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湖北省武汉市2012届高中毕业生四月调研测试(理数,全word版)[1]


武汉市 2012 届高三 4 月调研测试 数 学(理科)

2012.4.19 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点,点 F 为 BC 上靠近点 B 的一个三等分点, → 则EF= 1→ 1 → (A) AB- AD 2 3 1→ 1 → (C) AB- AD 3 2 2→ 1 → (B) AB+ AD 3 2 1→ 2 → (D) AB- AD 2 3

a+i 2. “复数 (a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的 2+i (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方 法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一 组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为 (A)0.35 (B)0.25 (C)0.20 (D)0.15

4.一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为 (A)6 3 (B)8 (C)8 3 (D)12

5.已知(3 x2- (A)-24

3

1 n ) 的展开式中各项系数之和为 256,则展开式中第 7 项的系数是 x (B)24 (C)-252 (D)252

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6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 9,则判断框内 m 的取值范围是 (A)(42,56] (B)(56,72] (C)(72,90] (D)(42,90)

1 7.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于函数 y= (x>0)图象 x 下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M,则点 M 取自 E 内的概率为 ln2 (A) 2 1-ln2 (B) 2 1+ln2 (C) 2 2-ln2 (D) 2 8.已知直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) ,两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,若(Ax1 +By1+C)( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l (A)与直线 P1P2 不相交 (B)与线段 P2P1 的延长线相交 (C)与线段 P1P2 的延长线相交 (D)与线段 P1P2 相交 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A、B 在此抛物线上,且∠AFB=90° ,弦 AB 的 |MM′| 中点 M 在其准线上的射影为 M′,则 的最大值为 |AB| (A) 2 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3

?ax+1,x≤0, ? 10.已知函数 f(x)=? 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的判断正确 ? ?log2x, x>0。 的是 (A)当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 1 个零点 (B)当 a>0 时,有 3 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点 (C)无论 a 为何值,均有 2 个零点 (D)无论 a 为何值,均有 4 个零点

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题)
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11.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70

^ 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=6.5x+17.5,则表中 t 的值 为 . π 3π 12.已知 α∈[ , ],点 A 在角 α 的终边上,且|OA|=4cosα,则点 A 的纵坐标 y 的取值 12 8 范围是 . 13.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则 棱锥 S-ABC 的体积为 . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知三点 A(a,b) ,B(b,c) ,C(c,a) ,且直线 AB 的 倾斜角与 AC 的倾斜角互补,则直线 AB 的斜率为 . (结果中不含字母 a,b,c) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点, 引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点.已知 AB⊥AC,PA=2,PC= 1,则圆 O 的面积为 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) π 1 π 在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ρcos(θ- )= ,则点 M(1, )到直线 l 的距离 3 2 2 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60° . 11 (Ⅰ)若 cos(B+C)=- ,求 cosC 的值; 14 → → (Ⅱ)若 a=5,AC·CB=5,求△ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,满足 3a5=5a8,Sn 是数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)若 a1>0,当 Sn 取得最大值时,求 n 的值; (Ⅱ)若 a1=-46,记 bn= Sn-an ,求 bn 的最小值. n

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADB= 90° ,AB=2AD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

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20. (本小题满分 12 分) 为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,他们的年龄情况如下表所示. (Ⅰ) 频率分布表中的①、 ②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图 (如 图) ,再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣 传活动,从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人,记这 2 名志愿者中“年龄低于 30 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 分组(单位:岁) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 合计 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.05 0.20 ② 0.30 0.10 1.00

21. (本小题满分 13 分) x2 y2 如图,已知椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b → 是 F1(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的一个动点,满足|F1Q| 、F ,Q =2a.点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 M 在线段 F2Q 上,且 → → → 满足PM·MF2=0,|MF2|≠0. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若直线 OA,AB,OB 的斜率 依次成等比数列,求△OAB 面积的取值范围; (Ⅲ)由(Ⅱ)求解的结果,试对椭圆 Γ 写出类似的命题. (只需写出类似的命题,不 必说明理由)

22. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 在 x=- 处的切线的斜率为 1. 2 (Ⅰ)求 a 的值及 f(x)的最大值; 1 1 1 (Ⅱ)证明:1+ + +?+ >ln(n+1)(n∈N*) ; 2 3 n (Ⅲ)设 g(x)=b(ex-x),若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 b 的取值范围.

