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2013年高考数学(理)二轮复习 第一阶段 专题二 第一节 三角函数的图像与性质


抓点串线成面

第 一 阶 段

专 题 二
第一节

知识载体 考点一 能力形成 创新意识
配套课时作业

考点二 考点三

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三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函

数、平面向量、解三角形,复习这三部分内容应牢牢把握
三个点:“角”、“关系”与“运算”,这三个点串成了该部分 知识复习的主线.

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“角”,是三角函数复习线索的中心,该部分知识的复习要围
绕“角”这个中心,抓住四个基本点:三角函数的定义、同角三角 函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等

变换.
(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的 关系,要明确三角函数各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、 四余弦.三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础; (2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、 对三角函数式进行化简求值的基础,注意角的范围对三角函数值 符号的影响,诱导公式要准确记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象 限”,化简时要遵循“负变正,钝变锐”的原则,把角化归到锐角范 围内进行研究;
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(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点,准确把握三
角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是 解决图像问题的关键,如处理三角函数图像平移问题可借助对 应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向;根据函数图 像写解析式时,要遵循“定最值求A,定周期求ω,定最值点求φ”

的基本思路;
(4)角的变化是三角恒等变换的关键,熟练记忆和角、差角、 倍角的三角函数公式,这是三角函数化简求值的基础,三角函

数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化
成“一角一函数”的形式,进而研究三角函数的图像与性质,这 些公式是联系三角函数各个部分的纽带.
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三角形中的“边角关系”,这是解三角形问题的核心,主要 涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题. (1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,应 a 注意定理的灵活变形,如 a=2Rsin A,sin A=2R(其中 2R 为三角 形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C 等,灵活根据条件求解 三角形中的边与角;
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(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用, 如 利用“内角和等于 π”和诱导公式可得到 sin(A+B)=sin C, A+B C sin 2 =cos 2 等;利用“大边对大角”可以排除解三角形中的 增解问题等; (3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容, 解决问题 的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中,然后利用正、 余弦定理求解相应的边角.
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平面向量的“基本运算”,这是平面向量中的重点,主要 包括线性运算、数量积运算以及坐标运算. (1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面 向量基本运算的基础,如利用相反向量可把向量的减法转化

为向量的加法;
(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算, 正确把握三角形法则和多边形法则,准确理解数与向量乘法 的定义,这是解决向量共线问题的基础,如“a∥b”的必要不 充分条件是“存在实数t,使得b=ta”,因为若a=0,b≠0,虽

然有a∥b,但实数t不存在;
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(3)数量积是平面向量中的一种重要运算,坐标运算是平面 向量的核心知识,涉及夹角、距离等的基本运算,是历年高考 命题的重点,要准确记忆相关公式; (4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件

出现,常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结
合,在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用.

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1.巧记六组诱导公式 kπ 对于“ 2 ± k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值” α, 的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.

2.辨明常用三种函数的易误性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图像

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函 数 y=sin x
? π 在?-2+2kπ, ?

y=cos x

y=tan x

在[-π +2kπ , 2kπ ](k∈Z)上单调 递增;在[2kπ ,π +2kπ ](k∈Z)上单 2kπ 调递减

单 调 性

? π +2kπ?(k∈Z)上 2 ?

? π ?- +kπ, ? 2



单调递增;在
?π 3π ? +2kπ, + 2 ?2

? π ? 2+kπ?(k∈Z)

上单调递增

(k∈Z)上单调递减

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函 数 对 y=sin x y=cos x 对 称 中 心 :
?π ? ? +kπ,0?(k∈Z); ?kπ ? ?2 ? ? ,0? ?2 ?

y=tan x

对称中心: (kπ, 0)(k

对称中心: (k ∈

π 称 ∈Z); 对称轴: 2 x= 对 称 轴 : x = kπ(k 性 +kπ(k∈Z) Z) ∈Z)
3.识破三角函数的两种常见变换 向左?φ>0?或向右?φ<0? (1)y=sin x――――――――――→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位

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1 横坐标变为原来的 倍 ω ――――――――――――→y=sin(ωx+φ) 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ―――――――――――――→y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍 ω (2)y=sin x―――――――――――→y=sin ωx 纵坐标不变 向左?φ>0?或向右?φ<0? ――――――――――――→y=sin(ωx+φ) φ 平移|ω|个单位 纵坐标变为原来的A倍 ――――――――――――→y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 横坐标不变
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[考情分析] 高考对本部分内容的考查,一般主要是小
题,即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的 关系进行求值、变形,或是利用三角函数的图像及其性质 进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等,而大题 常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公 式及同角三角函数关系的应用等.
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[例 1]

已知点

? 3π 3π? P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 ? ?

