8062. 故选:C.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

17.直线

(t 为参数)被曲线

所截的弦长为(



A.

B.

C.

D.
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【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【分析】先把参数方程和极坐标方程化为普通方程,并求出圆心到直线的距离 d,再利用关 系:l=2 即可求出弦长 l.

【解答】解:直线

(t 为参数)化为普通方程:直线 3x+4y+1=0.

∵曲线 x2+y2=x﹣y,即 ∴圆心 C ,

,展开为 ρ=cosθ﹣sinθ,∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,化为普通方程为 , .

圆心 C 到直线距离 d=

=



∴直线被圆所截的弦长= 故选 C.



[选修 4-5:不等式选讲] 18.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. C.[2,+∞) D.a∈R (﹣∞,﹣2] B. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 【考点】绝对值三角不等式;其他不等式的解法. 【分析】令 f(x)=|x+3|﹣|x﹣1|,写出分段函数,求得 f(x)的最大值 4,由 2a≥4 求得 实数 a 的取值范围.

【解答】解:令 f(x)=|x+3|﹣|x﹣1|=



作出图象如图,

∴f(x)≤4, ∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a 对任意实数 x 恒成立, ∴2a≥4,得 a≥2. ∴实数 a 的取值范围是[2,+∞) .
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故选:C. 二.填空题: (本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 19.若复数 z 满足(2﹣i)z=4+3i(i 为虚数单位) ,则 z= 1+2i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由(2﹣i)z=4+3i,得 【解答】解:由(2﹣i)z=4+3i, 得 = , ,再利用复数代数形式的乘除运算化简则答案可求.

故答案为:1+2i. 20.具有线性相关关系的变量 x,y,满足一组数据如下表所示: X 0 1 2 3 y 1 m 8 ﹣1 若 y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ ,则 m 的值是 4 . 【考点】线性回归方程. 【分析】 利用平均数公式计算预报中心点的坐标, 根据回归直线必过样本的中心点可得答案. 【解答】解:由题意, =1.5, = ) , ,

∴样本中心点是坐标为(1.5,

∵回归直线必过样本中心点,y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ , ∴ =3×1.5﹣1.5,

∴m=4 故答案为:4. 21.已知 an=logn+1(n+2) (n∈N*) ,观察下列算式: a1?a2=log23?log34= ? =2; = ? ?…? =3…;

a1?a2?a3?a4?a5?a6=log23?log34?…?

若 a1?a2?a3…am=2016(m∈N*) ,则 m 的值为 22016﹣2 . 【考点】归纳推理. 【分析】根据已知中的等式,结合对数的运算性质,可得 a1?a2?a3?…? 进而得到答案. 【解答】解:∵an=logn+1(n+2) (n∈N*) , ∴a1?a2=log23?log34= ? =2; =n(n≥2) ,

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a1?a2?a3?a4?a5?a6=log23?log34?…? … 归纳可得:a1?a2?a3?…?

=

?

?…?

=3;

=n(n≥2) ,

若 a1?a2?a3?…?am=2016,则 m=22016﹣2, 故答案为:22016﹣2 [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲 线 C1 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,曲线 C2 的参数方程为 则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 (2,﹣4) . 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,把 方程.曲线 C2 的参数方程为 代入可得直角坐标 (t 为参数) ,

(t 为参数) ,化为普通方程:y2=8x.联立解出即可.

【解答】解:曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,化为直角坐标方程:x+y+2=0. 曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数) ,化为普通方程:y2=8x.

联立

,解得



则 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2,﹣4) . 故答案为: (2,﹣4) . [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=3,ma+mb=3,则 的最小值为 .

【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】根据柯西不等式(a2+b2) (c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当 ad=bc 取等号,问题即可 解决. 【解答】解:由柯西不等式得, (ma+nb)2≤(m2+n2) (a2+b2) ∵a2+b2=3,ma+nb=3, ∴(m2+n2)≥3 ∴ 的最小值为 . .

故答案为:

三.解答题(本大题共 1 小题,共 70 分,解答应写出文字的说明,证明过程或演算步骤)

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 26.在极坐标系中,曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,l:ρcos(θ﹣ )= ,C 与 l 有且只有一

个公共点,求 a. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的充要条件即可得出. 【解答】解:曲线 C:ρ=2acosθ(a>0) ,即 ρ2=2aρcosθ(a>0) ,∴x2+y2=2ax,配方可得: 2 2 2 C 的直角坐标方程为(x﹣a) +y =a . 直线 l:ρcos(θ﹣ . 由直线与圆相切可得: 解得:a=1. [选修 4-5:不等式选讲] 27.已知函数 f(x)= + ,求 f(x)的最大值. ,a>0. )= ,展开为 + = ,可得直角坐标方程:

【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】直接利用柯西不等式,即可求 f(x)的最大值. 【解答】解:由柯西不等式有 … 当且仅当 ,即 x=1 时,等号成立.…

所以,f(x)最大值的是 3.… 28.复数 z=(1﹣i)a2﹣3a+2+i(a∈R) , (1)若 z= ,求|z|; (2)若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限,求 a 的范围. 【考点】复数求模;复数的基本概念. 【分析】 (1)根据 z= ,确定方程即可求|z|; (2)利用复数的几何意义,即可得到结论. 【解答】解 z=(1﹣i)a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+(1﹣a2)i, (1)由 知,1﹣a2=0,故 a=±1. 当 a=1 时,z=0; 当 a=﹣1 时,z=6. (2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于 0, 即 ,