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武汉市 2012 届高三 4 月调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分. 1.D 2.B 3.B 4.A 6.B 7.C 8.B 9.A 二、填空题:每小题 5 分,满分 25 分. 11.50 12.[1,2] 4 3 13. 3

5.D 10.A -1± 5 14. 2 9π 4 3-1 2

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 17. (本小题满分 12 分) 11 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 cos(B+C)=- ,得 14 sin(B+C)= 1-cos2(B+C)= 11 5 3 1-(- )2= , 14 14

∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB 11 1 5 3 3 1 =- × + × = .????????????????(6 分) 14 2 14 2 7 → → → → (Ⅱ)由AC·CB=5,得|AC|·|CB|cos(180° -C)=5,即 abcosC=-5, 又 a=5,∴bcosC=-1, ①

a b a b 由正弦定理 = ,得 = , sinA sinB sin(120° -C) sin60° ∴ 5 b = , 3 1 3 cosC+ sinC 2 2 2 ②

即 3bcosC+bsinC=5 3, 将①代入②,得 bsinC=6 3,

1 1 故△ABC 的面积为 S= absinC= ×5×6 3=15 3. ???????? (12 分) 2 2 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d,则 2 由 3a5=5a8,得 3(a1+4d)=5(a1+7d),∴d=- a1. 23
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n(n-1) 2 1 24 1 144 ∴Sn=na1+ ×(- a1)=- a1n2+ a1n=- a1(n-12)2+ a1. 2 23 23 23 23 23 ∵a1>0,∴当 n=12 时,Sn 取得最大值.?????????????(6 分) 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)及 a1=-46,得 d=- ×(-46)=4, 23 ∴an=-46+(n-1)×4=4n-50, n(n-1) Sn=-46n+ ×4=2n2-48n. 2 Sn-an 2n2-52n+50 50 ∴bn= = =2n+ -52≥2 n n n 50 当且仅当 2n= ,即 n=5 时,等号成立. n 故 bn 的最小值为-32.????????????????????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由∠ADB=90° ,可得 BD⊥AD. 因为 PD⊥底面 ABCD, 所以 PD⊥BD. 又 PD∩AD=D, 所以 BD⊥平面 PAD, 因为 PA?平面 PAD, 所以 BD⊥PA. ????????????????????????? 分) (4 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,设 AD=a,则 A(a,0,0) ,B(0, 3a,0) ,C(-a, 3a,0) ,P(0,0,a) , → → AB=(-a, 3a,0) BC=(-a,0,0) , , → → AP=(-a,0,a) PC=(-a, 3a,-a) , . 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) , → ?n· ? AB=0, ?-ax+ 3ay=0, 所以? 可得? → ?-ax+az=0。 ? AP=0。 ?n· 设 y= 3,则 x=z=3, 可得 n=(3, 3,3) . 同理,可求得平面 PBC 的一个法向量为 m=(0,-1,- 3) . m· n 2 7 所以 cos<m,n>= =- . 7 |m|· |n| 由图形知,二面角 A-PB-C 为钝角, 2 7 因此二面角 A-PB-C 的余弦值是- .?????????????(12 分) 7 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)①处填 20,②处填 0.35; 补全频率分布直方图如图所示. 50 2n× -52=-32, n

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根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[30,35)的人数为 500×0.35 =175. ???????????????????????????? 分) (4 (Ⅱ) 用分层抽样的方法, 从中选取 20 人, 则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人, “年 龄不低于 30 岁”的有 15 人. 由题意知,X 的可能取值为 0,1,2,且 C2 21 C1C1 15 C2 2 1 15 5 15 5 P(X=0)= 2 = ,P(X=1)= 2 = ,P(X=2)= 2 = = . C20 38 C20 38 C20 38 19 ∴X 的分布列为: X P 0 21 38 1 15 38 2 1 19