θ 的终边上,且 θ∈ ( )

[0,2π),则 θ 的值为 π A.4 5π C. 4 3π B. 4 7π D. 4

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[思路点拨]

由三角函数定义求出 tan θ 值, 再由 θ 的范围,

即可求得 θ 的值.
[解析]

3 π cos4π -cos4 tan θ= 3 = π =-1, sin4π sin4

3π 3π 又 sin 4 >0,cos 4 <0, 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π), 7π 所以 θ= 4 .

[答案]

D
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[类题通法] 1.用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单;
2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式 的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注 意公式的应用条件.

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[冲关集训]
1.(2012· 辽宁高考)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α = A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1 ( )

解析:选 A

由 sin α-cos α= 2sin

? π? ?α- ?= 4? ?

2,α∈(0,π),

3π 3π 解得 α= 4 ,所以 tan α=tan 4 =-1.

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2.已知

α∈(-π,0),tan(3π+α)=aloga 3

1

(a>0,且 a≠1),则 ( 10 B.- 10 3 10 D.- 10 )

?3 ? cos?2π+α?的值为 ? ?

10 A. 10 3 10 C. 10
1 解析:选 B 由题意可知 tan(3π+α)=3,

?3 ? ?π ? 1 所以 tan α=3,cos?2π+α?=cos?2-α?=sin α. ? ? ? ?

10 ∵α∈(-π,0),∴sin α=- 10 .
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[考情分析] 函数y=Asin(ωx+φ)图像的平移和伸缩变 换以及根据图像确定A、ω、φ问题是高考的热点,题型既 有选择题、填空题,又有解答题,难度中低档,主要考查 识图、用图能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变 换的能力.

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[例 2]

(2012· 陕西高考)函数

? π? f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0, ? ?

π ω>0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设
? π? ?α? α∈?0,2?,f?2?=2,求 ? ? ? ?

α 的值.

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[思路点拨]

(1)利用最值求出 A 的值.再利用函数图像相邻

两条对称轴之间的距离求出周期, 从而得出 ω=2, 进而得解; (2) 结合已知条件得出关于角 α 的某一个三角函数值,再根据 α 的范 围易求得 α 的值.

[解]

(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π.∴ω=2. ∴函数 f(x)的解析式为
? π? y=2sin?2x-6?+1. ? ?

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?α? ? π? (2)∵f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? ? π? 1 ∴sin?α-6?=2. ? ?

π π π π ∵0<α<2,∴-6<α-6<3. π π π ∴α-6=6,∴α=3.

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[类题通法]
1.确定函数 y=Asin(ωx+φ)+B 解析式的方法 (1)给出 y=Asin(ωx+φ)的图像,求解析式,常根据“五点 法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可 以从图像的升降找准第一个零点的位置. (2)给出 y=Asin(ωx+φ)+B 的图像求解析式,参数 A,B, 最大值-最小值 最大值+最小值 A= ,B= ; 2 2
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2.函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换的技巧及注意事项 (1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”. (2)在变换过程中务必分清先相位变换,还是先周期变换. (3)变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不 是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

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[冲关集训]
3. (2012· 济南一模)将函数
? π? y=cos?x-3?的图像上各点横坐标伸 ? ?

π 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 6个单位,所得 函数图像的一条对称轴是 π A.x=4 C.x=π π B.x=6 π D.x=2
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(

)

解析:选 D

? π? 横坐标伸长到原来的2倍 y=cos?x- 3?―――――――――――→ ? ? 纵坐标不变

?1 π? 向左平移 个单位 6 y=cos?2x-3 ?――――――――――→ ? ? ?1? π? π ? ? ? y=cos? x+6 ?- ?,即 ? 3? ?2? ? ?1 π? y=cos?2x-4 ?. ? ?