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所以﹣1<a<1. 29.某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查,在高二的全体 1000 名学生 中随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图的频率分布直方图: (Ⅰ)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在 5.0 以下的人数; (Ⅱ)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学 习成绩是否有关系, 对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学生进行了调查, 得到表中数 据, 根据表中的数据, 能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? 年级名次 1~50 951~1000 是否近视 41 32 近视 9 18 不近视 P(K2≥k) k 附:K2= 0.10 2.706 0.05 3.841 . 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

【考点】独立性检验的应用;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)利用直方图中前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,求出视 力在 5.0 以下的频率,即可估计全年级视力在 5.0 以下的人数; (Ⅱ)求出 K2,与临界值比较,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)设各组的频率为 fi(i=1,2,3,4,5,6) , 由图可知,第一组有 3 人,第二组 7 人,第三组 27 人,… 因为后四组的频数成等差数列,所以后四组频数依次为 27,24,21,18… 所以视力在 5.0 以下的频率为 3+7+27+24+21=82 人, 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000× (Ⅱ)K2= =820.…

=

≈4.110>3.841.…

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系.… 30.观察下面的解答过程:已知正实数 a,b 满足 a+b=1,求 + 的最大值.

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解:∵ 相加得 ∴ +

? ?

≤ + ≤2 ? = ?(

=a+ , +

?



=b+ ,

)≤a+b+3=4, + 的最大值为 2 .

,等号在 a=b= 时取得,即

请类比以上解题法,使用综合法证明下题: 已知正实数 x,y,z 满足 x+y+z=3,求 + + 【考点】类比推理. 【分析】利用基本不等式,结合类比思想,再相加,即可求 值. 【解答】证明:∵ .… .… ∴ 因为 x+y+z=3,所以 当且仅当等号在 x=y=z=1 时取得. 即 得最大值为 .… ,…

的最大值. + + 的最大



.…

31.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)求回归直线方程; (2)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (3)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对 值不超过 5 的概率.



,a= ﹣b )

【考点】线性回归方程. 【分析】 (1 首先求出 x,y 的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,根据样本 中心点满足线性回归方程,代入已知数据求出 a 的值,写出线性回归方程. (2 当自变量取 10 时, 把 10 代入线性回归方程, 求出销售额的预报值, 这是一个估计数字, 它与真实值之间有误差. (3) 确定基本事件的个数, 求出两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的事件, 即可得出结论. 【解答】解: (1) = = =5, = = =50,

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∴ =

=

=6.5,

因此,所求回归直线方程为 y=6.5x+17.5… (2)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,=6.5×10+17.5=82.5(万 元) ,即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元.… 3 ( ) x y 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 30.5 43.5 50 56.5 69.5 基本事件: (30,40) , (30,60) , (30,50) , (30,70) , (40,60) , (40,50) , (40,70) , (60,50) , (60,70) , (50,70)共 10 个.两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超 过 5 有(60,50) ,所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 1﹣ = .…

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 33.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ﹣4cosθ=0,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面 直角坐标系,直线 l 过点 M(3,0) ,倾斜角为 .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点,求|MA|+|MB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,得 ρ2=4ρcosθ,利用 得出.由直线 l 过点 M(3,0) ,倾斜角为 ,可得参数方程. , 代入即可

(2) 把直线 l 代入圆的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0, 得 t1t2 的值, 化简后利用韦达定理可求 t1+t2, 由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= 即可求值得解. 【解答】 (本题满分 10 分) 解: (1)对于 C:由 ρ=4cosθ,得 ρ2=4ρcosθ, ∵ ∴x2+y2=4x, ,

∴对于 l:有



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(2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2 将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0, 得 化简得 , ,

[选修 4-5:不等式选讲] 34.设 f(x)=|x﹣1|﹣|x+3| (1)解不等式 f(x)>2; (2)若不等式 f(x)≤kx+1 在 x∈[﹣3,﹣1]上恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 【分析】 (1)去掉绝对值符号,将函数化为分段函数的形式,解不等式 f(x)>2 即可; (2)由于不等式 f(x)≤kx+1 在 x∈[﹣3,﹣1]上恒成立,可得﹣2x﹣2≤kx+1 在 x∈[﹣ 3,﹣1]上恒成立,分离参数求最小值即可求实数 k 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=|x﹣1|﹣|x+3|, x 3 ∴ ≤﹣ 时,f(x)=﹣x+1+x+3=4>2,∴x≤﹣3; ﹣3<x<1 时,f(x)=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2>2,∴x<﹣2,∴﹣3<x<﹣2; x≥1 时,f(x)=x﹣1﹣x﹣3=﹣4>2,不成立. 综上,不等式的解集为{x|x<﹣2}; (2)x∈[﹣3,﹣1]时,f(x)=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2, 由于不等式 f(x)≤kx+1 在 x∈[﹣3,﹣1]上恒成立, ∴﹣2x﹣2≤kx+1 在 x∈[﹣3,﹣1]上恒成立, ∴k≤﹣2﹣ ∵g(x)=﹣2﹣ 在 x∈[﹣3,﹣1]上为增函数,∴﹣1≤g(x)≤1 ∴k≤﹣1.

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