21 15 2 1 ∴E(X)=0× +1× +2× = .???????????????(12 分) 38 38 38 2 21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 M(x,y)为轨迹 C 上的任意一点. → 当|PM|=0 时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹 C 上. → → → → → → 当|PM|≠0 且|MF2|≠0 时,由PM·MF2=0,得PM⊥MF2. → → 又|PQ|=|PF2|(如图) ,所以 M 为线段 F2Q 的中点. 1 → → 在△QF1F2 中,|OM|= |F1Q|=a,所以有 x2+y2=a2. 2 综上所述,点 M 的轨迹 C 的方程是 x2+y2=a2.??????????(4 分) (Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=kx+m, ? ? ?x +y =a .
2 2 2

消去 y 并整理,得

(1+k2)x2+2kmx+m2-a2=0, 则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0,

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-2km m2-a2 且 x1+x2= ,x1x2= . 1+k2 1+k2 ∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. ∵直线 OA,AB,OB 的斜率依次成等比数列,
2 2 y1 y2 k x1x2+km(x1+x2)+m ∴ · = =k2, x1 x2 x1x2



-2k2m2 +m2=0,又 m≠0, 1+k2 |m|

∴k2=1,即 k=±1. 设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d= , k2+1 |m| 1 1 ∴S△OAB= |AB|d= 1+k2|x1-x2 |· 2 2 2 k +1 1 1 = |x1-x2 ||m|= m2(2a2-m2). 2 2 由直线 OA,OB 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2a2 且 m2≠a2, m2+(2a2-m2) 2 ∴0< m2(2a2-m2)< =a . 2 1 故△OAB 面积的取值范围为(0, a2) .?????????????(10 分) 2 (Ⅲ)对椭圆 Γ 而言,有如下类似的命题: “设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 Γ 交于 A, B 两点,若直线 OA,AB,OB 的斜率依次成等比数列,则△OAB 面积的取值范 1 围为(0, ab)”???????????????????????(13 分) . 2 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞) . 求导数,得 f ′(x)= 1 -a. 1+x -a=1,∴a=1. 1 1+(- ) 2 1

1 由已知,得 f ′(- )=1,即 2

-x 1 此时 f(x)=ln(1+x)-x,f ′(x)= -1= , 1+x 1+x 当-1<x<0 时,f ′(x)>0;当 x>0 时,f ′(x)<0. ∴当 x=0 时,f(x)取得极大值,该极大值即为最大值, ∴f(x)max=f(0)=0. ??????????????????????? 分) (4 (Ⅱ)法(一) :由(Ⅰ) ,得 ln(1+x)-x≤0, 即 ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0 时,等号成立. k+1 1 1 1 1 令 x= (k∈N*) ,则 >ln(1+ ),即 >ln , k k k k k 1 ∴ >ln(k+1)-lnk(k=1,2,?,n) . k 将上述 n 个不等式依次相加,得

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1 1 1 1+ + +?+ >(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+?+[ln(n+1)-lnn], 2 3 n 1 1 1 ∴1+ + +?+ >ln(n+1)(n∈N*) .?????????????(10 分) 2 3 n 法(二) :用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,左边=1=lne,右边=ln2,∴左边>右边,不等式成立. 1 1 1 (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 1+ + +?+ >ln(k+1). 2 3 k 1 1 1 1 1 那么 1+ + +?+ + >ln(k+1)+ , 2 3 k k+1 k+1 由(Ⅰ) ,知 x>ln(1+x)(x>-1,且 x≠0) . 令 x= k+2 1 1 1 ,则 >ln(1+ )=ln , k+1 k+1 k+1 k+1

k+2 1 ∴ln(k+1)+ >ln(k+1)+ln =ln(k+2), k+1 k+1 1 1 1 1 ∴1+ + +?+ + >ln(k+2). 2 3 k k+1 即当 n=k+1 时,不等式也成立.?????????????(10 分) 根据(1) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立. (2) (Ⅲ)∵f(0)=0,g(0)=b,若 f(x)≤g(x)恒成立,则 b≥0. 由(Ⅰ) ,知 f(x)max=f(0)=0. (1)当 b=0 时,g(x)=0,此时 f(x)≤g(x)恒成立; (2)当 b>0 时,g′(x)=b(ex-1), 当 x∈(-1,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. ∴g(x)在 x=0 处取得极小值,即为最小值, ∴g(x)min=g(0)=b>0≥f(x),即 f(x)≤g(x)恒成立. 综合(1) (2)可知,实数 b 的取值范围为[0,+∞) .??????(14 分)

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