π

?1 π π? π 因为当 x= 时,y=cos?2×2-4 ?=1,所以对称轴可以是 x 2 ? ?

π = . 2

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4.(2012· 天津高考)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平
?3π ? π 移4个单位长度,所得图像经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是 ? ?

( 1 A.3 5 C.3 B.1 D.2

)

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解析: D 选

π 将函数 f(x)=sin ωx 的图像向右平移 个单位长度, 4

π 得到的图像对应的函数解析式为 f(x)=sin ω(x- )=sin(ωx- 4 ωπ 3π 3ωπ ωπ ωπ ). 又因为函数图像过点( , 所以 sin( 0), - )=sin = 4 4 4 4 2 ωπ 0,所以 =kπ,即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值 2 为 2.

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5.(2012· 衡水模拟)若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, π ω>0,|φ|< )在一个周期内的图像如图所示,M, 2 N 分别是这段图像的最高点与最低点,且

???? ???? OM · =0,则 A· ON ω=
π A. 6 7π C. 6 7π B. 12 7π D. 3

(

)

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解析:选 C 所以 ω=2. 则

T π π 由题中图像知 4 =3-12,所以 T=π,

?π ? ?7π ? M?12,A?,N?12,-A?, ? ? ? ?

???? ???? 7π2 ON 由 OM · =0,得122=A2,
7π 7π 所以 A= 12 ,所以 A· ω= 6 .

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[考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高 考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度

属中低档;常与三角恒等变换交汇命题,在考查三角函数
性质的同时,又考查三角恒等变换的方法与技巧,注重考 查函数方程、转化化归等思想方法.

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[例 3]

?sin x-cos x?sin 2x (2012· 北京高考)已知函数 f(x)= . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

[思路点拨]

先化简函数解析式,再求函数的性质.

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[解]

(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 =
? π? 2sin?2x-4?-1, ? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

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(2)函数 y=sin x 的单调递增区间为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈Z), π 3π 得 kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). 所以 ∈Z).
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? ? ? π 3π? f(x)的单调递增区间为 ?kπ-8,kπ? 和 ?kπ,kπ+ 8 ? (k ? ? ? ?

[类题通法] 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把 待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;

第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质
求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等

问题.

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[冲关集训]
6.(2012· 石家庄模拟)下列函数中,周期为 π 数的是
? π? A.y=sin?x+4? ? ? ? π? 且在?0,2?上是减函 ? ?

(
? π? B.y=cos?x+4? ? ?

)

C.y=sin 2x

D.y=cos 2x

解析:选 D

2π 因为 y=cos 2x 的周期 T= 2 =π,
? π? 在?0,2?上为减函数. ? ?

而 2x∈[0,π],所以 y=cos 2x

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7.(2012· 山东高考)函数 值之和为 A.2- 3 C.-1

?πx π? y=2sin? 6 - 3?(0≤x≤9)的最大值与最小 ? ?

( B.0 D.-1- 3

)

π πx π 7π 3 A 当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- 解析:选 3 6 3 6 2
?πx π? ≤sin? 6 - 3?≤1,所以函数的最大值为 ? ?

2,最小值为- 3,

其和为 2- 3.
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8.(2012· 广州调研)已知函数 四个命题:

? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),给出下面 ? ?

①函数 f(x)的最小正周期为 π;②函数 f(x)是偶函数;③函数
? π? π f(x)的图像关于直线 x=4对称;④函数 f(x)在区间?0,2?上是 ? ?

增函数. 其中正确命题的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4

(

)

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解析:选C

函数

? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos ? ?

2x,则其最小正

周期为 π, 故①正确; 易知函数 f(x)是偶函数, ②正确; f(x) 由 π =-cos 2x 的图像可知,函数 f(x)的图像关于直线 x= 不对 4 称,③错误;由 f(x)的图像易知函数 故④正确.
? π? f(x)在?0,2 ?上是增函数, ? ?

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9.设函数 f(x)=sin

? π? ωx+sin?ωx-2?,x∈R. ? ?

1 (1)若 ω=2,求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合; π (2)若 x=8是 f(x)的一个零点,且 0<ω<10,求 f(x)的单调递增 区间.

解:(1)f(x)=sin

? π? ωx+sin?ωx-2?=sin ? ?

ωx-cos ωx,

?x π? 1 x x 当 ω=2时,f(x)=sin2-cos2= 2sin?2-4?, ? ? ?x π? 又-1≤sin?2-4?≤1, ? ?

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x π π 所以 f(x)的最大值为 2,此时, - = +2kπ, 2 4 2 3π k∈Z,即 x= +4kπ,k∈Z, 2 3π 相应的 x 的集合为{x|x= +4kπ,k∈Z}. 2 (2)法一:因为 f(x)=
? π? 2sin?ωx-4 ?, ? ?

π 所以,x= 是 f(x)的一个零点 8
?π? ?f?8?= ? ? ?ωπ π? 2sin? 8 -4 ?=0, ? ?

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ωπ π 即 8 -4=kπ,k∈Z,整理,得 ω=8k+2,k∈Z, 1 又 0<ω<10,所以 0<8k+2<10,-4<k<1,而 k∈Z, 所以 k=0,ω=2,f(x)=
? π? 2sin?2x-4?, ? ?

π π π 由-2+2kπ≤2x-4≤2+2kπ,k∈Z, π 3π 得-8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 所以
? π ? 3π f(x)的单调递增区间为?-8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ?

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π 法二:x= 是 f(x)的一个零点 8
?π? ωπ ωπ ?f?8?=sin -cos =0, 8 8 ? ?

ωπ ωπ π 即 tan =1.所以 =kπ+ ,k∈Z, 8 8 4 整理得 ω=8k+2,k∈Z 1 又 0<ω<10,所以 0<8k+2<10,- <k<1,而 k∈Z, 4 所以 k=0,ω=2,f(x)= 以下同法一.
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? π? 2sin?2x-4 ?. ? ?

“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用
许多三角函数问题,如能灵活运用相应的数学思想

(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分
类讨论思想、整体思想),往往能使一些抽象的、复杂的 三角问题迅速、准确地找到解题思路,从而得到便捷的 解法.
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[典例]

已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx +

π φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图像如 2 图所示. (1)求函数的解析式; (2)设 0<x<π,且方程 f(x)=m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围以及这两个根的和.

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[思路点拨]

利用转化思想把方程问题化为函数问题,再利

用数形结合法求解.

[解]

3 11π π 3π (1)由图像知 A=2,4T= 12 -6= 4 ,则 T=π,所以 π π 2×6+φ=2.

?π ? ω=2,又图像过点?6,2?,所以 ? ?

π 即 φ=6. 所以所求的函数的解析式为
? π? f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

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(2)在同一坐标系中画出

? π? y=2sin?2x+6?和 ? ?

y

=m(m∈R)的图像,如图所示,由图可知,当- 2<m<1 或 1<m<2 时,直线 y=m 与曲线有两个 不同的交点,即原方程有两个不同的实数根, 故 m 的取值范围为-2<m<1 或 1<m<2. 4π 当-2<m<1 时,两根之和为 ; 3 π 当 1<m<2 时,两根之和为 . 3

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[名师支招]

本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个
数问题,把代数问题转化成几何问题求解,从函数图像上 可以清楚地看出当-2<m<1或1<m<2时,直线y=m与曲线 有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,利用 图像的对称性便可求出两根之和.

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[高考预测] 函数 f(x)=sin πx+cos πx+|sin πx-cos πx|对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为________.

解析:依题意得,当 sin πx-cos πx≥0,即 sin πx≥cos πx 时, f(x)=2sin πx;当 sin πx-cos πx<0,即 sin πx<cos πx 时,f(x)= 2cos πx.令 f(x1)、f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与最大值,结合函 3 数 y=f(x)的图像可知,|x2-x1|的最小值是4.
3 答案:4
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[配套课时作业]

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